（5年高考真题备考题库）高考数学一轮复习 第6章 第4节 基本不等式 文 湘教版

2009~2013年高考真题备选题库第6章不等式、推理与证明第4节基本不等式考点一基本不等式及其应用1．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故选D.答案：D2．（2013山东，5分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当eq\f(z,xy)取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B.eq\f(9,8)C．2 D.eq\f(9,4)解析：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想．eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.答案：C3．（2013四川，5分）已知函数f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：本题主要考查基本不等式，意在考查考生对基础知识的掌握．f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，当且仅当4x＝eq\f(a,x)，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.答案：364．（2012浙江，5分）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.eq\f(24,5) B.eq\f(28,5)C．5 D．6解析：∵x＋3y＝5xy，∴eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝5，∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)(eq\f(1,y)＋eq\f(3,x))＝eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)＋9＋4≥2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．∴3x＋4y的最小值是5.答案：C5．（2011浙江，4分）若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．解析：∵xy≤eq\f(1,4)(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(1,4)(x＋y)2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3).∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).当x＝y＝eq\f(\r(3),3)时，x＋y取得最大值eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)6．（2010浙江，4分）若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析：由基本不等式得xy≥2eq\r(2)eq\r(xy)＋6，令eq\r(xy)＝t得不等式t2－2eq\r(2)t－6≥0，解得t≤－eq\r(2)(舍去)或者t≥3eq\r(2)，故xy的最小值为18.答案：187．（2010天津，4分）设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[eq\f(3,2)，＋∞]，f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题意得：(eq\f(x,m))2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立，即(eq\f(1,m2)－4m2－1)x2＋2x＋3≤0恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2－1≤eq\f(－2x－3,x2)恒成立，g(x)＝eq\f(－2x－3,x2)＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)在[eq\f(3,2)，＋∞)上是增函数，故当且仅当eq\f(1,m2)－4m2－1≤g(eq\f(3,2))即可．解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2)，即m的取值范围是(－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)．答案：(－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)考点二不等式的实际应用1．（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳ B．⑨和⑩C．⑨和⑪ D．⑩和⑪解析：当放在最左侧坑时，路程和为0＋10＋20＋…＋190；当放在左侧第2个坑时，路程和为10＋0＋10＋20＋…＋180(减少了180米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为20＋10＋0＋10＋20＋…＋170(减少了160米)；依次进行，显然当放在中间的第10或11个坑时，路程和最小，为90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100＝1000米．答案：D2．（2010江苏，5分）将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝eq\f(梯形的周长2,梯形的面积)，则s的最小值是________．解析：如图，设AD＝x(0<x<1)，则DE＝AD＝x，∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2，∴梯形的面积为eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2，∴s＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0<x<1)，∴s′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，当x∈(0，eq\f(1,3))时，s′<0，s递减；当x∈(eq\f(1,3)，1)时，s′>0，s递增；故当x＝eq\f(1,3)时，s的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)3．（2010浙江，4分）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥eq\f(6,5)或者t≤－eq\f(11,5)(舍去)，故1＋x%≥eq\f(6,5)，解得x≥20.答案：204．（2012江苏，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\