(4-2)刚体转动定律、刚体角动量守恒定律

教材：5.3.3与5.5节作业：练习4（可全部做完）一、质点系的角动量定理二、质点系的角动量守恒定律三、刚体的转动定律四、刚体的角动量守恒定律一、质点系的角动量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem质点系的角动量质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点m12m3mr13r2r3v2vv1O质点系角动量定理质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式微、积分形式质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。质点系角动量守恒二、质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。随堂小议（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。两人质量相等O一人握绳不动一人用力上爬思考可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略小议分析Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。刚体定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比三、刚体的转动定律(Theoremofrotation)证明：由质点系的角动量定理对定轴由得刚体定轴转动定律对轴的力矩第一项：方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡，不影响物体绕轴转动状态。第二项：方向平行于轴，其效果是改变物体绕轴转动状态，称为力对轴的矩，在轴上选择正方向，可以将其表为代数量：讨论11、力不在转动平面内时即：Mz为力对o

点的力矩在z

轴方向的分量注意.力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。矢量和代数和ZMdfO

rd

dm

转动平面vz2、力在转动平面内时显然，只有切向力对Z轴的力矩不为0力矩的大小等于力在作用点的切向分量与力的作用点到转轴Z的距离的乘积。比较：－矢量式－标量式地位相同刚体定轴转动问题平动问题是物体转动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。改变物体平动状态的原因改变物体绕轴转动状态的原因讨论2[例]

一定滑轮的质量为，半径为，一轻绳两边分别系和两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。已知：求：【思路】1、隔离法分析受力、力矩情况，分别列方程：对质点列牛顿第二定律方程，对刚体列转动定律方程。2、再按照质点平动与刚体定轴转动关联关系列联系方程。3、联立各方程求解解：在地面参考系中，分别以为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和刚体定轴转动定律建立方程。思考：×因为重滑轮加速转动+O四个未知数：三个方程？以顺时针方向为正方向绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：解得：

如图示，两物体质量分别为和，滑轮质量为，半径为。已知与桌面间的滑动摩擦系数为，求下落的加速度和两段绳中的张力。练习：解：在地面参考系中，选取、和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：向里+列方程如下：可求解角动量定理积分形式（有限时间过程）微分形式质点质点系定轴刚体瞬时效应四、刚体的角动量守恒定律1、角动量定理刚体的角动量守恒定律由刚体组定轴转动的角动量定理由刚体定轴转动的角动量定理，则若而且若J

不变，则ω不变；若J

变，则ω

也变，但L总不变，则若同一式中，等角量要对同一参考点或同一轴计算。

注意2、角动量守恒定律角动量守恒定律：当作用在刚体（或刚体组系统）上的外力对固定转轴的合力矩为零时，这刚体（或刚体组系统）对该轴的角动量守恒。角动量守恒的2种情况：①J不变（刚体），角速度ω的大小和方向均不变

②J可变（质点系或者刚体组），ω亦可变，但Jω

乘积的总和即L总不变讨论

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律，有很多实例

内力矩不改变系统的角动量.

在冲击等问题中常量角动量守恒现象举例适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...为什么银河系呈旋臂盘形结构？为什么猫从高处落下时总能四脚着地？体操运动员的“晚旋”芭蕾、花样滑冰、跳水…...为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？茹科夫斯基凳实验例如地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向均不变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角23˚27′保持不变。地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。①J不变，角速度ω的大小和方向均不变

例另一类常见现象收臂大小Jw

用外力矩启动转盘后撤除外力矩张臂J大小w②J可变，ω亦可变，但Jω

乘积不变茹可夫斯基櫈例张臂Jw大小先使自己转动起来收臂大小Jw花样滑冰常见例花样滑冰忽略脚底摩擦力矩的作用，角动量守恒所以

例跳水、体操运动员（单杠、吊环）完成器械上的操作后落地之前，在空中作空翻动作的基础是，他们在器械上已有绕自身横轴的转动，离开器械以后，若不计空气阻力矩，这个绕自身横轴的角动量守恒（重力矩通过身体的质心不能改变身体的转动状态）。例杂技（空中飞人）。例在难度较大的动作中，作空翻动作的同时，还要转体，即绕自身的纵轴侧转，这就比较困难了。一般要在他离开器械的短暂时间内，对器械横向用力，此力的反作用力对身体纵轴有力矩作用，从而提供初始角动量，这在体操中称为旋。作这些动作的还有跳水、杂技（空中飞人）。运动员、演员在离开器械时并不施加横向力，在空中的早期身体不出现旋的动作，而在完成空翻一周、一周半后，才开始进行转体动作。最难做的旋叫“晚旋”这是怎么转起来的呢？例南京大学教授梁昆淼：运动员身体左右对称，作横翻时横轴是惯量主轴，角动量、角速度方向一致，无外力矩，角动量守恒。如果这时改变身体左右的对称性，惯量主轴就改变了。这时虽然角动量不变，但角速度方向变了，在纵轴上出现了非零的分量，这就是绕纵轴作转体“旋”的角速度。共轴系统若0IMwS外则LSi恒矢量Sii轮、转台与人系统I轮I人台初态全静LSi初0人沿某一转向拨动轮子w轮末态w人台I轮w轮LSi末+I人台w人台LSi初0得I人台w人台I轮w轮导致人台反向转动例直升飞机防止机身旋动的措施例用尾浆用尾浆用两个对转的顶浆（并联式）用两个对转的顶浆（串联式）中子星是由普通恒星塌缩生成的。一个典型的中子星的质量是大概太阳质量的1~2倍，半径是几千米，角速率极大，可达几千弧度每秒。设一颗类似太阳的恒星在塌缩前半径为1×107m，塌缩后生成的中子星的角速率为103rad/s，请估计塌缩前该星体的角速率。解：普通物理学教案例题

：球体绕直径轴的转动惯量为塌缩是由于强大的引力作用（有心力）故，角动量守恒太阳的自转周期为27天周期约7天一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度

。已知轴处自由。解：普通物理学教案例题

：以f代表杆对子弹的阻力，对子弹有:mvMmv0l子弹对杆的冲量矩为：因

f′=-f

由两式得另解：取子弹与杆组成的系统作为研究对象角动量守恒得再次见到，用系统的方法处理问题，简捷明了。

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。受合外力矩为零，角动量守恒：LwI恒矢量回转仪定向原理wI其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会受基座改向的影响

注意LwI万向支架基座回转体（转动惯量）Iw

例

一长为l质量为m的匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成

角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得习题训练式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得

(1)从开始制动到停止,

飞轮转过的角度；

(2)闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功。

解：为了求得飞轮从制动到停止所转过的角度

和摩擦力矩所作的功A,必须先求得摩擦力、摩擦力矩和飞轮的角加速度。

例4：一个转动惯量为2.5kg

m2、直径为60cm

的飞轮，正以130rad

s

1

的角速度旋转。现用闸瓦将其制动,如果闸瓦对飞轮的正压力为500N,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：d飞轮闸瓦闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与正压力的乘积

方向如图所示。摩擦力相对z

轴的力矩就是摩擦力矩,所以摩擦力矩的方向沿z轴的负方向,故取负值。根据转动定理,可以求得飞轮受到摩擦力矩作用时的角加速度，为

(1)对于匀变速转动,从开始制动到停止,飞轮转过的角度

可由下式求得:所以

(2)摩擦力矩所作的功例3

质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒角动量守恒由角动量定理即考虑到例4

一杂技演员M

由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N

弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为

,跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M

落在A点的速度碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度把M、N和跷板作为一个系统,角动量守恒解得演员N以u

起跳,达到的高度ll/2CABMNh【角动量守恒】

一半径为R、质量为

M的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为m的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？R思考：1.台为什么转动？向什么方向转动？2.人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？3.人和台相对于地面转过的角度之间有什么关系？系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：设人沿转台边缘跑一周的时间为t：选地面为参考系，设对转轴人：J,

;

台：J´,

´解：R人相对地面转过的角度：台相对地面转过的角度：R【力矩】有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元作用在此面积元上的力yOhyxQyOx令大气压为，则代入数据，得yOhyx代入数据，得对通过点Q

的轴的力矩yQOhy【转动定律】

质量为M

的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为

m、长为l的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为s

时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如图x

坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2，滑轮半径为r

有：ox1x2sMABrx用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）ox1x2sMABrxCACBT1JT2.CAT1mAg.CBT2mBgox1x2sMABrxCACB解得：

例4

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABCABCOO解（1）隔离物体分别