总体集中趋势的估计（教学设计）

一、内容和内容解析内容：总体集中趋势的估计．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第九章第2节第3课时的内容．本节内容是在根据样本的数据特征来估计总体的分布情况，本节内容主要根据平均数、中位数、众数来估计总体的集中趋势．通过对平均数、中位数、众数概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过利用平均数、中位数、众数估计总体的集中趋势，培养学生直观想象素养.二、目标和目标解析目标：（1）结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)．（2）会求样本数据的众数、中位数、平均数．（3）理解集中趋势参数的统计含义.目标解析：（1）本节通过实例让学生了解平均数、中位数和众数的区别与联系，重点介绍了由样本频率分布表或频率分布直方图估计总体分布的众数、中位数和平均数的方法，其意义在于当原始样本数据丢失时，通过频率分布直方图仍可以估计总体特征．（2）平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的集中趋势，从某种意义上刻画的是数据的中心位置．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，分辨平均数、众数和中位数的区别和联系，正确解读统计数据是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：会用样本的数字特征估计总体的数字特征．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：理解平均数与中位数的区别与联系是本节课的第一个教学问题．解决方案：借助三种不同形态的分布图形——对称、右边拖尾、左边拖尾，描述平均数和中位数的位置关系．2．教学问题二：由频率分布直方图估计总体的集中趋势是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：借助具体的实例，用区间的中点近似，得到平均数的估计值，其本质就是应用了加权平均数的公式．3．教学问题三：正确解读数据是第三个教学问题．日常生活中有许多模糊性的话语，如何正确理解是学生的一个难点．解决方案：通过招聘中企业老板描述本企业员工年平均收入的实际背景，解释了有些人是如何利用人们对统计术语的模糊认识进行误导．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解集中趋势参数的统计含义．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、类比、推导出众数、中位数、平均数的计算公式，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中采用分组探究的模式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视二众数、中位数、平均数的公式推导，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，应用公式解决实际问题其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图复习回顾，温故知新现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种耐用家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下：(单位：年)甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.[问题1]三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？教师1：提出问题1．学生1：三个厂家是从不同角度进行了说明，以宣传自己的产品.其中甲：众数为8年，乙：平均数为8年，丙：中位数为8年．通过具体问题，让学生感受反映样本数字集中趋势量；平均数、众数、中位数学习解决实际问题中的运用。探索交流，解决问题[问题2]众数、中位数、平均数各是什么样的数？[问题3]在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？[问题4]他们各自有什么样的特征？[问题5]一组数据的众数可以有几个？中位数是否也具有相同的结论？[问题6]中位数和平均数的大小，与数据分布形态有什么关系？教师2：提出问题2．学生2：众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．教师3：提出问题3．学生3：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．教师4：提出问题4．学生4：平均数、众数、中位数的特征：（1）平均数：样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数不具有的性质．所以与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，但平均数受样本中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．（2）中位数：一组数据中的中位数是唯一的，中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．（3）众数：一组数据中的众数可能不止一个．众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多，但并未告诉我们它比别的数值多的程度．因此，众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感．教师5：提出问题5．学生5：一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，中位数只有唯一一个.教师6：提出问题6．学生6：和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边通过具体问题，让学生感受反映样本数字集中趋势量；平均数、众数、中位数学习解决实际问题中的运用，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。典例分析，举一反三1.平均数、众数、中位数的计算例1.已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a2.利用平均数、众数、中位数估计总体例2.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？3.利用频率分布直方图求平均数、众数、中位数例3.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均分．[课堂练习1]某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A．85分、85分、85分B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分D．87分、85分、90分[课堂练习2]从高三年级抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图.由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图估计：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩.教师7：完成例题1.学生7：由题意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.选D教师8：完成例题2.学生8：(1)甲群市民年龄的平均数为eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.(2)乙群市民年龄的平均数为eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁.由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差.教师9：完成例题3．学生9：(1)由图知众数为eq\f(70＋80,2)＝75.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4＞0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.(3)由图知这次数学成绩的平均分为：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72.教师10：布置课堂练习1、2．学生10：完成课堂练习，并核对答案．通过例1,例2，让学生掌握反映样本数字集中趋势量；平均数、众数、中位数的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。通过例题3巩固利用频率分布直方图求平均数、众数、中位数，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1]会求n个数中的平均数、众数、中位数．[课堂练习2]会求频率分布直方图中的平均数、众数、中位数．课堂小结升华认知[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.下列数据的中位数和众数分别是()79，84，84，86，84，87，93A.84，84B.84，86C.85，84D.86，842.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为()3.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图