2022-2023学年江苏省南京市励志高级中学高二下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题一.单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，故选：C．2.已知复数，则（）A.1 B.2 C. D.5〖答案〗C〖解析〗，所以.故选：C.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量，，则.故选：C.4.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得.故选：D.5.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗D〖解析〗，，，，故选：D.6.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前､后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.下列结论正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年减少B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍〖答案〗D〖解析〗设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M.对于A，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，所以招商引资后，工资净收入增加了，故A错误；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：D.7.圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，.记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，在直角三角形中，，，由双曲线的定义，可得，所以，即，所以离心率.故选：C.8.已知三棱锥中，平面平面，且，，若，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为平面平面，且，平面平面，面，所以平面，将三棱锥补成直三棱柱，则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.设外接球的球心为，的外心为，则，又由正弦定理，得到，所以外接球的半径，表面积，故选：C.二.多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.设m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对A：，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，则或与相交，故选项C正确；对D：若，则，故选项D正确．故选：BD．10.在中，已知，下列结论中正确的是（）A.这个三角形被唯一确定 B.一定是钝角三角形C. D.若，则面积是〖答案〗BC〖解析〗依题意可设，则对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；对于B，因为，所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；对于C，由正弦定理可知，，故C正确；对于D，因为，即，即，又因为，所以，则，故D错误.故选:BC.11.已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A. B.在处取得极大值C.当时， D.的图象关于点中心对称〖答案〗ABD〖解析〗A：，由题意，得，正确；B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.12.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点，则C.若，则的最小值为D.若，则线段的中点到轴的距离为〖答案〗ABD〖解析〗对A：因为抛物线方程为，其焦点在轴上，故其焦点为，A正确；对B：显然过点的直线斜率存在，故可设经过焦点的直线方程为，联立抛物线方程可得：，可得，，故B正确；对C：若，则，，三点共线，则，由中所得可知：，故错误；对D：，即，即，∴，故正确.故选：.三.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．〖答案〗216．〖解析〗（1）当最左端排甲的时，排法的种数为；（2）当最左端排乙的时，排法种数为．∴不同的排法的种数为．故〖答案〗为：216.14.直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗圆，即，圆心为，半径，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为，即，综上可得直线方程为或.故〖答案〗为：或.15.已知函数是定义域为的奇函数，当x<0时,，则________.〖答案〗〖解析〗因为函数是定义域为的奇函数，且当x<0时,，所以，故〖答案〗为：.16.已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，，且，，即，的图象关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，此函数的图象关于轴对称，，解得，，当时，得.故〖答案〗为：.四.解答题（共6小题，共70分）17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．解：（1）因为，所以的最小正周期为，令，解得，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，当，即时，，所以的最大值为，此时．18.已知等比数列的公比大于1，，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以的前项和为19.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．解：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123P．（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，．20.在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．（1）证明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）证明：连接OB，因为为等腰直角三角形，，，所以，因为O为AC边的中点，所以，在等边三角形中，，因为O为AC边的中点，所以，则，又，所以，即，因为，平面，平面，所以平面．（2）解：方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，所以，由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，由，得，令，得，易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为θ，则，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角为，因为，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值为．21.已知函数.（1）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围；（2）若，且，曲线在点处的切线与轴，轴的交点坐标为，，当取得最小值时，求切线的方程.解：（1），则问题转化为在上有解，即在上有解.令，，，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，，时，，当时，的值域为，实数的取值范围是.（2），切线斜率，切点为，所以切线的方程为，分别令，，得切线与轴，轴的交点坐标为，，，，令，由且，得，，当时，单调递减，当，即时，取得最小值.此时，切线的方程为，即.22.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.（1）求双曲线的方程；（2）设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.解：（1）由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）（i）设，直线的方程为，由，消元得.则，且，；或由韦达定理可得，即,，即与的比值为定值.（ii）设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得：，解得.因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中结论可知，得，所以，故，设，其图象对称轴为，则在上单调递减，故，故的取值范围为.另解：由于双曲线的渐近线方程为，如图，过点作两渐近线的平行线与，由于点A在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（含轴，不含直线与），所以.同理，过点作两渐近线的平行线与，由于点在双曲线的右支上，所以直线介于直线与之间（不含轴，不含直线与），所以.由（i）中结论可知，得，所以故.江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题一.单选题（共8小题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，故选：C．2.已知复数，则（）A.1 B.2 C. D.5〖答案〗C〖解析〗，所以.故选：C.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为向量，，则.故选：C.4.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，所以，解得.故选：D.5.已知等差数列的前项和为，，，则（）A.10 B.12 C.16 D.20〖答案〗D〖解析〗，，，，故选：D.6.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前､后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.下列结论正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年减少B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍〖答案〗D〖解析〗设招商引资前经济收入为M，则招商引资后经济收入为2M.对于A，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，所以招商引资后，工资净收入增加了，故A错误；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：D.7.圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在平面直角坐标系中，如图，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，，可得，.记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，在直角三角形中，，，由双曲线的定义，可得，所以，即，所以离心率.故选：C.8.已知三棱锥中，平面平面，且，，若，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为平面平面，且，平面平面，面，所以平面，将三棱锥补成直三棱柱，则直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球.设外接球的球心为，的外心为，则，又由正弦定理，得到，所以外接球的半径，表面积，故选：C.二.多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.设m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对A：，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，则或与相交，故选项C正确；对D：若，则，故选项D正确．故选：BD．10.在中，已知，下列结论中正确的是（）A.这个三角形被唯一确定 B.一定是钝角三角形C. D.若，则面积是〖答案〗BC〖解析〗依题意可设，则对于A，当取不同的值时，三角形显然不同，故A错误；对于B，因为，所以，则三角形为钝角三角形，故B正确；对于C，由正弦定理可知，，故C正确；对于D，因为，即，即，又因为，所以，则，故D错误.故选:BC.11.已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（）A. B.在处取得极大值C.当时， D.的图象关于点中心对称〖答案〗ABD〖解析〗A：，由题意，得，正确；B：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；D：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.12.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点，则C.若，则的最小值为D.若，则线段的中点到轴的距离为〖答案〗ABD〖解析〗对A：因为抛物线方程为，其焦点在轴上，故其焦点为，A正确；对B：显然过点的直线斜率存在，故可设经过焦点的直线方程为，联立抛物线方程可得：，可得，，故B正确；对C：若，则，，三点共线，则，由中所得可知：，故错误；对D：，即，即，∴，故正确.故选：.三.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．〖答案〗216．〖解析〗（1）当最左端排甲的时，排法的种数为；（2）当最左端排乙的时，排法种数为．∴不同的排法的种数为．故〖答案〗为：216.14.直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．〖答案〗或〖解析〗圆，即，圆心为，半径，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为，即，综上可得直线方程为或.故〖答案〗为：或.15.已知函数是定义域为的奇函数，当x<0时,，则________.〖答案〗〖解析〗因为函数是定义域为的奇函数，且当x<0时,，所以，故〖答案〗为：.16.已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗，，且，，即，的图象关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，此函数的图象关于轴对称，，解得，，当时，得.故〖答案〗为：.四.解答题（共6小题，共70分）17.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时x的值．解：（1）因为，所以的最小正周期为，令，解得，所以的单调递增区间为．（2）因为，所以，所以，所以，当，即时，，所以的最大值为，此时．18.已知等比数列的公比大于1，，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以的前项和为19.综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．解：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123P．（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，．20.在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．（1）证明：平面．（2）求二面角的余弦值．（1）证明：连接OB，因为为等腰直角三角形，，，所以，因为O为AC边的中点，所以，在等边三角形中，，因为O为AC边的中点，所以，则，又，所以，即，因为，平面，平面，所以平面．（2）解：方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，所以，由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，由，得，令，得，易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为θ，