专题05 有理数的加减法重难题精练（七大题型）2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）（解析版）

第第页试卷第=page2222页，共=sectionpages2222页专题05有理数的加减法重难题精练（七大题型）学校:___________姓名：___________班级：___________一、有理数的加法与绝对值的融合1．如果a=3，b=1，且a>b，那么a+b的值是【答案】4或2【详解】解：∵|a|=3，|b|=1，且a>b，∴a=3，b=1或a=3，b=−1，∴a+b=4或2，故答案为：4或2．2．已知|x|＝3，|y|＝2．(1)若x＞0，y＜0，求x+y的值；(2)若x＜y，求x﹣y的值．【答案】(1)1(2)﹣5或﹣1【详解】（1）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＞0，y＜0，得，x＝3，y＝﹣2，∴x+y＝3+（﹣2）＝1；所以x+y的值为1；（2）解：由|x|＝3，|y|＝2．x＜y，可得x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，当x＝﹣3，y＝2时，x﹣y＝﹣3﹣2＝﹣5，或x＝﹣3，y＝﹣2时，x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，所以x﹣y的值为﹣5或﹣1．3．探索研究：(1)比较下列各式的大小（用“＜”、“>”、“=”连接）①2+3___________②−2+−3___________③2+−3___________④2+0___________(2)a、b为有理数，通过比较、分析，归纳a+b与当a、b同号时，a+b___________当a、b异号时，a+b___________当a=0或b=0时，a+综上，a+b___________(3)根据（2）中得出的结论，当x+2015=x−2015时，则【答案】(1)=；=；>；=；(2)=；>；≥(3)x≤0【详解】（1）①∵2+3=5∴2+②∵−2+−3=5∴−2+③∵2+−3=5∴2+④∵2+0=2∴2+故答案为：①=，②=，③>，④=；（2）当a、b同号时，a+当a、b异号时，a+又a＝0或b＝0时，a+综上，a+故答案为：=，>，≥；（3）∵x+2015=∴由（2）可知x非正，即x≤0故答案为：x≤0．4．已知|a|=2，|b|=3，且ab＜0，则a+b的值为．【答案】±1【详解】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a、b异号，当a＝2时，b＝﹣3，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，当a＝﹣2时，b＝3，a+b＝﹣2+3＝1，综上所述，a+b的值为±1．故答案为：±1．二、加法定义的理解--符号判断5．如果a+b+c<0，那么a，b，c三个数中（

）A．有一个数必为0 B．至少有一个负数C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数【答案】B【详解】解：∵a+b+c<0，∴a，b，c三个数中必然会有负数，即a，b，c三个数中至少有一个负数，故选B．6．用“>”或“<”填空：（1）如果a>0，b>0，那么a+b（2）如果a<0，b<0，那么a+b（3）如果a>0，b<0，a（4）如果a>0，b<0，a【答案】><><【详解】解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正．故答案为：>；（2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负．故答案为：<；（3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于a>b，所以两数的和取故答案为：>；（4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于a<b，所以两数的和取故答案为：<；三、有理数加减法的简便运算7．阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题．（1）计算：−55【解析】原式=−5=−5+=0+−1=−11上面这种解题方法叫做拆项法．（2）计算：−2000【答案】−11【详解】原式=−2000=−2000=0+−1=−118．计算：(l)9917(2)45【答案】（1）-899.5；（2）113【详解】(l)99=（100−1=-9×100+（-9）×(−1=-900+0.5=-899.5；(2)45=(4=−1=1139．计算：(2000−1)+(1999−2)+(1998−3)+⋅⋅⋅+(1002−999)+(1001−1000)【答案】1000000【详解】原式=2000−1000+1999−999+=1000+1000+1000+⋯+1000=1000×1000=100000010．观察下列各式：12(1)19×10=_________(2)计算：12×4【答案】(1)19，(2)1011【详解】（1）解：∵12∴1n×∴19×10故答案为：19，1（2）解：原式======101111．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时a=a，例如：π−2＝π−2；当a＜0时a=−a(1)3.14−π=(2)计算：12【答案】(1)π−3.14(2)9【详解】（1）解：∵3.14<π，∴3.14−π<0，∴3.14−π=π−3.14故答案为π−3.14；（2）解：1=1−=1−=912．先阅读材料，再回答问题：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a≥0时|a|=a，如|2|=2，|2−1|=2−1=1；当a≤0时，|a|=−a，如(1)|5−2|=__________；|3.14−π|=___________；(2)计算：1【答案】(1)3，π−3.14(2)2020【详解】（1）|5−2|=5−2=3，|3.14−π|=−(3.14−π)=π−3.14故答案为：3，π−3.14；（2）解：1=1−=1−=2020四、有理数加减法的灵活运用13．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如表．(1)根据题意，填写下列表格：时间（秒）057A点在数轴上的位置100___________B点在数轴上的位置___________1220(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？【答案】(1)见解析(2)3；4(3)①A、B两点开始运动后，经过53秒感应器开始发出提示，第一次提示持续56秒；②A、【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，5秒时，点A在数轴上的位置为0，∴点A向左运动，且运动速度为10−05∴7秒时，点A在数轴上的位置为10−2×7=−4；∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，7秒时，点B在数轴上的位置为20，∴点B向右运动，且运动速度为20−127−5∴0秒时，点B在数轴上的位置为20−4×7=−8，时间（秒）057A点在数轴上的位置100−4B点在数轴上的位置−81220（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为：10−−8相遇时A、B两点对应的数为10−2×3=4；故答案为：3；4．（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，∴感应器开始发出提示的时间为：10−−8∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，∴持续8−3=5个单位，∴第一次提示持续时间为52+4即A、B两点开始运动后，经过53秒感应器开始发出提示，第一次提示持续5②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：10−−8A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示．14．如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A(﹣1，﹣3)，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C(，)，D→B(，)；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为(+2，+2)，(+1，﹣1)，(﹣2，+3)，(﹣1，﹣2)，最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒2个单位长度，向下爬行的速度为每秒1个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒0.5个单位长度，请计算甲虫A爬行的时间．【答案】（1）+3，+2；-1，2；（2）9；（3）画图见解析，17.5秒【详解】解：（1）由题意可得：A→C（+3，+2）；D→B（-1，2）；（2）1+3+2+1+1+1=9；（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如下图所示：（2+3）÷2+（1+2）÷1+（1+2+1+2）÷0.5=2.5+3+12=17.5秒．故甲虫A爬行的时间是17.5秒．15．出租车司机王师傅某天早上营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天早上所接六位乘客的行车里程(km)如下：2，+5，-4，+1，-6，-2(1)将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点的什么位置?(2)若汽车耗油量为0.1L/km，这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油多少升?(3)若出租车起步价为6元，起步里程为2km(包括2km)，超过部分(不足1km按1km计算)每千米1．5元，王师傅这天早上共得车费多少元?【答案】（1）西4千米；（2）2升；（3）49.5元【详解】解：（1）2+(+5)+(−4)+(+1)+(−6)+(−2)=−4（千米）答：将最后一位乘客送到目的地时，王师傅在早上出发点西侧4千米处；（2）2+0.1×20=2(L)答：这天早上王师傅接送乘客，出租车共耗油2升；（3）6×6+1.5×5+4+6−3×2答：王师傅这天早上共得车费49.5元．16．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；星期一二三四五六日与计划量的差值+4-3-5+10-8+23-6(1)根据记录的数据可知前三天共卖出_____斤；(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；(3)若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？【答案】(1)296;(2)31;(3)3575.【详解】解：（1）4-3-5+300=296（斤）．答：根据记录的数据可知前三天共卖出296斤．（2）23+8=31（斤）．答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售31斤．（3）∵+4-3-5+10-8+23-6=15＞0，∴一周收入=（15+100×7）×（7-2）=715×5=3575（元）．答：小明本周一共收入3575元．故答案为296；31；3575元．五、新定义17．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算．下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；+5※+2=+7；−3※−5(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时，异号两数进行※（宏）运算时．(2)计算：−3※+1(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可）【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值(2)6(3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析【详解】（1）解：由题意可得，归纳※（宏)运算的运算法则：同号两数进行※（宏)运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏)运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．（2）解：−3※=−3=6，故答案为：6；（3）解：∵−2※+3∴加法交换律适用；∵+4+4※而−1≠−3，∴加法结合律不适用．18．对于一个数x，我们用x表示小于x的最大整数，例如2.6=2，−3(1)填空：10=__________；−202=__________；(2)若a，b都是整数，且a和b互为相反数，求a+b的相反数．【答案】(1)9，−203，0(2)a+b的相反数为−2【详解】（1）10=9，−202=−203故答案为：9，−203，0；（2）a=a−1，(a]与(b]互为相反数∴a−1+b−1=0∴a+b=2∴a+b的相反数为−2．19．在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动b个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示的数为−1．(1)在图中画出当b=6时，点A关于点B的“伴侣点”P；(2)当点P表示的数为−6，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数；(3)点A从数轴上表示−1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)画图见解析(2)−5(3)①8−2t；②存在t=7，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合【详解】（1）解：当b=6时，b≥0，将点A向右移动2个单位长度，此时点P表示的数为：−1+2=1，作图如下：（2）解：∵点P表示的数为−6，点A表示的数为−1，∴点P是点A向左移动5个单位长度得到的，∴b=5且b<0∴b=∴点B表示的数为−5，故答案为：−5；（3）解：①点B从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒，则点B表示的数为8−2t，故答案为：8−2t；②解：存在t=7，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合，理由如下：运动的时间为t秒时，点A表示的数为−1+t，点B表示的数为8−2t，分两种情况：当0<t≤4时，8−2t≥0，此时点A关于点B的“伴侣点”P表示的数为：−1+t+2=t+1，由于t>0，故t+1>0，不可能与原点重合；当t>4时，8−2t<0，此时点A关于点B的“伴侣点”P表示的数为：−1+t−8−2t∴当t=7时，点P与原点重合，综上，存在t=7，使得点A关于点B的“伴侣点”P与原点重合．20．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：+3⊗+2=+1，+11⊗−3=−8，−2⊗+5=−3，−6⊗−1小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”(1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．(2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，①用“乘减法”计算：+3⊗②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⊗b=b⊗a．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明a⊗b⊗c=a⊗【答案】(1)正，负，把绝对值相减(2)①−8；②答案不唯一【详解】（1）解：∵+3⊗+2=+1，+11⊗−3=−8，−2⊗+5=−3，−6⊗−1=+5，∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值；故答案为：正，负，把绝对值相减；（2）解：①+3===−=−8，故答案为：−8；②答案不唯一，设a=2，b=−3，c=4，左边=a⊗b右边=a⊗b⊗c左边≠所以结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立．六、减法与绝对值的巧妙整合21．阅读下面材料，回答问题：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．数轴上A、B两点的距离AB=|a−b，如数轴上表示4和−1的两点之间的距离是5，利用上述结论，回答以下问题：(1)若表示数a和−3的两点之间的距离是5，那么a=________；(2)若数轴上表示数a的点位于−1与8之间，则a+1+(3)若x表示一个有理数，且x−2+x+4>6(4)若未知数x，y满足x+5+x−2y−1【答案】(1)2或−8(2)9(3)x>2或x<−4(4)最小值−8，最大值3【详解】（1）解：依题意，a−∴a+3=5或a+3=−5，解得：a=2或a=−8故答案为：2或−8．（2）解：a+1+a−8，表示x的点到−1与∵数轴上表示数a的点位于−1与8之间，∴a+1+a−8故答案为：9．（3）由题意，分三种情况：当x>2时，则数轴上，表示x的点到−4与2的距离之和大于−4与2的距离∣−4−2∣=6，当−4≤x≤2时，则数轴上，表示x的点到−4与2的距离之和等于−4与2的距离6，舍去；当x<−4时，则数轴上，表示x的点到−4与2的距离之和大于−4与2的距离6，综上，有理数x的取值范围为x>2或x<−4；（4）根据题意，对于代数式x+5+x−2，数轴上，当x在−5和2之间时，表示x的点到−5与2的距离和最小，最小值为同理，对于y−1+y+3，数轴上，当y在−3和1之间时，y到−3和1的距离和最小，最小值为又x+5+∴−5≤x≤2，−3≤y≤1，∴x+y的最大值为2+1=3，最小值为−5+(−3)=−8．22．材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离AB表示为AB=a−b材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作AB=a−阅读材料1，2，回答下列问题：(1)数轴上表示−12和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示15和8的两点之间的距离是___________；(2)数轴上表示a和−3的两点之间的距离表示为___________；(3)数轴上表示数7和−4的两点之间的反距离是___________，数轴上表示数−2和6的两点之间的反距离是___________；(4)数轴上表示数a和−7的两点之间的反距离表示为___________；(5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2022，求m的值．【答案】(1)17，7(2)a+3(3)3，4(4)a−7(5)2021或−2023【详解】（1）解：−12−5=17，15−8故答案为：17，7；（2）a−(−3)=故答案为：a+3；（3）−4的相反数为4，则数轴上表示数7和−4的两点之间的反距离为7−4=36的相反数为−6，则数轴上表示数−2和6的两点之间的反距离为−2−(−6)=故答案为：3，4；（4）−7的相反数为7，则数轴上表示数a和−7的两点之间的反距离表示为a−7，故答案为：a−7；（5）∵最小的正整数为1，根据题意，得m−−1∴m+1=2022或m+1=−2022，∴m=2021或m=−2023，即m的值为2021或−2023．23．同学们都知道5−(−2)表示5与(1)数轴上表示5与−2的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为______；(3)如果x−2=5，则x的值是______【答案】(1)7(2)x−3(3)7或−3【详解】（1）数轴上表示5与−2两点之间的距离是：5−故答案为：7．（2）数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为：x−3故答案为：x−3．（3）∵x−2∴x在2的左侧或右侧，距离点2距离为5x在2的左侧时，x表示的数是2−5=−3x在2的右侧时，x表示的数是2+5=7故答案为：7或−3．24．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB=a−b(1)数轴上表示2和−1的两点之间的距离为________．(2)数轴上表示x和−1两点之间的距离为_____．若x表示一个有理数，且−4<x<2，则x−2+(3)数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应的数分别为a，b，c．其中AB=2020，①若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算②若O是原点，且OB=18，求a+b−c的值．【答案】(1)3(2