剖析折叠本质 构建基本模型 把握问题关联 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选剖析折叠本质 构建基本模型 把握问题关联摘要：把正方形折叠使得顶点落在一条边上，这个图形中蕴含着丰富的关系，从的几何直观将会大有裨益！关键词：折叠；正方形；转化；核心素养引言：折叠问题是初中数学的重点和难点问题，备受命题老师的青睐，主要考查诀窍.”.本文对一类正方形折叠为背景的图形多方位分析，理清图形实质，探究拓展，3个例题的应用加强几何推理经验的积累，从而提升学生的解题能力.一、图形分析如图ABCDABM,N分别为边AD,BCMN，将四边形DCNM沿着MN折叠至EFNMD恰好落在边AB上点EC落到点F，EF交BC于点G.A M D A M

D A M DE E EB G N C BF

GH N CF

HB G NCF图1 图2 图3结论1（正方形十字架结构）连接DE，则MN^DE,MN;2，由折叠易知MN^DE,过点M作MH^BC，则四边形ABHM为矩12022年安徽省中小学教育教学论文评选形，从而MH=AB=AD,可证(ASA),则MN,即MN^DE,MN.【评析】解题时常常将折痕MN转化为DE，在中进行求解.结论2（正方形夹半角结构）如图3，连接DG,则ÐEDG.分析：图形的折叠问题本身就是“轴对称”的全等变换，由折叠性质可知MN为线段DE的中垂线，ME,从而ÐMED，又因为折叠得出ÐMEF,所以ÐDEF,而AB//CD,可知ÐEDC，即ÐAED,DE为ÐAEF的角平分线，过点D作DH^EF,则DH从而(HL),(HL),ÐEDG=1ÐADC2【评析】正方形夹半角结构中易得EG=AE,平时解题后要善于总结，仔细琢磨结构，反思其用途，成为今后解题的重要思维源泉.结论3如图4，连接DF,CE,则DF.M D DEOPG N C E H GPF图4 图5分析：由折叠可知FE，据结论2分析知ÐDEF，而ED,从而)，所以DF.22022年安徽省中小学教育教学论文评选结论4随着点E的移动，的周长保持不变，始终为2a.的面积有最大值，当BE时，S

=3-22a2.分析：如图3，由结论2可知，HE=AE,HG,所以的周长等于BE)=BA，

=S正方形ABCD

2S

2S

=a2-2S，转化为求的最大值，观察含有定高（DHÐEDG）特殊结构.如图5，将单独分离出来，作的外接圆O，连接OD,OG,OE,由圆周角ÐEDG,可知圆心角ÐEOG过圆心O作OP^EG设半径OD，则OP=

2r，EG=2

2r，根据点到线垂线段最短可知OP³DH，即2r³a,解得r³-2

2)a，当且仅当D,O,P共线时取得最小值，此时AE,所以EG=

2r³2-2)a，S =1³

12-2)a

2-a2，2 2则

=a2-2S

£a2-2(

2-a23-22a2.【评析】周长定值的说明也可利用三角形相似性质，根据折叠知ÐA,不妨设AE=x,AM=y，则BE-x,EM-

y，在中，由勾股定理可得y=

a2-x22a

，

=AMBE

x-y)+y,即 =

y，a-x所以=

a2-x2y

a2-x2=a2-x22a，这里计算稍显繁杂，但是这对“一线三直角”相似32022年安徽省中小学教育教学论文评选三角形在解题时值得关注.对于定高定角问题，辅助圆也是解决此类最值的有效工具，利用斜大于直的思想确定最值.结论5 随着点E的移动，=BE,EM=AE.分析：如图3，由折叠可知FN,EF=AB,根据结论2分析可知，HGAE，所以,而BE=AB-

AE,HF-EH,所以,由图2得MD=AE,根据折叠可知ME,即ME=AE.A M DE R

A ME 45°

D45°RB G NCF

45°B图6 图7结论6 如图6，连接对角线BD交折痕MN于点R，连接ER，则ÐERB.分析：图6可简化为图7，由折叠可知ÐMER=45o，边AB上ÐMER=45o,联想“一线三等角”结构，可知ÐAER，所以ÐERB.【评析】涉及到ÐERB的三角函数问题，不需直接构造直角三角形，一般往往转化为MN一般转化为DE的策略有异曲同工之妙.42022年安徽省中小学教育教学论文评选二、结论应用例1（20166的正方形纸片ABCDAB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，求折痕GH的长.NG E DMFH C图8解析：根据题意可得AE,连接BM，识别正方形折叠中十字架结构，折痕GH转化为BM，由结论4分析易得周长为12，设CM=x,则DM-x，EM-DE-DM-3--x)=3，在中，勾股定理得DE222,即26-x23x2，解得x2，在中，勾股定理得BC222,所以BM=

BC22=

6210.根据正方形十字架结构，GH10.另解：设CM=x，由折叠知，MH-CH,在中，由勾股定理得CH222,2解得CH-x，212由折叠可知ÐHME,易得一线三直角相似:,52022年安徽省中小学教育教学论文评选x2=所以HC CM,即3-12=

x，解得xx

=6-x 3从而BM=

BC2210,根据正方形十字架结构，GH10.GH转化为线段BMCM方便寻找解题策略.例2如图ABCDABM,N分别为边AD,BCMNDCNM沿着MN折叠至EFNMD落在边AB上点EC落到点F，EF交BC于点G.（1）若AE，求CN的长.（2）连接DE,DF，求DE的最小值.A M D A M DE E

M DEG NC BFQG NCF

B G NCF图9 图10

图11解析：（1）解法1：由题意可得::,由折叠可设AM=x，则MD-x，在中，勾股定理得AE22=ME2,即2x29-x2，解得x4，,=利用相似可得BG=9,EG 15,=2 2所以GF-EG=3,2再利用相似求得NF,从而CN=NF.解法2：双勾股，设CN=x，在中，EN2=BE22,在中，DN2=CD22,由折叠知MN为DE的中垂线，则NE=ND,62022年安徽省中小学教育教学论文评选所以629-x292x2，解得x2，即CN.解法3：如图10，由结论5知：EM=AE.过点M作MQ^BC,可得QCQN=AE,所以CN-QN.（2）DE属于一定（点DE,F4DF,所以DE.如图11，作点C关于AB的对称点C',连接C'E,则C'E,从而DE³C'D5,当且仅当D,E,C'共线时取得最小值95.【评析】平面几何中线段计算常用策略勾股定理法、三角函数法以及相似法，对于模型，假设所求线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线架结构.例3如图ABCD,AB点E,F分别在边AB,CDEF折叠，点A恰好落在边BC上点H处，折痕EF与对角线AC交于点P,连接HP.已知AE，求sinÐCPH.B H CEPG AA DF

Q B H CE EDPDFF G B A DF图12

图13

图14解析：由折叠可知AE=DE,APÐEHP=45o，将图11简化为图12，72022年安徽省中小学教育教学论文评选从而为确定的可解三角形，BEHEBH=

HE2-BE22，想法1：如图13，过点H作HG^AC，在中，可知CH-22,CG2-2,设AP=x，从而PG=AC-CG-

AP2-2-2)-x2-x，在中，由勾股定理得HG2+PG2=HP2，2 2 222-2 +22-x =x即( ) ( ) ，解得x2-6，22-2 1在中：sinÐCPH= = =.62-6 3想法2：由结论6可知：ÐHPC.由折叠可知HE=AE,ÐEHP，从而ÐHCP,联想“一线三等角”结构，可知ÐBHP，所以ÐHPC.

1在中，sinÐBHE= =,31即sinÐHPCÐBHE=.3【评析】折叠为背景的图形变换题目应牢牢抓住折叠的本质即轴对称性，保持了折叠前后对应线段、对应角度的不变性，想法1是从问题直接目标入手，将目标角构造在求出目标角的三角函数值，计算较为复杂，需要有强大的运算能力作保障.想法2是有ÐEHP线三等角”中角的处理策略这一经验易得：ÐHPC，从而将目标角构造在确定的中，计算十分简便.此法需要有一定“经验积累”和转化意识，考查学生直观想象能力和逻辑推理能力.82022年安徽省中小学教育教学论文评选本题还可改变设问：如图14，延长FE交CB的延长线于点Q，求线段QB的长.解析：由点Q的形成，关注到折痕EF，如图13连接AH，根据折叠性质可知EF垂直平分AH，即点Q在线段AH的垂直平分线上，连接AQ，易得ÐQAB,从而:,所以QB=AB,即QB=

4，解得QB=2.

1 22，=另解：由以上可知sinÐQABÐEHB 1，=3即QB

1,又点Q在线段AH的垂直平分线上知：QA,=3=从而QB

1，即QB=2.=3=【评析】图形的折叠，牢牢抓住折痕具有垂直平分对应点连线这一重要性质，学会观察图形、分析问题、转化问题，形成解决折叠问题的思维方法.三、教学思考题载体，积累数学活动经验、让学生形成数学思维，进而培养学生解决问题的能力.本文通过对一类以正方形折叠为背景的图形剖析以及考题应用的分析这一典型问题的处变的规律和方法，逐步发展学生的数学运算、逻辑推理、抽象模型等数学核心素养.展的.正如《义务教育数学课程标准（2022之间的关联.因而必要的探究活动和问题载体能为学生提供处理问题的思路与方法的平92022年安徽省中小学教育教学论文评选了内涵、找准了突破口，最终形成解题经验.平时坚持这样的训练，这将对学生的几何直观将会大有裨益！教师在数学研究、学习、讲授中，不仅需要关注研究图形的方法、研究图形的结果，还需要感悟图形给我们带来的好处，几何直观就是在“数学——