《机械基础（第2版）》 第7课 构件变形分析

课题构件受力及变形分析（二）——构件变形分析课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握构件基本变形的概念和特点（2）掌握构件不同变形形式的应力分析方法及分布规律思政育人目标：（1）提高严谨细致的逻辑推理能力和原理分析能力（2）培养追求真理、实事求是、勇于探究与实践的科学精神教学重难点教学重点：构件不同变形形式的应力分析方法及分布规律教学难点：对构件进行变形分析教学方法案例分析法、问答法、讨论法、讲授法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：→→→传授新知（28min）→例题讲解（10min）第2节课：传授新知（25min）→任务实施（15min）→课堂小结（3min）→作业布置（2min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，组织学生下载“任务工单2.2”，并根据任务工单进行组内分工。同时，提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件预习本节课知识，了解钢构件的承载能力及变形形式，不同受力条件下构件变形的规律及其应用，并思考以下问题：（1）构件的承载能力包括那几个方面？杆件的基本变形形式有哪些？（2）轴向拉伸与压缩的特点有哪些？简述轴向拉压时横截面上的应力分布规律。（3）剪切与挤压的强度条件是什么？（4）简述圆轴扭转和直梁弯曲时的应力分布。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学课程的重要性，增加学生的学习兴趣考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（5min）【教师】提出以下问题：分析图片中的受力与变形特点，解释什么是轴向拉伸与压缩？【学生】观察、思考、举手回答【教师】通过学生的回答引入要讲的知识通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣

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（28min）构件的承载能力及变形形式【教师】新知讲解为了保证机械的正常使用，其构件必须具有承受相应载荷的能力，即承载能力。构件的承载能力包括强度、刚度和稳定性三个方面。强度：构件在载荷作用下抵抗破坏的能力。刚度：构件在载荷作用下抵抗变形的能力。稳定性：细长杆件或薄壁构件在受压时维持原有直线平衡状态的能力。杆件的基本变形形式主要有轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、圆轴扭转和直梁弯曲等。【学生】聆听、思考、理解轴向拉伸与压缩【教师】新知讲解1．轴向拉伸与压缩的特点受力形式：受到沿轴线方向作用的两个大小相等、方向相反的拉力或压力。变形特点：沿轴线伸长或缩短。杆件的这种变形称为拉伸变形或压缩变形。如图2-20所示为简易起重装置结构图，在载荷F的作用下，斜杆AC承受轴向拉力，产生拉伸变形，水平杆BC承受轴向压力，产生压缩变形。对产生拉伸与压缩变形的杆件在形状和受力方面进行简化，即可得到图2-21所示的计算简图。图2-20简易起重装置结构图图2-21轴向拉伸与压缩计算简图2．轴向拉压时横截面上的内力和应力1）内力作用于杆件上的载荷和约束力统称为外力；杆件受外力作用时，其材料内部颗粒间产生的相互作用的抵抗力称为内力。为了便于分析和计算杆件中的内力，可先假想用某一横截面把构件切开，分成两部分，这样杆件中的内力即可显示出来，然后利用静力平衡条件进行解算。这种方法称为截面法。它通常包括4个步骤，可分别归纳为切、取、代、求。切：假想用某一横截面将杆件切开而分成两部分。取：取其中任意一部分为研究对象，弃去另一部分。代：用该横截面的内力代替弃去部分对留下部分的作用力。求：利用静力学中的平衡条件，列平衡方程并解算内力。如图（a）所示为一受轴向拉伸的杆件，它在外力F的作用下处于平衡状态。为了求横截面1-1处的内力，假想沿横截面1-1将杆件切开，取左段为研究对象。由于内力均匀分布在整个横截面上，因此可用左段横截面1-1上的合内力来代替杆件右段对左段的作用力，如图（b）所示。（a）（b）根据平衡条件列出平衡方程：由此可得。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答（1）构件内力的大小与外力大小有关系吗？（2）构件内力的大小与材料的截面形状有关系吗？✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答构件内力的大小与外力大小有关，与材料的截面形状无关2）轴力对于产生轴向拉伸或压缩变形的杆件，由于外力的作用线与杆件的轴线重合，因此内力的合力必然也与轴线重合。此时这种内力称为轴力，通常用符号表示。【点拨】需要指出的是，轴力的正负号是由杆件的变形决定的，而不是由平衡坐标方程决定的。为了区分杆件拉伸或压缩时轴力的不同，对轴力的正负号做如下规定：若轴力的方向背离所取横截面，则杆件产生拉伸变形，轴力取正号，称为拉力；若轴力的方向指向所取横截面，则杆件产生压缩变形，轴力取负号，称为压力。例如，在上图中，左段横截面1-1上的轴力背离横截面，则取正号。【多媒体教学】✈【教师】要求学生通过“文旌课堂”APP扫描二维码“应力与应变”，观看微课视频，学习应力与应变知识✈【学生】观看、思考3）应力杆件横截面上单位面积的内力称为应力。其中，作用方向垂直于横截面的应力称为正应力，用表示；作用方向相切于横截面的应力称为剪应力或切应力，用表示。杆件拉伸或压缩时，横截面上的切应力为零，而正应力沿横截面均匀分布，其大小为（2-10）式中：

——横截面上的正应力，单位为MPa；——杆件横截面上的轴力大小，单位为N；A

——杆件的横截面面积，单位为mm2。正应力的正负规定与轴力相同，即拉应力为正、压应力为负。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答式（2-10）适用于等截面的直杆。如果杆件存在切口、沟槽、油孔、螺纹、台阶和焊缝等，其应力计算方法还是一样的吗？✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答对于横截面平缓变化的直杆，一般按等横截面直杆的应力计算公式进行近似计算。但在工程中，由于结构或工艺上的要求，杆件横截面经常会存在一些骤然改变，如存在切口、沟槽、油孔、螺纹、台阶和焊缝等，这些部位会出现局部应力骤增的现象。这种由杆件横截面骤然变化（或几何外形局部不规则）而引起的局部应力骤增的现象称为应力集中。在动荷载作用下，不论是塑性材料，还是脆性材料制成的杆件，都应考虑应力集中的影响。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答内力、外力和应力的区别？✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答3．轴向拉压时杆件的变形杆件在受轴向拉力作用时，会产生拉伸变形，具体表现为轴向尺寸变大，横向尺寸变小，如图所示。原长为l的直杆受轴向拉力F的作用，变形后的长度为，横向尺寸由b缩小为，则杆件的轴向变形量为，横向变形量为。由于Δl和Δb仅反映杆件总的变形量，无法准确反映杆件的变形程度，因此需要用单位长度内的变形量来表示杆件的变形程度。对于Δl和Δb，有（2-11）（2-12）式（2-11）中的称为纵向应变，式（2-12）中的称为横向应变，它们都是无量纲量。当杆件拉伸时，，；当杆件压缩时，，。4．轴向拉压时杆件的强度计算1）极限应力工程中，材料因强度不足而失效时的最大应力称为极限应力。对于塑性材料，由于其失效形式为过量变形，因此它的极限应力是其屈服强度；对于脆性材料，由于其失效形式为断裂破坏，因此它的极限应力是其抗拉强度。2）许用应力和安全系数为了保证杆件安全可靠地工作，必须在材料极限应力的基础上保留一定的强度余量，即工作应力要低于极限应力。因此，可将极限应力除以一个大于1的系数n，使杆件的工作应力低于这个应力值。其中，系数n称为安全系数，所得的应力值称为材料的许用应力，用符号表示。许用应力的计算公式为（2-13）式中：

——塑性材料的屈服强度，单位为MPa；——脆性材料的抗拉强度，单位为MPa；，——塑性材料和脆性材料的安全系数，通常取，。5．轴向拉压时杆件的强度条件为了保证杆件在工作时不出现因强度不足而失效的现象，必须使其最大工作应力不超过杆件材料的许用应力，即（2-14）式（2-14）称为杆件拉压强度条件。应用拉压强度条件可解决工程中强度校核、横截面尺寸设计和许可载荷计算等问题。强度校核：已知杆件的横截面积A、材料的许用应力及所受载荷，可利用强度条件判断杆件能否安全可靠地工作。横截面尺寸设计：已知杆件所受载荷和材料的许用应力，可利用强度条件计算杆件所需的横截面面积，即，一般将工作应力最大的横截面称为危险截面。许可载荷计算：对于已知材料许用应力和横截面形状的杆件，可利用强度条件计算其所能承受的最大轴向载荷，即。【学生】聆听、思考、理解【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答在利用强度条件求解工程中的强度问题时，一般按照怎样的步骤进行？✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答①分析杆件的受力情况，利用平衡条件求出所有外力；②计算杆件各个横截面的内力；③根据要求，利用强度条件进行强度校核、横截面尺寸设计或许可载荷计算。通过教师讲解、课堂互动、举例分析等教学方式，帮助学生掌握构件的承载能力及变形形式，轴向拉伸与压缩的特点，轴向拉压时横截面上的内力和应力，轴向拉压时杆件的变形，以及轴向拉压时杆件的强度计算例题讲解

（10min）【教师】讲解以下例题【例2-4】如图2-24所示为起重机吊钩，它由热轧钢锻制而成，材料的许用应力。已知起吊物体的重力G为20kN，螺栓内径，吊钩自重忽略，试校核该吊钩螺纹部分的强度。【学生】观察、思考、讨论、练习、回答【教师】对照学生的回答，板书讲解上述例题【解】由于螺纹内径最细，因此螺纹部分的圆形横截面为危险截面，其面积为显然螺栓所受的轴力等于起吊物体的重力G。根据强度条件，计算危险截面上的工作应力，有因此吊钩螺纹部分的强度满足要求。【学生】聆听、思考、理解通过例题讲解，加深学生对知识的理解，帮助学生强化知识点的记忆第二节课

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（25min）三、剪切与挤压【教师】新知讲解工程中常用铆钉、销钉和键等连接件来连接不同的构件（见图），这些连接件虽小，却起着传递运动和载荷的作用，它们在工作时都会产生剪切或挤压变形。（a）铆钉连接（b）销钉连接（c）键连接1．剪切与挤压的概念1）剪切变形在如图2-25（a）所示的铆钉连接中，一块钢板将所受的拉力F通过铆钉传递到另一块钢板上，此时铆钉的右上侧面和左下侧面分别受到压力作用，使铆钉上、下两部分在面n-n处产生相对错动，这种变形称为剪切变形，产生相对错动的横截面称为剪切面，如图2-26所示。当钢板承受的拉力足够大时，铆钉将被剪断。杆件产生剪切变形时具有以下相同的受力形式和变形特点。受力形式：杆件两侧面上外力的合力大小相等、方向相反，且作用线距离很近。变形特点：两合力作用线之间的横截面出现相对错动现象。2）剪力杆件产生剪切变形时，在剪切面内会产生沿横截面分布的抵抗剪切变形的内力，称为剪力，一般用表示。如图（a）所示的销轴连接中，销轴受剪切作用，面m-m和面n-n为剪切面，如图（b）所示。现用截面法分析销轴中的内力和应力。假想沿剪切面m-m和n-n将销轴切开，取中间部分为研究对象，如图（c）所示。根据平衡条件可知，剪切面m-m和n-n上的剪力与外力F平衡，可计算出剪力。（a）（b）（c）3）切应力单位面积上的剪力称为切应力或剪应力，通常用表示。切应力在剪切面内的分布规律比较复杂，工程中通常假定它是均匀分布的，其大小为（2-15）式中：——切应力，单位为MPa；——剪力大小，单位为N；A

——剪切面的面积，单位为mm2。4）挤压变形与挤压力通常情况下，相互连接的构件在产生剪切变形的同时，会由于局部压力较大而在传递力的接触面上出现压陷、起皱等塑性变形现象，这种现象称挤压变形。如图2-28所示为铆钉连接中的挤压变形，其中钢板内孔与铆钉的接触面是产生挤压变形的接触面，称为挤压面，作用于接触面间的压力称为挤压力，通常用表示。5）挤压应力单位面积上的挤压力称为挤压应力，通常用表示。挤压应力在挤压面上的分布规律很复杂，工程中为简化计算，通常认为挤压应力在挤压面上均匀分布，其大小为（2-16）式中：——挤压应力，单位为MPa；——挤压力大小，单位为N；——挤压面积，单位为mm2。挤压面积的计算需要考虑接触面的形状。当接触面为平面时，挤压面积为有效接触面积，如图2-29（a）所示的平键，其挤压面积；当接触面为圆柱形曲面时，接触面积为半圆柱面的正投影面积，如图2-29（b）所示的销钉，其挤压面积。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答挤压应力与杆件压缩变形时的压应力是一样的吗？如不一样，请简要说明。✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答挤压应力只分布在挤压面附近的区域，相当于接触面上的压强，而压应力是均匀分布在杆件单位横截面上的内力。2．剪切与挤压的强度条件1）剪切强度条件为了保证产生剪切变形的构件不因被剪断而失效，必须使构件工作时的切应力不超过构件材料的许用切应力，即（2-17）式中：——式（2-17）称为剪切强度条件。与拉压强度条件类似，剪切强度条件也可用来解决工程中强度校核、横截面尺寸设计和许可载荷计算等问题。2）挤压强度条件为了保证构件受到挤压时，局部不因挤压塑性变形而失效，必须使构件工作时的挤压应力不超过构件材料的许用挤压应力，即挤压强度条件为（2-18）式中：——材料的许用挤压应力，单位为MPa。的数值一般通过试验测定，对于塑性金属材料，一般取；对于脆性金属材料，一般取。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答利用挤压强度条件进行计算时，两个接触构件的材料是否相同对计算有影响吗？✈【学生】聆听、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答若两个接触构件的材料不同，许用挤压应力应取较小值，即对材料抗压强度较小的构件进行计算。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答木栓阻止上下两块木板相对滑移，因而在交错的截面上直接受到剪力的作用。但当P力逐渐增加时，木栓最后却沿纹理的方向（如图中的方向）破裂。解释此现象。✈【学生】观察、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答木栓在中间的截面（图示中的红线）受到相互交错的外力的作用，固此截面为木栓的剪切面。此时剪力的方向与木栓的纹理方向相垂直，根据剪应力互等定理，在木栓的纹理方向有大小相同的剪应力存在。由于木栓的材料不是各向同性的，在与木栓的纹理相垂直的方向上木栓有较大的抗剪能力；木栓在顺纹理的方向抗剪能力差，当外载P逐渐增加时，最后沿纹理的方向发生破裂，而不是在剪切面上发生破坏。【学生】聆听、思考、理解四、圆轴扭转和直梁弯曲【教师】新知讲解1．圆轴扭转【多媒体教学】✈【教师】要求学生通过“文旌课堂”APP扫描二维码“圆轴扭转”，观看微课视频，学习圆轴扭转知识✈【学生】观看、思考1）圆轴扭转的基本知识当杆件承受着绕其轴线的外力偶时，杆件横截面上将只有转矩这一个内力分量，杆件各横截面要产生绕轴线相对转动的变形，称为扭转变形。通常把产生扭转变形的杆件称为轴，由于其横截面大多为圆形，因此又称圆轴。圆轴扭转时具有以下相同的受力形式和变形特点。受力形式：在垂直于杆件轴线的平面内作用有一对大小相等、方向相反的外力偶，即扭转力偶，其相应内力分量称为转矩。变形特点：在扭转力偶的作用下，杆件横截面的形状保持不变，但会产生绕其轴线相对转动的变形，即扭转变形。2）转矩（1）定义圆轴内部由于外力偶的作用而产生抵抗扭转变形的内力偶矩称为转矩，通常用T表示。（2）外力偶矩计算据轴的转速和所传递的功率进行计算（3）截面法求转矩求出外力偶矩M后，可进一步用截面法求解转矩T。如图（a）所示，某圆轴在外力偶矩作用下处于平衡状态。为求解横截面上的转矩，假想用任意横截面m-m将圆轴切开为Ⅰ、Ⅱ两部分，两部分横截面上的转矩分别用T和表示。取Ⅰ部分为研究对象，其受力情况如图（b）所示。根据平衡条件，列平衡方程，即，解得转矩的大小。同理，取Ⅱ部分为研究对象，其受力情况如图（c）所示，同样可求得转矩的大小。（a）（b）（c）（4）转矩正负号判断为保证用截面法求出的左、右两段轴上的转矩具有相同的符号，通常采用右手螺旋法则来判定转矩的正负号。具体方法为：以右手四指弯曲方向代表转矩的转向，则大拇指的指向表示转矩的方向，当大拇指的指向背离横截面时，转矩为正，如图（a）所示，反之为负，如图（b）所示。（a）（b）3）圆轴扭转时横截面上的应力分布研究表明，圆轴产生扭转变形时，横截面上只存在切应力，没有正应力。此时，圆轴横截面上各点切应力的大小沿半径呈线性分布，圆心处切应力为零，边缘处的切应力最大，且同一圆周上各处的切应力相等。横截面上各点切应力的方向与经过该点的半径垂直，箭头指向与横截面上转矩的转向相同。实心圆轴和空心圆轴产生扭转变形时切应力的分布规律分别如图2-33（a）和图2-33（b）所示。如图2-33（c）所示，圆轴扭转时，横截面上任意一点的切应力为（2-20）式中：——横截面任意一点的切应力，单位为MPa；

——横截面上的转矩，单位为；——横截面对圆心的极惯性矩，单位为mm4；

——所求切应力的点到横截面圆心的距离，单位为mm。（a）（b）（c）由式（2-20）可知，在横截面边缘处取得最大值R，则切应力为（2-21）式中：——横截面最大切应力，单位为MPa；

——横截面的抗扭截面模量，，常用单位为mm3。【课堂互动】✈【教师】提出问题让学生思考、讨论，并随机抽取学生回答在设计机械零件时，一般把轴设计成空心轴的目的是什么？✈【学生】观察、思考、讨论、回答✈【教师】总结学生回答圆轴横截面的抗扭截面模量越大，产生扭转变形的内部切应力就越小。由于在外径相同的情况下，相同材料的空心圆轴的抗扭截面模量大于实心圆轴，因此，在具有相同强度的前提下，将轴做成空心轴可以达到节约材料、减轻质量的目的。【多媒体教学】✈【教师】要求学生通过“文旌课堂”APP扫描二维码“直梁弯曲”，观看微课视频，学习直梁弯曲知识✈【学生】观看、思考2．直梁弯曲1）直梁弯曲的基本知识杆件受横向外力或外力偶作用时，其轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲。通常把以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。直梁弯曲具有以下相同的受力形式和变形特点。受力形式：外力垂直于轴线或在轴线所在平面内受到力偶的作用。变形特点：梁的轴线由直线变为曲线。在机械和工程结构中，梁的横截面大多具有对称轴，如图2-35所示。对称轴（y轴）与梁的轴线（x轴）构成的平面称为纵向对称面。当作用在梁上的所有外力或力偶都位于纵向对称面内，且所有力的作用线都与梁的轴线垂直时，梁产生的变形称为平面弯曲，如图2-36所示。梁产生平面弯曲时，其轴线将在纵向对称面内由直线变为一条光滑曲线。图2-35梁的横截面对称轴图2-36平面弯曲2）梁的基本形式梁的结构形式很多，根据梁支座的不同，梁可简化为简支梁、外伸梁和悬臂梁等三种基本形式，如图2-37所示。（a）简支梁（b）外伸梁（c）悬臂梁3）剪力和弯矩梁在平面弯曲时所产生的内力可采用截面法求解。如图2-38（a）所示，简支梁受外力F作用，A、B端铰链分别对梁作用有约束力和。假想在距A端x处的横截面n-n将梁切开，取左段为研究对象，如图2-38（b）所示。由于整个梁是平衡的，因此其左段也是平衡的。根据平衡条件可知，横截面上必然存在力和力偶M。其中，的作用线沿横截面切线方向，称为剪力；M的作用面垂直于横截面，称为弯矩。（a）（b）为了保证梁弯曲时同一横截面两侧的剪力和弯矩符号分别相同，需要对梁任意横截面内剪力和弯矩的正负号进行统一规定。剪力的正负号规定：若外力相对所取梁段的横截面为顺时针方向，则该力所产生的剪力为正；反之则为负，如图2-39（a）所示。弯矩的正负号规定：若外力使所取梁段产生上部受压、下部受拉的变形，则该力所产生的弯矩为正；反之则为负，如图2-39（b）所示。（a）（b）4）纯弯曲时梁横截面上的正应力分布通常情况下，产生弯曲变形的梁，若其内力中剪力和弯矩同时存在，则这种弯曲称为横力弯曲；若在梁的纵向对称面内，两端同时施加大小相等、方向相反的一对力偶，则梁的横截面上只有弯矩，剪力为零，这种变形称为纯弯曲。假设梁是由无数层纵向纤维组成的，梁在产生纯弯曲时，横截面凹侧的纤维层缩短，凸侧的纤维层伸长。由于变化是连续的，因此从缩短区过渡到伸长区必有一既不伸长也不缩短的纵向纤维层，称为中性层，如图2-40所示。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁在产生纯弯曲时，横截面上只存在正应力而无切应力。由于纤维层从缩短区到伸长区是线性过渡的，因此横截面上的正应力也是呈线性分布的，中性轴上的正应力为零，梁的边缘处正应力最大，如图2-41所示。梁的凹侧承受的是压应力，凸侧承受的是拉应力。梁产生纯弯曲时，其横截面上任意一点的正应力为（2-22）式中：——横截面上任意一点的正应力，单位为MPa；M

——横截面上的弯矩，单位为；y——所求点到中性轴的距离，单位为mm；——横截面对中性轴的惯性矩，单位为m