2023年二轮复习解答题专题二十：新函数图象与性质探究应用（原卷版）

2023年二轮复习解答题专题二十：新函数图象与性质的探究应用方法点睛这类考题主要通过类比已掌握的函数学习思路与经验，探究未知函数的图象和性质.函数学习的思路：实际问题建立函数模型函数概念（解析式）

画函数图象探究图象性质实际应用涉及考点：1.函数解析式，必须关注自变量的取值范围.2.考查代入求值（代入横坐标求纵坐标、代入纵坐标求横坐标、代入点坐标求待定系数）.3.在平面直角坐标系内描点，并会用“光滑的曲线”画函数图象（已描点只需画图、已描部分点补全后画图、描点并画图）.4.探究函数性质（主要关注“增减性、最值、对称性”等方面）.5.能数形结合探究函数、方程和不等式之间的关系（求方程的解、不等式解集或求字母的取值范围）.典例分析题型一新函数图象与性质的探究例1：（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－101234…y…12410－4－2－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．题型二结合实际问题的函数图象与性质探究例2（2022河南邓州二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：（1）图象初探①列表如下x……1234……y……m3n……请直接写出m，n的值；②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．

（2）性质再探请结合函数的图象，写出当__________，y有最小值为__________；（3）学以致用某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．根据以上信息，请回答以下问题：①水池总造价的最低费用为_____________千元；②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？________________类型三利用新函数图象与性质解决平面几何问题例3（2022兰州中考）如图，在中，，，，M为AB边上一动点，，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.51.822.533.544.55y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330请你通过计算，补全表格：______；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数y关于x的图像；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．（4）解决问题：当时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）专题过关1.（2022嘉兴中考）6月13日，某港口的潮水高度y（）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：x（h）…1112131415161718…y（）…18913710380101133202260…（数据来自某海洋研究所）

（1）数学活动：①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．②观察函数图象，当时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．（3）数学应用：根据研究，当潮水高度超过260时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？2.（2022河南上蔡二模）在学完二次函数的图象与性质后，某数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整：（1）列表x…00.250.50.75123…y…0a0…表格中a的值为______．（2）描点，连线，根据以上信息将函数图象补充完整．（3）观察函数图象，请写出此函数的两条性质：①______；②______．（4）已知关于x的方程①若方程有两个相等的实数根，则m的值为______；②若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为______．3.（2022驻马店六校联考二模）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是与的几组对应值，其中______；…012……32…②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．①函数值随的增大而减小：______②函数图象关于原点对称：______③函数图象与直线没有交点．______3.（2022河南商城一模）小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：x…﹣2﹣101234…y…6m﹣2﹣1﹣2n6…

（1）在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，①列表，其中m＝，n＝．②描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：③连线：画出该函数的图象．（2）写出该函数的两条性质：．（3）进一步探究函数图象，解决下列问题：①若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是；②在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为．4.（2022河南新安一模）为解方程，小舟根据学习函数的经验对其进行了探究，下面是其探究的过程，请补充完整：（1）先研究函数，列表如下：x-2-1012y00m0表格中，m的值为______．（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了函数图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数图象．（3）观察图象，当时，满足条件的x的取值范围是______．（4）在第（2）间的平面直角坐标系中画出直线．根据图象直接写出方程的近似解（结果保留一位小数）．5.（2022濮阳二模）研究函数图象性质，需要“列表、描点、用平滑的线依次连接各点“画出函数图象，这个方法叫作描点法．为研究函数图象性质我们也可以利用它们的数学关系去理性分析，对函数的图象作合情推理，然后利用描点法画出图象进行验证．（1）在研究函数的图象前，老师预先给出了下面四个图象．请你利用函数关系，分析下列图象中可能是函数图象的是（）

（2）结合分析的函数图象，写出函数图象的二条性质；①性质一：；②性质二：．（3）若与函数图象的两个分支都有交点，直接写出b的取值范围．6.（2022平顶山一模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了（x>0）和的图象，两个函数图象交于A（x1，y2），B（x2，y2）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点O（如图1）．在点P移动的过程中，发现PO的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PO的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题∶（1）设点P的横坐标为x，PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为______（x1<x<x2）；（2）为了进一步的研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象；①列表∶x1234y0m3n0表中m＝______，n＝______；②描点∶根据上表中的数据，在图2中描出各点，③连线∶请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，当x＝______时，y的最大值为______；（3）应用∶已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长．

7.（2022南阳卧龙二模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．下面我们对函数的图象与性质进行探究，下表是该函数y与自变量x的几组对应值（y取近似值）：x…0123…y…1.061.131.21.241.20.920…请解答下列问题：（1）求该函数的解析式；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（3）写出该函数的一条性质______．8.（2022洛阳伊川一模）某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：（1）列表：…012……20…表中______；______．（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．（3）若函数的图象上有，，三个点，且，则，，之间的大小关系为______．（用“＜”连接）（4）若方程至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出的取值范围．9.（2022焦作一模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是__________；（2）下表是x与y的几组对应值．x…11.223456…y…11.2m234665321.51.21…求m的值；（3）根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；（4）已知函数的图象如图所示，请直接写出不等式的解集．10.（2022河南固始一模）九（1）班数学兴趣小组的同学参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，他们的探究过程如下，请你补充完整．（1）列表：…01234567……0051…表中______，______．（2）描点、连线：如图，在平面直角坐标系中，根据上表中数据以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了部分对应点，请你描出剩余的点，并画出该函数的图象．（3）探究性质，解决问题：①试写出该函数的一条性质：______；②当时，函数的自变量的取值范围是______；③若直线与函数的图象有三个不同的交点，请直接写出的取值范围．11.（2022河南汝州一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，通过列表、描点、连线，画出函数的部分图象如图所示，探究过程如下：（1）函数的自变量的取值范围是．（2）对于函数，与的几组对应值如表：…﹣1﹣0.500.51.522.53……0.512…在同一直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数的图象（画出方格内部分函数图象即可）．其中，_______；（3）观察图象，写出函数的一条性质：_____．（4）结合图象填空：当关于的方程有两不相等的实数根时，实数的取值范围是_____；当关于的方程无实数根时，实数的取值范围是．12.（2022人大附中一模）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：

（1）函数中自变量x的取值范围是；（2）表格是y与x的几组对应值．x…02345…y…m…直接写出m的值；（3）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象与直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线越来越靠近而永不相交．②请再写出此函数的一条性质：．（5）已知不等式的解集为或，则的值为．13.（2022北京海淀一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则，①，②由①式得，代入②式得．③可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值：…11.522.533.544.555.56……666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）．14.（2021重庆中考B卷）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．15..（2021重庆中考A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x…－5－4－3－2－1012345……－－－040…（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）

16．（2021自贡中考）（10分）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a0b﹣2﹣﹣…（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是．（请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集．17．（2021枣庄中考）（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…y＝…23m﹣3﹣10n…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到．③函数图象关于点中心对称．（填点的坐标）18．（2021临沂中考）（9分）已知函数y＝（1）画出函数图象；列表：x…﹣3﹣2﹣101234…y…﹣1﹣3031.…描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；（3）设（x1，y1），（x2，y2）是函数图象上的点，若x1+x2＝0，证明：y1+y2＝0．19．(2021襄阳中考)（7分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2﹣﹣﹣﹣012…y…﹣﹣﹣1﹣2﹣332m…②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质判断下列说法