简单的三角恒等变换5

能运用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式进行简单的恒等变换3.5简单的三角恒等变换1．降幂公式

sinαcosα＝

sin2α；sin2α＝

2．半角公式3．Asinx＋Bcosx＝

sin(x＋φ)，sinφ＝

cosφ＝

1．若tan则cosx值为(

)

解析：cosx＝

答案：B2．已知450°<α<540°，则 的值是(

)

A．－sin

B．cos

C．sin

D．－cos

解析：原式＝

∵450°<α<540°，∴225°<

<270°.∴原式＝－sin

.

答案：A

3．已知函数f(x)＝cos2 等于(

)

解析：f(x)＝cos2

－sin2

＝－sin2x，

∴f

＝－sin

答案：B

4．若sin 则cos2θ＝________.

解析：∵sin

＝cosθ＝

∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×

答案：－

对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．【例1】求证：

＝sinα＋cosα.

证明：证法一：左端＝ ＝sinα＋cosα＝右端则原恒等式成立．

证法二：设sinα＋cosα＝t，则左端＝

＝t＝右端则原恒等式成立．

变式1.求证：tanα＋tanβ＋tanγ－

＝tanα·tanβ·tanγ.

证明：左端＝

因此原恒等式成立.通过三角恒等变换可解决三角函数的化简、求值和证明等问题，解决问题的出发点简单说就是统一角、统一函数、降底次数，同时要注意符号问题。特别应注意角与角之间的关系，用已知角表示未知角，用特殊角表示未知角等．

【例2】已知sinx＋cosx＝－(135°<x<180°)． 求 的值．

解答：∵sinx＋cosx＝－

∴1＋2sinxcosx＝

即1＋sin2x＝

∴sin2x＝－

.又∵270°<2x<360°， ∴cos2x＝

∴原式＝

＝

变式2.求值：

解答：原式＝

＝

＝

解决三角函数的图象与性质问题很大程度上可通过三角恒等变换将函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，进而可解决函数的周期、奇偶性、单调性和作函数图象等问题．

【例3】已知函数f(x)＝sin

x∈R(其中ω>0)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图象与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．

解答：(1)f(x)＝

sinωx＋

cosωx＋

sinωx－

cosωx－(cosωx＋1)

＝2

－1＝2sin

由－1≤sin

≤1，得－3≤2sin

－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，又由ω>0，得

＝π，即得ω＝2.于是有f(x)＝2sin

－1，再由2kπ－

(k∈Z)，解得kπ－

≤x≤kπ＋

所以y＝f(x)的单调增区间为

(k∈Z)．

变式3.若函数的最大值为2，试确定常数a的值．解答：f(x)＝

其中角φ满足sinφ＝.由已知，有

＝4.解之得a＝±

【方法规律】1．本节重点是二倍角公式的灵活运用(包括“正用”、“逆用”、“变形用”等)．难点是综合运用各组公式进行三角恒等变形．如何创造条件使用各组公式是活用公式的关键，角的变换是重点．2．公式的熟练与准确应用，要依靠理解内涵，明确公式的内在联系，通过应用加深理解，不可机械记忆．3．要重视对于问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高解题效率．4．角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中有关角的变换问题常用的数学方法之一.

(本题满分12分)已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB·AC≤6.设AB和AC的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2

cos2θ的最大值与最小值.

解答：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可得

bcsinθ＝3,0≤bccosθ≤6，可得tanθ≥1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈

【答题模板】(2)f(θ)＝2sin2

cos2θ＝

cos2θ

＝(1＋sin2θ)－

cos2θ＝sin2θ－

cos2θ＋1

＝2sin

＋1.

∵θ∈

∴2≤2sin

＋1≤3.

即当θ＝时，f(θ)max＝3；当θ＝时，f(θ)min＝2.

【分析点评】1.高考中对三角恒等变换的考查，主要是灵活运用各组公式，要重视角的变换，重视公式的变形，将未知向已知转化，突出转化的数学方法．2．为了使问题的形式更新颖