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文档简介

第三节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性

第三章一、函数单调性的判定法若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕单调区间许多函数在定义区间上不是单调的，但在一些部分区间上单调．定义:

若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,例2.

证明时,成立不等式证:

令从而因此且证证明*证明令则从而即定义.

设函数在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点

.拐点定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是凸的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕例3.判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,例4.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.凹凸对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)

及均为拐点.凹凹凸内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加

,及B1.

设在

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示

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