2023年高考金榜预测数学试卷（一）（新高考数学试卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12023年高考金榜预测卷（一）（新高考卷）数学单项选择题1．设集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得，则，所以，则或，又，所以.故选：D.2．已知复数，则的值是（

）A．32 B． C．i D．-i〖答案〗C〖解析〗，所以.故选：C.3．如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（

）A．4 B． C． D．6〖答案〗D〖解析〗以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，连接CD，OC，OD，因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，因为，所以，则，，所以.故选：D4．紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，则，，，，故选：B．5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率.故选：A6．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．〖答案〗C〖解析〗函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的图象；由题可知，，解得，则，又，故可得，解得，故.故选：C.7．已知椭圆的左焦点为F，A，B分别为C的左右顶点，与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为M，且轴，则C的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗解法一：由题意可知，故直线AD的方程为，即，直线BG的方程为，即，联立直线AD，BG的方程，解得.又轴，所以，所以C的离心，故选：A.解法二：设O为坐标原点，由题意知，故，所以，即，解得.又，所以，即，解得，则，得，所以C的离心率故选：A.8．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：.多项选择题9．在正方体中，下述正确的是（

）A．平面 B．平面C． D．平面平面〖答案〗AD〖解析〗，平面，平面，所以平面；，与不垂直，则与不垂直，平面不正确；，则为等边三角形，则与不垂直，则与也不垂直；正方体中，有平面，则，又，可推得平面，从而平面平面.故选：AD.10．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．B．若，则的最小值为C．取最大值时，或D．若，n的最大值为8〖答案〗ACD〖解析〗由题意得，可得，则等差数列的通项公式为，则选项A判断正确；若，则,则（当且仅当，时等号成立）又，则的最小值不是．则选项B判断错误；等差数列中，…则等差数列的前n项和取到最大值时，n=4或n=5．则选项C正确；，得,且，故n的最大值为8，则选项D判断正确，．故选：ACD11．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为〖答案〗BCD〖解析〗解：抛物线，即，对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，所以当时，的最小值为抛物线的通径长，故C正确；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，故D正确.故选：BCD.12．关于函数，下列描述正确的有（

）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则D．函数有且仅有两个零点〖答案〗ABD〖解析〗由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示.由图可得函数在区间上单调递增，A正确；函数的图象关于直线对称，B正确；若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．的展开式中，项的系数为35，则实数a的值为______．〖答案〗或3〖解析〗由二项式定理的通项可得，，，，因为项的系数为35，所以，整理得，解得或，故〖答案〗为：或3.14．过点的直线与圆交于，两点，则的值为________.〖答案〗1〖解析〗过作圆的切线，切点为，连接，为坐标原点，结合已知条件如下图所示：因为是以圆心，半径的圆，且，所以，又由切割线定理可知，.故〖答案〗为：1.15．设是函数的一个极值点，则______.〖答案〗〖解析〗，由题意得：，又因为，解得：，故.故〖答案〗为：.16．已知双曲线的左､右焦点分别是，，P是双曲线右支上一点，，O为坐标原点，过点O作的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则___________.〖答案〗〖解析〗当时，代入双曲线可得，由可得，由题易得.由相似三角形的性质可知，，则，，整理得.，，解得.故〖答案〗为：.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．等比数列中，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列，试求数列前项的和，并证明．解：（1）设等比数列的公比为，因为，且，，成等差数列，所以，因为，所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得数列的通项公式为所以数列，所以数列前项的和因为是递增数列，所以，所以.18．在锐角中，角的对边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．（1）解：因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2）解：，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．19．在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：（1）求四棱锥的体积；（2）若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．（1）解：在图1中，∵，∴，又，∴，又，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形．在图2中，连接，则，又平面，，∴平面，∵平面，∴∵，平面,∴平面.（2）证明：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，，设面的一个法向量为，由令，则，取设面的一个法向量为，由令，则，取所以，∴，从而二面角为直二面角20．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，．（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；（2）记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率．①证明：；②求．（1）解：由条件概率公式可得；所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为；（2）①证明：由条件概率乘法公式可得，由,可得,所以②解：由①可得=，所以．21．已知椭圆的半焦距，离心率，且过点，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，若，求的取值范围.解：（1）由题意得，整理得，即，解得或.当时，，此时C的离心率，符合题意；当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去，所以椭圆C的方程为.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立得，因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，所以，整理得.设，则，所以，因为，所以令，则，由，得，即，因为，所以，解得，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l与椭圆C的两交点分别为，不妨取，则，所以，所以，解得，综上所述，的取值范围为.22．已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数的最小值为为函数的两个零点，证明：；（3）证明：对于任意.（1）解：（），，若时，则恒成立，在上单调递增，故没有极值；若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极小值，极小值为，无极大值.（2）证明：由（1）可知，当时，有最小值，，由函数的最小值为0，得，由题知，，，，，，，（），令，则，令，则在上单调递增，又，在上，，，单调递减，在上，，，单调递增，，得证.（3）证明：由（1），最小值为，所以，令，，可得，又在时，单调递增，所以当时，对于任意，可得，，，，，以上各式相加可得，可得成立.2023年高考金榜预测卷（一）（新高考卷）数学单项选择题1．设集合，则（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得，则，所以，则或，又，所以.故选：D.2．已知复数，则的值是（

）A．32 B． C．i D．-i〖答案〗C〖解析〗，所以.故选：C.3．如图，圆的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则（

）A．4 B． C． D．6〖答案〗D〖解析〗以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴，建立平面直角坐标系，连接CD，OC，OD，因为点C，D是半圆弧上的两个三等分点，所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，所以三角形OCD为等边三角形，故∠OCD=∠ODC=60°，则CDAB，因为，所以，则，，所以.故选：D4．紫砂壸是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壸的壸型众多，经典的有西施壸､掇球壸､石飘壸､潘壸等．其中，石瓢壸的壸体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壸的相关数据（单位：），那么该壸的容积约接近于（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，则，，，，故选：B．5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能.所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率.故选：A6．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．〖答案〗C〖解析〗函数的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到的图象；由题可知，，解得，则，又，故可得，解得，故.故选：C.7．已知椭圆的左焦点为F，A，B分别为C的左右顶点，与y轴的一个交点为D，直线AD，BG的交点为M，且轴，则C的离心率为（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗解法一：由题意可知，故直线AD的方程为，即，直线BG的方程为，即，联立直线AD，BG的方程，解得.又轴，所以，所以C的离心，故选：A.解法二：设O为坐标原点，由题意知，故，所以，即，解得.又，所以，即，解得，则，得，所以C的离心率故选：A.8．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：.多项选择题9．在正方体中，下述正确的是（

）A．平面 B．平面C． D．平面平面〖答案〗AD〖解析〗，平面，平面，所以平面；，与不垂直，则与不垂直，平面不正确；，则为等边三角形，则与不垂直，则与也不垂直；正方体中，有平面，则，又，可推得平面，从而平面平面.故选：AD.10．已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．B．若，则的最小值为C．取最大值时，或D．若，n的最大值为8〖答案〗ACD〖解析〗由题意得，可得，则等差数列的通项公式为，则选项A判断正确；若，则,则（当且仅当，时等号成立）又，则的最小值不是．则选项B判断错误；等差数列中，…则等差数列的前n项和取到最大值时，n=4或n=5．则选项C正确；，得,且，故n的最大值为8，则选项D判断正确，．故选：ACD11．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为〖答案〗BCD〖解析〗解：抛物线，即，对于A，由抛物线方程知其焦点在轴上，焦点为，故A错误；对于B，依题意，直线斜率存在，设其方程为，由，消去整理得，，，故B正确；对于C，若，则直线过焦点，所以，所以当时，的最小值为抛物线的通径长，故C正确；对于D，，，即点纵坐标为，到轴的距离为，故D正确.故选：BCD.12．关于函数，下列描述正确的有（

）A．函数在区间上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．若，但，则D．函数有且仅有两个零点〖答案〗ABD〖解析〗由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，则函数的图象如图所示.由图可得函数在区间上单调递增，A正确；函数的图象关于直线对称，B正确；若，但，若，关于直线对称，则，C错误；函数有且仅有两个零点，D正确.故选：ABD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．的展开式中，项的系数为35，则实数a的值为______．〖答案〗或3〖解析〗由二项式定理的通项可得，，，，因为项的系数为35，所以，整理得，解得或，故〖答案〗为：或3.14．过点的直线与圆交于，两点，则的值为________.〖答案〗1〖解析〗过作圆的切线，切点为，连接，为坐标原点，结合已知条件如下图所示：因为是以圆心，半径的圆，且，所以，又由切割线定理可知，.故〖答案〗为：1.15．设是函数的一个极值点，则______.〖答案〗〖解析〗，由题意得：，又因为，解得：，故.故〖答案〗为：.16．已知双曲线的左､右焦点分别是，，P是双曲线右支上一点，，O为坐标原点，过点O作的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率，存在实数m满足，则___________.〖答案〗〖解析〗当时，代入双曲线可得，由可得，由题易得.由相似三角形的性质可知，，则，，整理得.，，解得.故〖答案〗为：.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．等比数列中，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列，试求数列前项的和，并证明．解：（1）设等比数列的公比为，因为，且，，成等差数列，所以，因为，所以，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得数列的通项公式为所以数列，所以数列前项的和因为是递增数列，所以，所以.18．在锐角中，角的对边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．（1）解：因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2）解：，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．19．在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：（1）求四棱锥的体积；（2）若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．（1）解：在图1中，∵，∴，又，∴，又，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形．在图2中，连接，则，又平面，，∴平面，∵平面，∴∵，平面,∴平面.（2）证明：在图2中，以为原点，以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，，，，设面的一个法向量为，由令，则，取设面的一个法向量为，由令，则，取所以，∴，从而二面角为直