人教版八年级数学上册02 教学设计-角的平分线的性质

第十二章全等三角形 12.3角的平分线的性质1．掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用．2．掌握角的平分线的性质“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．重点：角的平分线的性质及其判定．难点：角的平分线的性质及其判定的应用．一、情境引入问题：我们应该在很早之前就接触过角的平分线这个概念，谁能告诉我什么是角的平分线呢？（学生回答）一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。问题：大家观察一下这个角，其实，再添加一些线段就能成为两个三角形，我们之前学习了全等三角形的性质及判定，那么结合这个，我们是否能够发现角的平分线的一些性质呢？今天我们就来探究一下这个问题。二、探究1．角的平分线的性质如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？（学生讨论回答）【过渡】观察这个图形，我们其实可以把它看作两个三角形，那么问题也就转化为数学问题，再结合三角形全等的性质，我们进一步将其转化为证明三角形全等的问题。大家仔细观察一下，能够得到哪些已知条件呢？课件展示解题过程。证明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共边）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）【过渡】通过刚刚的证明，我们得到了我们想要的结论。从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。课件展示画图过程。（学生动手）大家也都自己动手画了角平分线，那么我们接下来看课本探究的内容。任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？（学生回答）大家可以用直尺来量测一下，能够得到结论吗？大部分同学都得到了PD=PE的结论。那么有谁能够利用数学方法来证明一下呢？（学生回答）课件展示证明的完整的过程。【过渡】通过刚刚的证明，我们得到了我们的结论是正确的。是不是在角平分线上任意取点，都可以得到这个结论呢？（学生动手验证）【过渡】我们发现，任意一点都可以得到相等的结论。由此，我们得到了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。数学语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE。在这个定理中，我们必须明白，这个性质的应用必须满足几个条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。我们也可以利用角的平分线的性质证明线段相等。巩固：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是多少？课件展示证明过程。通过刚刚的练习，希望大家能够牢记角的平分线的性质在应用时需要满足的条件。问题：在了解了角的平分线的性质之后，我们就会有这样的疑问，将性质反过来是否同样成立呢？我们先来看课本思考的内容。要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺1：20000）问题：看到这个问题，我们自然就会想到角的平分线上的点到两边的距离相等。那么这个市场必然是在角的平分线上。但是在实际上，我们不可能真的能够画出平分线，然后再选择地点。这样大家就会去想如果我选择一点，到公路和铁路的距离相等，那么它是不是在角平分线上呢？我们一起通过数学语言来证明一下这个想法是否正确。已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上。课件展示。归纳：通过证明，我们得到了我们想要的结论，而这个也角的平分线的性质的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。通过这个逆定理，我们可以去判断是否是角的平分线。学习了角的平分线的性质及判定之后，我们一起来看课本的例题。课件展示过程。这个例题的结论告诉我们一个事实：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。这个也是很有用的结论，希望大家能牢记。四、应用提高1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，则BD+DE的和为（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm2．如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确3．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB.BC.CA的距离OF=OD=O