2020-2021学年重庆市九年级(下)第二阶段期末数学试卷

2020-2021学年重庆市九年级（下）第二阶段数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）以下各数中，比﹣1小的数是（）A．2 B．0 C．﹣ D．﹣22．（4分）据中央广播电视总台中国之声《全国新闻联播》报道，最新数据显示，2020年我国农产品加工业营业收入超过23.2万亿元，较上年增长5.2%，将23.2万用科学记数法表示为（）A．0.232×103 B．23.2×104 C．2.32×105 D．2.32×1043．（4分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．扇形 D．平行四边形4．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣1或35．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（）A．68° B．62° C．58° D．52°6．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．x6÷x3＝x3 C．（a2）3＝a5 D．+＝7．（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．菱形的对角线相等 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形8．（4分）如图，已知，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AA′＝2OA，若△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．189．（4分）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米 B．240米 C．250米 D．260米10．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（）A．12 B．13 C．14 D．1511．（4分）如图，已知在△ABC中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AEB'，AB'交BC中点D．若AC＝6，BE＝2，AD＝3DB′，若S△DEB′＝1，求点B′到线段AC的距离（）A． B．3 C． D．412．（4分）如图，矩形OABC在以O为原点的平面直角坐标系中，且它的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与AB相交于点E，若BD＝2CD，且△ODE的面积为4，则k的值为（）A． B．3 C．4 D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上13．（4分）计算（）0﹣|﹣2|的结果是．14．（4分）将直线y＝2x﹣1向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为．15．（4分）一个盒子中有若干个红球和8个白球，这些球除了颜色外都相同，再往该盒子中放入4个相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则盒子中原有的红球个数为．16．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，半径OA＝2，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠ODB＝30°，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）17．（4分）五一劳动节假期，小明一家开车去旅游景区游玩，他们从家里出发驾车匀速行驶，出发30分钟后，小明发现自己忘记带学生证了，景区学生证票价半价，于是小明一家马上调头回家，把车速提高到了之前的，到家后小明从拿学生证到重新出发用时10分钟，然后他们以70km/h的速度匀速出发赶往景区，中途不停歇，已知小明到景区的距离y千米与小明出发的时间x分钟的函数关系如图所示，则小明一家从最初出发开始，到最后达到景区整个过程共用时分钟．18．（4分）今年春节某超市组装了甲、乙两种礼品盒，他们都是由a，b，c三种零食组成，其中甲礼品盒装有3千克a零食，1千克b零食，1千克c零食，乙礼品盒装有2千克a零食，2千克b零食，2千克c零食，甲、乙两种礼品盒的成本均为盒中a，b，c三种零食的成本之和．已知每千克a的成本为10元，乙种礼品盒的售价为60元，每盒利润率为25%，甲种每盒的利润率为50%，当甲、乙两种礼盒的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种礼盒的数量之比是．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上.19．（10分）计算：（1）（x﹣2y）2﹣y（3x+4y）；（2）（+m+1）÷．20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线AF，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（要求：不写作法，只保留作图痕迹，并标明字母）（2）求证：DA＝DG．21．（10分）近年来，儿童青少年近视问题受到社会广泛关注．日前，国家卫健委发布《儿童青少年防控近视手册》，分别针对幼儿园、小学生、中学生量身定制了不同版本的个性化防控近视方案．某校为了了解本校学生的视力情况，现抽取学校七、八年级的部分学生进行视力筛查，根据视力检查结果对学生的视力情况进行打分，满分100分．本次视力筛查，分别从七、八年级学生中各抽取了20人进行检测，现对学生视力成绩的数据进行整理和分析．视力成绩得分用x表示，数据共分6组：A：40≤x＜50；B：50≤x＜60；C：60≤x＜70；D：70≤x＜80；E：80≤x＜90；F：90≤x≤100．经过对七、八年级这40名学生成绩的整理，绘制了表格：班级平均数中位数众数七年级74.1ab八年级73.875.583七年级学生视力成绩的频数分布表：成绩等级人数A1BcC3D5E6F3七年级视力成绩在D、E两组的分布是：70，75，70，76，70，80，85，85，80，85，85．根据以上数据，完成下列问题：（1）完成填空：a＝，b＝，c＝；（2）七年级学生共有300人，若视力成绩在80分及以上为优秀，请估计七年级学生视力优秀的学生有多少人？（3）根据以上数据，你觉得七、八年级学生哪个年级的学生视力水平相对较好？请说明理由．22．（10分）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维．小明正在探究函数y＝a|x﹣1|+b（a，b为常数）的性质．下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）列表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…9753135c…分析数据，完成填空：a＝，b＝，c＝；（2）如图，在平面直角坐标系中，根据表格的数据描点、连线，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出该函数图象的其中一条性质；（4）当a|x﹣1|+b＞3时，直接写出x的取值范围．23．（10分）材料一：若一个三位数各个数位上的数字之和为9的倍数，则称这个数为“长久数”．例如：126是“长久数”，因为1+2+6＝9，9是9的倍数．657不是“长久数”，因为6+5+7＝19，19不是9的倍数．材料二：三位数M＝，若满足a＞b＞c且a+c＝2b，则称M为“递减数”．（1）判断963是否为“长久数”和“递减数”？并说明理由；（2）求出既是“长久数”又是“递减数”的所有三位数．24．（10分）魅力重庆，风景秀美，其中享有“鬼城”之称的丰都，世界闻名，吸引大批游客前来．旅游业的发展带动美食经济，中央电视台也曾在“欢乐中国行”栏目中力推“胡辣壳抄手、仙家豆腐乳、麻辣鸡块”等丰都美食．某麻辣鸡店铺推出“到店消费”和“美味到家”两种营销方式，其中“到店消费”按72元/斤付费，“美味到家”按80元/斤，邮费自付的方式付费．2021年2月“到店消费”的销售量比“美味到家”的销售量高12斤，总营业额为17280元．（1）求该店2月份“到店消费”和“美味到家”的销售量分别是多少斤？（2）为了提高大众知名度，店面决定在3月份搞促销活动，同比2月份“到店消费”的单价下降了a%，“美味到家”的单价不变，但购买则送凉拌鸡杂一份，3月底统计发现“到店消费”和“美味到家”销售量同比2月份分别提升了25a%和10a%，总营业额比2月份的总营业额提升了15a%，求a的值．25．（10分）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点P，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线BC于点Q，是否存在点P，使得PQ+QC取得最大值，若存在，请求出它的最大值以及点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移2个单位长度，此时P的对应点为P′，M为平移后抛物线对称轴上的一动点，是否存在点M使得△PP′M为等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．四、解答题：（本大题1个小题，每小题8分，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上26．（8分）已知，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D为边BC延长线上一动点，过点D作BE⊥BA于点E并交AC于点G，连接AD，点F是AD的中点，连接CF、EF、CE．（1）如图1，小华研究发现∠B和∠CFE有特定的数量关系，请你认真研究，当∠B＝∠CFE时，求出∠B；（2）在（1）小题的结论下，如图2，在点D的运动过程中，当GC＝BC时，式子的值不变．猜想这个值并证明你猜想的结论；（3）在（1）小题的结论下，如图3，过点C作CM∥DE交AB于点M，在MC的延长线上取点N，使得CN＝CM，连接NF．在点D的运动过程中，当NF取得最小值时，请直接写出sin∠FCN的值．

2020-2021学年重庆市九年级（下）第二阶段数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1．（4分）以下各数中，比﹣1小的数是（）A．2 B．0 C．﹣ D．﹣2【解答】解：∵2＞0＞﹣＞﹣2，故选：D．2．（4分）据中央广播电视总台中国之声《全国新闻联播》报道，最新数据显示，2020年我国农产品加工业营业收入超过23.2万亿元，较上年增长5.2%，将23.2万用科学记数法表示为（）A．0.232×103 B．23.2×104 C．2.32×105 D．2.32×104【解答】解：23.2万＝232000＝2.32×105．故选：C．3．（4分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．矩形 C．扇形 D．平行四边形【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．4．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．3 D．﹣1或3【解答】解：当分式＝0时，x﹣3＝0，且x+1≠0解得x＝3且x≠﹣1．故选：C．5．（4分）如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（）A．68° B．62° C．58° D．52°【解答】解：∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，∴∠D＝∠B＝58°，故选：C．6．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．x6÷x3＝x3 C．（a2）3＝a5 D．+＝【解答】解：A．a2与a3不是同类项无法合并，故此选项错误；B．x6÷x3＝x3，故此选项正确；C．（a2）3＝a6，故此选项错误；D.与不是同类二次根式无法合并，故此选项错误；故选：B．7．（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．菱形的对角线相等 D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、矩形的对角线相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意，故选：D．8．（4分）如图，已知，△ABC和△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，AA′＝2OA，若△ABC的面积为2，则△A′B′C′的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．18【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'是位似图形，点O为位似中心，AA'＝2AO，∴OA：OA′＝1：3，∴S△ABC：S△A′B′C′＝1：9，∵△ABC的面积为：2，∴△A'B'C'的面积为：2×9＝18．故选：D．9．（4分）清明假期，小明和小亮一起去爬山踏青，感受春的味道．小明和小亮分别选择了两条不同的路线登顶，如图，小明从A点出发水平直行到达了B点，然后沿坡度为i＝0.75：1的斜坡BC走500米到达C点处，再从C点出发水平直行120米到达D点，最后从D点沿着坡度为i＝5：12的斜坡走520米登顶到达E点，而小亮选择了从A点直接沿着斜坡AE登顶E点，已知小亮在山顶E点测得山脚A点的俯角为22°，则AB的长度约为（）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．230米 B．240米 C．250米 D．260米【解答】解：如图，过C、E分别作CF⊥AB、EG⊥AB，垂足为F、G，延长CD交EG于点H，由斜坡BC的坡度i＝0.75：1，即i＝3：4，BC＝500，设CF＝3x米，则BF＝4x米，由勾股定理可得，CF2+BF2＝BC2，即（3x）2+（4x）2＝5002，解得，x＝100（米），∴GF＝300（米），BF＝400（米），由斜坡DE的坡度i＝5：12，BC＝520米，设EH＝5y米，则DH＝12y米，由勾股定理可得，EH2+DH2＝DE2，即（5y）2+（12）2＝5202，解得，y＝40（米），∴EH＝5y＝200（米），DH＝12y＝480（米），∴EG＝EH+HG＝200+300＝500（米），BG＝BF+CD+DH＝400+120+480＝1000（米），在Rt△AEG中，∵tan22°＝，即0.40＝，∴AB＝250（米），故选：C．10．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于x的分式方程+＝1有正数解，则所有满足条件的整数a的和为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：，解不等式①得：x＜5，解不等式②得：x≥，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且仅有3个整数解，∴1＜≤2，∴2＜a≤6；分式方程两边都乘以（x﹣1）得：ax﹣2﹣3＝x﹣1，解得：x＝，∵x﹣1≠0，∴x≠1，∵方程有正数解，∴0，≠1，∴a＞1，a≠5，∴2＜a≤6，且a≠5，∴a的整数解为3，4，6，和为13，故选：B．11．（4分）如图，已知在△ABC中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，得到△AEB'，AB'交BC中点D．若AC＝6，BE＝2，AD＝3DB′，若S△DEB′＝1，求点B′到线段AC的距离（）A． B．3 C． D．4【解答】解：∵AD＝3DB′，S△DEB′＝1，∴S△ADE＝3，∴S△AEB'＝4，∵将△ABE沿AE翻折，∴S△ABD＝4+3＝7，∵D为BC的中点，∴S△ACD＝S△ABD＝7，作DF⊥AC于F，B'G⊥AC于G，∴DF∥B'G，∴△ADF∽△AB'G，∵AC＝6，∴，∴，∴，∴，∴．故选：C．12．（4分）如图，矩形OABC在以O为原点的平面直角坐标系中，且它的两边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与AB相交于点E，若BD＝2CD，且△ODE的面积为4，则k的值为（）A． B．3 C．4 D．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝2CD，∴D（a，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△COD﹣S△OAE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣•a•（b﹣）＝4，∴ab﹣k＝4，解得：k＝3，故选：B．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上13．（4分）计算（）0﹣|﹣2|的结果是﹣1．【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（4分）将直线y＝2x﹣1向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝2x+1．【解答】解：直线y＝2x﹣1向上平移2个单位，得y＝2x﹣1+2，即y＝2x+1，故答案为y＝2x+1．15．（4分）一个盒子中有若干个红球和8个白球，这些球除了颜色外都相同，再往该盒子中放入4个相同的红球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率是，则盒子中原有的红球个数为8．【解答】解：设盒子中原有的红球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝8，经检验：x＝8是原分式方程的解；∴盒子中原有的红球的个数为8个．故答案为：8；16．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，半径OA＝2，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠ODB＝30°，则图中阴影部分的面积为3﹣π．（结果保留π）【解答】解：∵OB＝OD，∵∠B＝∠ODB＝30°，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，OA＝2，∴AC⊥AB，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠AOD＝30°，∴OC＝2OA＝AB＝4，∴AC＝＝2，过O作OH⊥BD于H，∴∠OHB＝90°，∴OH＝OB＝1，BD＝2BH＝，∴图中阴影部分的面积＝S△BOD+S△ACO﹣S扇形AOD＝+﹣＝3﹣π，故答案为：3﹣π．17．（4分）五一劳动节假期，小明一家开车去旅游景区游玩，他们从家里出发驾车匀速行驶，出发30分钟后，小明发现自己忘记带学生证了，景区学生证票价半价，于是小明一家马上调头回家，把车速提高到了之前的，到家后小明从拿学生证到重新出发用时10分钟，然后他们以70km/h的速度匀速出发赶往景区，中途不停歇，已知小明到景区的距离y千米与小明出发的时间x分钟的函数关系如图所示，则小明一家从最初出发开始，到最后达到景区整个过程共用时134.5分钟．【解答】解：由图知：家离景区距离84km，小明在OA时间段走了•84﹣54＝30km，用时30分钟，AB时间段以原来速度的返回家中，走了OA段的相同路程，BC时间段用时10分钟，CD时间段以70km/h的速度匀速行驶赶往景区，∴OA段时间：t1＝30分钟＝小时，OA段速度：v1＝＝＝60km/h，AB段速度：v2＝v1＝×60＝80km/h，AB段时间：t2＝＝＝＝h＝22.5min，CD段时间：t3＝＝h＝72min，BC段时间：t4＝10min，∴共用时t＝t1+t2+t3+t4＝30+22.5+72+10＝134.5（min）．故答案为：134.5min．18．（4分）今年春节某超市组装了甲、乙两种礼品盒，他们都是由a，b，c三种零食组成，其中甲礼品盒装有3千克a零食，1千克b零食，1千克c零食，乙礼品盒装有2千克a零食，2千克b零食，2千克c零食，甲、乙两种礼品盒的成本均为盒中a，b，c三种零食的成本之和．已知每千克a的成本为10元，乙种礼品盒的售价为60元，每盒利润率为25%，甲种每盒的利润率为50%，当甲、乙两种礼盒的销售利润率为时，该商场销售甲、乙两种礼盒的数量之比是6：11．【解答】解：设b的成本为m元，c的成本为n元，由题意得乙的进价为元，∴乙的利润为60﹣48＝12元，且2×10+2m+2n＝48元，∴m+n＝14，∴甲的成本为3×10+m+n＝44元，∴甲的利润为44×50%＝22元，设甲与乙的数量比为1：a，则，解得a＝，∴1：a＝，故答案为6：11．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在对应的位置上.19．（10分）计算：（1）（x﹣2y）2﹣y（3x+4y）；（2）（+m+1）÷．【解答】解：（1）原式＝x2﹣4xy+4y2﹣3xy﹣4y2＝x2﹣7xy；（2）原式＝（+）÷＝•＝•＝．20．（10分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线AF，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（要求：不写作法，只保留作图痕迹，并标明字母）（2）求证：DA＝DG．【解答】（1）解：如图，AF为所作；（2）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＝∠DAG，∵AB∥CD，∴∠G＝∠BAG，∴∠DAG＝∠G，∴DA＝DG．21．（10分）近年来，儿童青少年近视问题受到社会广泛关注．日前，国家卫健委发布《儿童青少年防控近视手册》，分别针对幼儿园、小学生、中学生量身定制了不同版本的个性化防控近视方案．某校为了了解本校学生的视力情况，现抽取学校七、八年级的部分学生进行视力筛查，根据视力检查结果对学生的视力情况进行打分，满分100分．本次视力筛查，分别从七、八年级学生中各抽取了20人进行检测，现对学生视力成绩的数据进行整理和分析．视力成绩得分用x表示，数据共分6组：A：40≤x＜50；B：50≤x＜60；C：60≤x＜70；D：70≤x＜80；E：80≤x＜90；F：90≤x≤100．经过对七、八年级这40名学生成绩的整理，绘制了表格：班级平均数中位数众数七年级74.1ab八年级73.875.583七年级学生视力成绩的频数分布表：成绩等级人数A1BcC3D5E6F3七年级视力成绩在D、E两组的分布是：70，75，70，76，70，80，85，85，80，85，85．根据以上数据，完成下列问题：（1）完成填空：a＝75.5，b＝85，c＝2；（2）七年级学生共有300人，若视力成绩在80分及以上为优秀，请估计七年级学生视力优秀的学生有多少人？（3）根据以上数据，你觉得七、八年级学生哪个年级的学生视力水平相对较好？请说明理由．【解答】解：（1）c＝20﹣1﹣3﹣5﹣6﹣3＝2（人），七年级学生视力从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝75.5，因此中位数是75.5，即a＝75.5，七年级学生视力出现次数最多的是85，共出现4次，因此众数是85，即b＝85，故答案为：a＝75.5，b＝85，c＝2；（2）300×＝135（人），答：七年级300名学生中视力优秀的大约有135人；（3）七年级较好，理由为：七年级的平均数、众数均比八年级的高．22．（10分）探究函数的性质可以扩展我们的数学思维．小明正在探究函数y＝a|x﹣1|+b（a，b为常数）的性质．下面是小明的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）列表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…9753135c…分析数据，完成填空：a＝2，b＝1，c＝7；（2）如图，在平面直角坐标系中，根据表格的数据描点、连线，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出该函数图象的其中一条性质；（4）当a|x﹣1|+b＞3时，直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝1，∴，解得，∵函数的解析式为y＝2|x﹣1|+1，把x＝4代入得y＝2×3+1＝7，∴c＝7，故答案为2，1，7；（2）画出函数图象如图：（3）由图象可知，当x＞1时，y随x值的增大而增大；（4）观察图象，当a|x﹣1|+b＞3时，x的取值范围是x＜0或x＞2．23．（10分）材料一：若一个三位数各个数位上的数字之和为9的倍数，则称这个数为“长久数”．例如：126是“长久数”，因为1+2+6＝9，9是9的倍数．657不是“长久数”，因为6+5+7＝19，19不是9的倍数．材料二：三位数M＝，若满足a＞b＞c且a+c＝2b，则称M为“递减数”．（1）判断963是否为“长久数”和“递减数”？并说明理由；（2）求出既是“长久数”又是“递减数”的所有三位数．【解答】解：（1）∵9+6+3＝18，18是9的倍数，∴963是“长久数”，∵9＞6＞3，且9+3＝2×6，∴963是“递减数”；（2）设三位数M＝既是“长久数”又是“递减数”，∵M＝“递减数”，∴a＞b＞c，a+c＝2b，∴a+b+c＝3b，∵M是“长久数”，∴＝为整数，∵0≤b≤9，0≤a≤9，0≤c≤9，a＞b＞c，∴b＝3或6，1°当b＝3时，a＝4，c＝2，此时M＝432，或a＝5，c＝1，此时M＝531，2°当b＝6时，a＝7，c＝5，此时M＝765，或a＝8，c＝4，此时M＝864，或a＝9，c＝3，此时M＝963，∴既是“长久数”又是“递减数”的所有三位数为432，531，765，864，963．24．（10分）魅力重庆，风景秀美，其中享有“鬼城”之称的丰都，世界闻名，吸引大批游客前来．旅游业的发展带动美食经济，中央电视台也曾在“欢乐中国行”栏目中力推“胡辣壳抄手、仙家豆腐乳、麻辣鸡块”等丰都美食．某麻辣鸡店铺推出“到店消费”和“美味到家”两种营销方式，其中“到店消费”按72元/斤付费，“美味到家”按80元/斤，邮费自付的方式付费．2021年2月“到店消费”的销售量比“美味到家”的销售量高12斤，总营业额为17280元．（1）求该店2月份“到店消费”和“美味到家”的销售量分别是多少斤？（2）为了提高大众知名度，店面决定在3月份搞促销活动，同比2月份“到店消费”的单价下降了a%，“美味到家”的单价不变，但购买则送凉拌鸡杂一份，3月底统计发现“到店消费”和“美味到家”销售量同比2月份分别提升了25a%和10a%，总营业额比2月份的总营业额提升了15a%，求a的值．【解答】解：（1）设该店2月份“到店消费”的销售量是x斤，“美味到家”的销售量是y斤，依题意得：，解得：．答：该店2月份“到店消费”的销售量是120斤，“美味到家”的销售量是108斤．（2）依题意得：72（1﹣a%）×120（1+25a%）+80×108（1+10a%）＝17280（1+15a%），整理得：18a2﹣360a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为20．25．（10分）已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），且抛物线的对称轴为直线x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上有一动点P，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交直线BC于点Q，是否存在点P，使得PQ+QC取得最大值，若存在，请求出它的最大值以及点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线BC方向平移2个单位长度，此时P的对应点为P′，M为平移后抛物线对称轴上的一动点，是否存在点M使得△PP′M为等腰三角形，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴为x＝1，则xA+xB＝2，∴xB＝3，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2a+c，当x＝0时，y＝c＝3，当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）如图，过Q作QE⊥y轴，∴QE＝xQ，∵C（0，3），B（3，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∴在Rt△CEQ中，QE＝QC，设直线BC：y＝kx+d，则，∴，∴BC：y＝﹣x+3，设P（P，﹣P2+2P+3），则Q（P，﹣P+3），∴PQ＝﹣P2+2P+3+P﹣3＝﹣P2+3P，QE＝xQ＝P，∴PQ+＝PQ+QE＝﹣P2+3P+P＝﹣P2+4P＝﹣（P﹣2）2+4，当P＝2时，PQ+最大（P＝2时，符合点P在BC上方），（PQ+）最大等于4，此时P（2，3），故存在点P，PQ+最大值为4，点P的坐标为（2，3）．（3）由（2）知∠OCB＝∠OBC＝45°，将抛物线沿射线方向平移2个单位长度，相当于将抛物线向左平移2个单位长度后向上平移2个单位长度，原抛物线：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，平移后：y＝﹣（x﹣1+2）2+4+2＝﹣（x+1）2+6，∴平移后对称轴为：直线x＝﹣1，又∵点P的对应点P'（0，5），∴PP'＝2，设