期末测试卷（考试范围必修第一册全部）（解析版）

期末测试卷考试范围：人教A版必修第一册全部时间：120分钟满分：150分姓名：班级：得分：题号一二三四总分得分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在给出的四个选项中只有一项是正确的。1．集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，从而可求出，然后解方程求出集合A，B，再求两集合的并集【详解】因为，所以，所以，解得，所以，，所以，故选：D2．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.【详解】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：.故选：A.3．若，且，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式可得得范围，判断选项A；利用和与平方和的关系判断选项B；利用对数运算化简结合选项A判断出选项C；利用基本不等式可得选项D正确．【详解】，，解得，当且仅当时取等号，故选项A错误；，，当且仅当时取等号，故选项B错误；由A可得，，当且仅当时取等号，故选项C错误；，当且仅当时取等号，故选项D正确；故选：D4．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由偶函数的性质可得，函数在在上单调递减，结合函数性质解不等式即可.【详解】因为为的偶函数，又，在上单调递增，所以，函数在在上单调递减，所以当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，又当或或时，，所以的解集为，故选：A.5．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．【详解】解：因为，所以，当时，的最小值为；当时，，，由知，，所以此时，其最小值为；同理，当，时，，其最小值为；当，时，的最小值为；作出如简图，因为，要使，则有．解得或，要使对任意，都有，则实数的取值范围是．故选：A．6．已知函数，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较a、b、c大小.【详解】由，，即，所以，又，所以，而递增，故故选：D7．已知函数，先把函数的图象向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则下列说法错误的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数在区间上单调递增C．函数是奇函数，最大值是2D．函数的最小正周期为【答案】B【分析】先根据题意求出的解析式，然后利用三角函数的性质逐个分析判断即可【详解】，则把函数的图象向左平移个单位，可得，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的，可得，所以，对于A，由，得，所以的图象的对称轴为直线，则的图象关于直线对称，所以A正确，对于B，由，得，因为在上不单调，所以在区间上不单调递增，所以B错误，对于C，因为，所以为奇函数，且最大值为2，所以C正确，对于D，的最小正周期为，所以D正确，故选：B8．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】使用诱导公式及两角和与差得余弦解决.【详解】因为，所以．又，所以，故故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在给出的四个选项中至少有一项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（

）A．B．“”是“”的充要条件C．的对称轴方程为D．“”是“为偶函数”的充要条件【答案】AB【分析】由诱导公式变形判断A，根据充要条件的宝岛判断B，由正弦函数的对称轴求解判断C，根据充要条件的定义和偶函数的定义、诱导公式判断D．【详解】，A正确；，，反之时，，B正确；，，C错误；时，是偶函数，但时，也有为偶函数，D错．故选：AB．10．计算下列各式的值，其结果为1的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD.11．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（

）A．2 B．-1 C．0 D．1【答案】BC【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【详解】解：当时，，所以当时，，若，则，所以此时，即存在最小值，若，则当时，，无最小值，若，则当时，为减函数，则要使存在最小值时，则，解得，综上或.故选：BC.12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解【答案】BCD【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，有，又，即，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，对于A，，A不正确；对于B，当时，，有，则，当时，，，有，，当时，的取值范围为，B正确；对于C，，函数为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有5个交点，因此方程仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。13．已知，则函数的最大值为_______.【答案】【分析】由基本不等式即可求出答案.【详解】解：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，即最大值为.故答案为：.14．已知，则___________.【答案】【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.【详解】由得，即，两边同时平方得，即，解得.故答案为：.15．在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则__.【答案】【分析】由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.【详解】，则，由正余混弦的定义可得.则有，解得，因此，.故答案为：16．已知函数，则函数是___________函数(从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶函数”中选择一个填空)，不等式的解集为___________.【答案】

奇

【解析】根据条件求出的解析式，分析其定义域，通过计算得，则可得为奇函数；结合与的关系，可将题中的不等式变形为，再由的单调性，即可解出不等式.【详解】由，得，其定义域为，，则是奇函数；由得，即，又为上的增函数，则，即，所以.故答案为：奇；.【点睛】关键点点睛：本题的关键是借助这一条件，以及的奇偶性将不等式变形，再利用的单调性，即可求解函数不等式.四、解答题：本大题共6小题，共计70分，需要写出必要的推理过程。17.（10分）已知角终边过点，，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据三角函数的定义，结合余弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【解析】(1)根据三角函数的定义，因为角终边上有一点，所以，，即，所以；(2)由且，得，所以.由（1）知，所以.又因为，，所以，所以，且，因为.所以.18.（12分）已知集合．(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得，，再根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意，再结合（1）即可证明.【解析】（1）解：若，又，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，

故的取值范围为．（2）证明：，当且仅当时取等号．19.（12分）已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】(1)(2)函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；【分析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；【解析】(1)解：的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，，，所以；(2)解：由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；20.（12分）已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)现将图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图像，若当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）先化简得出的解析式，由周期公式可得答案（2）由图像的变换得到变换后的解析式，由题意只需的最小值大于等于即可，求出的最小值即可.【解析】(1)由所以所以最小正周期为；(2)将图像上所有点的横坐标缩短为到原来的，纵坐标不变得，再向右平移个单位长度得到.要使恒成立，只需，只需的最小值大于等于即可，由，则.所以的最小值为，则，得，所以实数m的取值范围是.21.（12分）已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)当取何值时，方程在上有实数解.【答案】(1)(2)在上为减函数，证明见解析(3)【分析】（1）结合函数的奇偶性求得正确答案.（2）结合函数单调性的定义进行证明.（3）求得在区间上的值域，从而求得正确答案.【解析】（1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以.（2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取，.由于，所以，所以在上为减函数.（3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以.22.（12分）指数函数（且）和对数函数（且）互为反函数，已知函数，其反函数为．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；(2)是否存在实数使得对任意，关于的方程在区间上总有三个不等根，，？若存在，求出实数及的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，，.【分析】（1）利用复合函数的单调性及函数的定义域可得，即得；（2）由题可得，令，则可得时，方程有两个不等的实数根，当时方程有且仅有一个根在区间内或1，进而可得对于任意的关于t的方程，在区间上总有两个不等根，且有两个不等根，只有一个根，再利用二次函数的性质可得，即得.【解析】(1)∵函数，其反函数为，∴，∴，又函数在区间上单调递减，又∵在定义域上单调递增，∴函数在区间上单调递减，∴，解得；(2)∵，∴，∵，，令，则时，方程有两个不等的