人教版-高中数学选修4-5 柯西不等式

高中数学模块教学选修系列4

----《不等式选讲》专题课例

《柯西不等式》主讲人：山东师范大学附属中学史宏伟

数学是智能的一种形式，利用这种形式，我们可以把现象世界中的种种对象，置之于数量概念的控制之下。

------------Howison．Ｇ．Ｈ大数学家柯西（Cauchy)

法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。

柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚丰，共出版了七部著作和800多篇论文，1882年开始出版他的全集，至1970年已达27卷之多。

要想获得真理和知识，唯有两种武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎。

-----Descartes（笛卡尔）

一、创设情景，共同探究

案例：（数学模型）YxoQ(c,d)P(a,b)考察如图所示的三角形POQ,则有三角不等式：|OP|+|OQ|≥|PQ|二、诱思发现，剖析论证（一）柯西不等式的表达形式（二维形式）

注意观察此不等式的简洁性，对称性，深刻体现出数学形式的美。

1．向量法：（类比数学模型）

2．比较法：（不等式证明的基本方法）

3．构造法：（类比联想，利用二次函数的性质）

4．几何法：（利用余弦定理）

（二）柯西不等式的证明方法共同思考，讨论发现。借助以往的知识和经验，运用类比联想与化归转化的思想，探究用什么方法来证明它。大胆假设，小心求证，运用发散思维，自主探求。不断提升思维层次，提炼出其中蕴含的数学思想方法。归纳总结合作探究问题1：

除了以上我们归纳的几种方法以外，还能不能发现其他的途径来证明它呢？合作探究问题2：两个重要的不等式均值不等式和柯西不等式之间是否存在着某种联系？两者之间究竟存在着一种什么关系？有待于进一步研究的问题：思维提升

今后我们在学习中要有意识地归纳数学方法，并将经验性的知识上升到“理论性”的层次。比如向量是代数和几何连接的桥梁，向量法所体现的是一种数形结合的数学思想。应主动地培养自身的数学素养，为终身发展奠定基础。三、探索研究，知识深化（一）柯西不等式的几种不同的表达形式：进一步感受柯西不等式的和谐统一性，从不同角度体验它的协调一致性。（二）柯西不等式的推广与应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，它在数学和物理方面，尤其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用。进一步的论证可以得到N维形式的柯西不等式：由柯西不等式可以导出几个著名的不等式

推广1：（闵可夫斯基不等式）推广2：（赫尔德(H0lder)不等式）推广3：（赫尔德不等式一个极好的变式）：推广4：

合作探究问题3：

尝试给出以上柯西不等式的推广的严密证明。

以上所介绍的柯西不等式的推广都有着极为广泛的应用，特别是后三个推广之间有着密切的联系．应用推广的柯西不等式，许多不等式的证明问题就能够轻而易举地解决，并且某些特殊结论的不等式，也能够很自然地推广到一般性结论。合作探究问题4：

尝试发现柯西不等式其他的推广与应用。研究性学习的课题

数学具有现实的性质，它来源于现实生活，再应用到现实生活中去。正如均值不等式在实际生活中有许多应用，那么，柯西不等式在现实生活中也应该有它的数学情境。

建议同学们以科学研究的态度，利用各种信息技术手段，搜集、判断和处理相关的资料，加强合作与交流，共同探讨一下我们发现并提出的这一研究性学习的课题《柯西不等式在现实生活中的应用》，要注重研究的过程，及时