《基础数学（第3册）（第2版）》教案 第十三章 13.2双曲线（一）

课题双曲线（一）课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握双曲线的概念；（2）掌握双曲线的标准方程；（3）掌握双曲线的几何意义；（4）通过双曲线知识的学习与运用，培养学生的数学几何思维能力．素质目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。教学重难点教学重点：双曲线的概念与标准方程．教学难点：双曲线的几何意义．教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学理念（1）通过生活中的实例导入双曲线的概念；（2）引导学生自然地认识双曲线的形成过程；（3）通过练习，巩固知识．（4）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．教学设计第1节课：→→问题→传授新知（15min）→→第2节课：→传授新知（25min）→课堂练习（10min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家回忆椭圆的概念和标准方程，并预习双曲线的有关知识。【学生】完成课前任务通过课前的预热，让学生了解所学本节课的大概内容，激发学生的学习欲望考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】提出以下问题：凹透镜是常见的光学元件，如图13-11所示．它在我们日常生活中的应用随处可见，如近视眼镜、门镜、显微镜等．请观察近视眼镜的镜片，它们的镜面形状有什么特点？图13-11【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（15min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解双曲线的概念【知识精讲】【教师】根据导入问题讲解双曲线的概念1．双曲线的概念我们已知，平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆，那么平面内与两个定点的距离之差（绝对值）等于常数的点的轨迹是什么呢？一般地，平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线，这两个定点，称为双曲线的焦点，两焦点间的距离称为双曲线的焦距，如图13-12所示．双曲线中的每一条曲线称为双曲线的一支．图13-12【学生】聆听、思考、记忆【教师】根据概念接着讲双曲线的标准方程2．双曲线的标准方程如图13-13所示，以经过双曲线两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．图13-13设双曲线的焦距为，则两个焦点的坐标分别为，．设为双曲线上的任意一点，点到焦点和的距离之差的绝对值为，则．因为，，所以．化简整理可得．因为，所以．令，则上述方程可变形为，两边同时除以，可得．这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在轴上，中心在坐标原点上，焦点坐标为，的双曲线，其中．若选取的平面直角坐标系不同，双曲线的方程也不同．如图13-14所示，若双曲线的焦点，在轴上，点，的坐标分别为，，则双曲线的方程为．图13-14这个方程也称为双曲线的标准方程，其中．【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例1例1（1）； （2）．解（1）已知方程为双曲线的标准方程，因此这个双曲线的焦点在x轴上，且，．又因为，所以，该双曲线的焦点坐标为，，焦距为26．（2）将已知方程转化为双曲线的标准方程，得，因此这个双曲线的焦点在y轴上，且，．又因为，所以，该椭圆的焦点坐标为，，焦距为．例2求满足下列条件的双曲线的标准方程．例2（1）焦点，的坐标分别为，，双曲线上任意一点P到焦点，的距离之差的绝对值等于6；（2）两个焦点的坐标分别为，，且图像经过点．解（1）因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为．又因为，，所以，．因此，所求双曲线的标准方程为．（2）因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为．由双曲线的概念可知由此可得．又因为，所以．因此，所求双曲线的标准方程为．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握双曲线的概念与标准方程课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：求符合下列条件的双曲线的标准方程．（1）焦点在x轴上，，；（2）焦点，的坐标分别为，，且图像经过点．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，及时了解学生知识掌握情况讨论归纳（8min）【教师】提出问题同学们请讨论在椭圆和双曲线中与与的关系。【学生】聆听、思考、同桌讨论【教师】与学生一起讨论，并进行归纳通过课堂讨论，加深学生对所学知识的理解，并培养学生的团队意识第二节课问题导入（5min）【教师】提出问题：问题一：请大家观看视频“双曲线的几何性质”并学习有关双曲线几何意义的知识。双曲线的几何性质问题二：近视眼镜是很多眼睛近视的人离不开的生活用品，它利用了凹透镜可以发散光的光学性质．观察几副不同度数的近视眼镜，它们的镜片厚度、镜面曲线弧度各有何不同？这与双曲线的哪些几何性质有关？【学生】聆听、思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（25min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率【知识精讲】【教师】举例讲解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率1．范围由可知，双曲线上任意一点的坐标都满足，即，即或．例如，双曲线如图13-16所示．图13-15图13-162．对称性类比研究椭圆对称性的方法，可以得到：双曲线既是分别以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．双曲线的对称中心称为双曲线的中心．3．顶点点，是双曲线与x轴的两个交点；同理，双曲线与y轴没有交点，但我们也将点，画在y轴上，如图13-17所示．图13-17双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点．线段称为双曲线的实轴，它的长等于，a称为双曲线的实半轴长；线段称为双曲线的虚轴，它的长等于，b称为双曲线的虚半轴长．例如，双曲线的为，，实轴长为6，虚轴长为8．4．渐近线分别作直线和直线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程就称为双曲线的渐近线，如图13-18所示．图13-18例如，双曲线的．当时，双曲线可写成，像这样，实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴和虚轴的长都等于，渐近线方程为，它们互相垂直，且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．5．离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，用表示，即．因为，所以．因为，所以有．由此可知，越大，则越大，即渐近线的斜率绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，故双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．因此，双曲线的离心率反映了双曲线的开口大小．【学生】聆听、思考、记忆【学以致用】【教师】根据知识点讲解例题例3求双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．例3解将已知方程转化为双曲线的标准方程，得，其中，，，．因此，该双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为3，离心率为，渐近线方程为．【学生】聆听、讨论、理解、回答通过教师讲解、课堂讨论、举例说明等教学方式，使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率课堂练习（10min）【教师】对学生进行同桌互助自测（学困生上黑板验算）：1．求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．（1）； （2）．2．求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）顶点在y轴上，两顶点间的距离为8，离心率为；（2）焦点在x轴上，实半轴长为6，一条渐近线方程为．【学生】聆听、思考、同桌讨论，纠错使用讲练结合的方式，充分了解学情课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本次课学习了双曲线的概念，以及双曲线的标准方程。希望大家在课下多加复习，巩固所学知识，为后面的学习打下坚实的基础。【学生】总结回顾知识点总结知识点，加深学生对双曲线相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业（1）阅读：教材章节13.2；小试牛刀13.2；（2）书写：小试牛刀1