第七节：直线及方程

第六节空间直线及其方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、小结定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程例如：z

轴可以看作

yoz

面与xoz

面的交线也可以看作

yoz

面与平面x–y=0的交线方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程直线的对称式方程（1）当m,n,p

中有一个为0，如m=0,而

n,p

0时，则上述方程组应理解为（2）当m,n,p

中有两个为0，如m=n=0,而p

0时，则上述方程组应理解为令直线的一组方向数方向向量的方向余弦称为直线L

的方向余弦，它是与方向向量同方向的单位向量。直线的参数方程直线的对称式方程例1

用对称式方程及参数方程表示直线解：（1）在直线上任求一点取解得点坐标问题：如何化一般方程为对称式和参数方程（2）求直线的一个方向向量例1

用对称式方程及参数方程表示直线解：点坐标（2）求直线的一个方向向量因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程结论：若直线L的一般方程为则直线L的一个方向向量可以取为解取所求直线方程上述方程组应理解为定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角^两直线的位置关系：//直线直线例如，解：取例3：求直线与直线的夹角。解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程定义直线和它在平面上的投影直线的夹角

称为直线与平面的夹角．四、直线与平面的夹角^^则^^则^直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//^^则^^则^^^解为所求夹角．1、求直线与平面的交点。五、直线与平面其它问题得直线的参数方程代入平面方程，得参数

t,再将t

代入参数方程即得x,y,z

。解所给直线的参数方程为：代入平面方程得：解得：所以所求交点为：M(1,2,2)解：分析本题的关键是求出两垂直相交直线的交点。思路：例7：求过点M(2,1,3)且与直线L：垂直相交的直线方程。将求两垂直相交直线的交点转化为求直线与平面的交点解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点P,令由点法式方程得依题意所求直线在平面内，且通过点M

和

P例7：求过点M(2,1,3)且与直线L：垂直相交的直线方程。解令代入平面方程得交点所求直线的方向向量可取为例7：求过点M(2,1,3)且与直线L：垂直相交的直线方程。解交点所求直线的方向向量可取为所求直线方程为例7：求过点M(2,1,3)且与直线L：垂直相交的直线方程。2、过直线的平面束方程。作三元一次方程所以方程（4）或（3）表示一个平面，且通过直线L反之，过直线L的任何一个平面（除平面（2）外），都包含在平面束（3）中。称方程（3）或（4）为过定直线L的平面束方程为任意实数例7解过已知直线的平面束方程为由题设知解过已知直线的平面束方程为由此解得代回平面束方程为例72、求已知直线在已知平面内的投影直线方程直线L在内的投影记为过直线L作一与平面垂直的平面设L与的夹角为则即为

与的交线若记则直线的方程为2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程作则又因此此即为平面的方程联立与的方程即为所求投影直线的方程。2、求已知直线在已知平面内的投影直线方程解：（1）在xoy

面上：故在xoy

面上投影直线方程为解：（2）在平面故在

上投影直线方程为例9解：先求过L且与

垂直的平面方程

则投影直线即为该