2022年中考数学总复习考点知识梳理4.5等腰三角形与直角三角形

4.5等腰三角形与直角三角形◎了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理.◎探索等边三角形的性质定理和判定定理.◎了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理;掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.◎探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.◎探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.◎探索并证明角平分线的性质定理和判定定理.◎理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理.◎了解三角形的重心的概念.本节内容属于安徽中考的必考内容,主要考查等腰三角形的性质和判定、勾股定理等,综合性较强.同时线段的垂直平分线、角平分线的性质和判定也经常考查,常与其他知识综合,考查图形形状的判定、全等、相似、翻折以及动点问题.预计2022年仍有这方面内容的考查,且难度在中等及以上.命题点1等腰三角形的判定及计算[必考,多与其他几何知识综合考查]1.(2016·安徽第23题)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且∠MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.(1)求证:△PCE≌△EDQ.(2)延长PC,QD相交于点R.①如图2,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON的大小和ABPQ的值解:(1)∵C,D,E分别是OA,OB,AB的中点,∴DEOC,CEOD,∴四边形ODEC是平行四边形,∴∠OCE=∠ODE.∵△OAP,△OBQ是等腰直角三角形,∴∠PCO=∠QDO=90°,∴∠PCE=∠EDQ.又∵PC=12AO=OC=∴△PCE≌△EDQ(SAS).(2)①连接OR.∵PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四边形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°,∴∠CRD=30°,∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠ORC+2∠ORD=2∠CRD=60°,∴△ABR为等边三角形.②由(1)知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE.∴∠PEQ=∠CED－∠CEP－∠DEQ=∠ACE－∠CEP－∠CPE=∠ACE－∠RCE=∠ACR=90°.即△PEQ为等腰直角三角形.∵△ARB∽△PEQ,∴∠ARB=90°.∴在四边形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90°,∠CRD=12∠ARB=45°,∴∠MON=135°此时P,O,B在一条直线上,△PAB为直角三角形且∠APB为直角,∴AB=2PE=2×222.(2021·安徽第5题)两个直角三角板如图摆放,其中∠BAC=∠EDF=90°,∠E=45°,∠C=30°,AB与DF相交于点M.若BC∥EF,则∠BMD的大小为(C)A.60° B.67.5° C.75° D.82.5°【解析】∵∠BAC=∠EDF=90°,∴∠F=45°,∠B=60°.∵BC∥EF,∴∠BDF=∠F=45°,∴∠BMD=180°－60°－45°=75°.3.(2019·安徽第7题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为(B)A.3.6 B.4C.4.8 D.5【解析】过点D作DM⊥BC交AB于点M,易证DC=DM.设CD=x,则DM=x.∵DM∥AC,∴△BDM∽△BCA,∴BDBC=DMAC,改编题如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=12,∠BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE∥CA交AB于点E.(1)求DE的长;(2)取线段AD的中点P,连接BP,交线段DE于点F,延长线段BP交边AC于点G,求EFDF的值解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AC=12,∴BC=123.∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,∴在Rt△ACD中,CD=43,∴BD=BC－CD=83.∵DE∥CA,∴DECA=BDBC=(2)∵P是线段AD的中点,∴DP=AP.∵DE∥CA,∴DFAG=DPAP,∴∵DE∥CA,∴EFAG∴EFDF4.(2012·安徽第10题)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是(C)A.10 B.45C.10或45 D.10或217【解析】如图1,BD=AD=4,且tanθ=12=BCAB,故教材知识网络(学用见P69~70)考点1等腰三角形的性质和判定典例1如图,在△BOD中,∠BOD=45°,OB=OD,DA⊥OB于点A,OE平分∠BOD交AD于点F.(1)求证:OF=BD.(2)连接AE,BF.若G是线段OF的中点,连接AG.求证:△AEG为等腰直角三角形.【答案】(1)∵OB=OD,OE平分∠BOD,∴OE⊥BD,DE=BE.∵DA⊥OB,∠BOD=45°,∴△AOD是等腰直角三角形,∴OA=AD,∴∠ADB+∠DFE=∠OFA+∠AOF=90°.∵∠DFE=∠OFA,∴∠ADB=∠AOF.在△AOF和△ADB中,∠∴△AOF≌△ADB(ASA),∴OF=BD.(2)∵G是OF的中点,∠OAF=90°,∴AG=OG=12OF,∴∠AOG=∠OAG∵DE=BE,DA⊥OB,∴AE=DE=12BD∴∠ADB=∠DAE.由(1)知OF=BD,∠ADB=∠AOG,∴AE=AG,∴∠OAG=∠DAE.∵∠OAG+∠GAD=90°,∴∠DAE+∠GAD=90°,即∠EAG=90°,∴△AEG为等腰直角三角形.提分1[HK版教材八上P91A组复习题第12题改编]如图,CE是△ABC外角的平分线,且AB∥CE.若∠ACB=32°,则∠A=74°.

提分2(2021·江西)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC=80°,BE平分∠ABC交AC于点E,ED⊥AB于点D,求证:AD=BD.证明:∵BE平分∠ABC,∠ABC=80°,∴∠ABE=12∠ABC=40°∵∠A=40°,∴∠A=∠ABE,∴△ABE为等腰三角形,∵ED⊥AB,∴AD=BD.考点2等边三角形的性质和判定典例2(2020·四川宜宾改编)如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上,连接BE,AD,M,N分别是线段BE,AD上的两点,且BM=13BE,AN=13AD.判断△CMN的形状,【答案】△CMN是等边三角形.理由:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.在△BCE与△ACD中,BC∴△BCE≌△ACD(SAS),∴∠MBC=∠NAC,BE=AD.∵BM=13BE,AN=13在△MBC与△NAC中,BM∴△MBC≌△NAC(SAS),∴MC=NC,∠BCM=∠ACN.∵∠BCM+∠MCA=60°,∴∠ACN+∠MCA=60°,即∠MCN=60°,∴△CMN是等边三角形.【思维教练】(1)利用等边三角形的性质为证明三角形全等创造条件;(2)证明一个三角形是等边三角形的思路是证三边相等、两边相等且一个角是60°或两个角是60°.提分3如图,等边△ABC沿DE折叠,点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP=4cm,则EC=(2+23)cm.

【解析】根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根据折叠的性质可以得到提分4如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG,则DG的长为

192.【解析】连接DE.∵D,E分别为AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12考点3直角三角形的性质和判定典例3(2021·湖南娄底改编)如图,E,F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点,∠EAF=45°,CD⊥BC且CD=BE.求证:(1)△ADE为等腰直角三角形;(2)EF2=BE2+CF2.【答案】(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.∵CD⊥BC,∴∠BCD=90°,∴∠ACD=∠BCD－∠ACB=45°=∠B.在△ABE和△ACD中,AB∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AE=AD,∠BAE=∠CAD.∵∠BAE+∠CAE=90°,∴∠CAE+∠CAD=90°,即∠DAE=90°,∴△ADE为等腰直角三角形.(2)由(1)知∠DAE=90°,AE=AD.∵∠EAF=45°,∴∠DAF=∠DAE－∠EAF=45°=∠EAF.∵AF=AF,∴△AEF≌△ADF(SAS),∴DF=EF.在Rt△DCF中,根据勾股定理,得DF2=CF2+CD2.∵CD=BE,∴EF2=BE2+CF2.【思维教练】(1)(2)提分5(2021·四川雅安)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BF是AC边上的中线,DE是△ABC的中位线.若DE=6,则BF的长为(A)A.6 B.4 C.3 D.5提分6如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,E为BC上一点,把△CDE沿DE翻折,点C恰好落在AB边上的点F处,则CE的长是(D)A.1 B.43 C.32 D【解析】设CE=x,则BE=3－x.由折叠的性质可知EF=CE=x,DF=CD=AB=5.在Rt△DAF中,AD=3,DF=5,∴AF=DF勾股定理——“赵爽弦图”链接教材:HK版八年级下册P62第18章数学史话1.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD.已知小正方形的边长为3,大正方形的边长为7,则每个直角三角形的周长为(A)A.7+89 B.7+69 C.14 D.15【解析】设每个直角三角形较长直角边的长度为a,较短直角边的长度为b.由题意知每个直角三角形的面积为142.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(D)A.9 B.6 C.4 D.3【解析】由题意可知中间小正方形的边长为a－b.∵每一个直角三角形的面积为12ab=12×8=4,∴4×12ab+(a－b)2=25,∴(a－3.公元3世纪,我国数学家赵爽巧妙地利用如图1所示的图形面积关系(后人称“赵爽弦图”)证明了勾股定理,这是我国古代数学的骄傲.“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标.某数学探究小组仿照“赵爽弦图”也作了一个如图2的“弦图”,它由5个小图形拼成了一个大平行四边形,其中两个是全等的等腰直角三角形(△ADE和△BCG),另外两个是全等的直角三角形(△ABH和△CDF),中间是一个小正方形EFGH.已知AB=1