2022年中考数学总复习考点知识梳理6.1圆的基本概念与性质

第六章圆6.1圆的基本概念与性质◎理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念.◎探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.◎探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.◎了解圆内接四边形的概念与性质.圆是安徽中考的重点考查章节,每年都会考查,其中“圆的对称性、圆周角定理及其推论”是重点考查内容,考查的难度一般在中等或偏上,预测2022年还会围绕本节的知识点进行考查.命题点1垂径定理及其推论[10年7考]1.(2021·安徽第20题)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.(1)M是CD的中点,OM=3,CD=12,求圆O的半径长;(2)点F在CD上,且CE=EF,求证:AF⊥BD.解:(1)如图,连接OC,OD.因为M是CD的中点,且CD=12,所以CM=DM=6,且OM⊥DM.在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD=OM所以圆O的半径长为35.(2)如图,连接AC,延长AF交BD于点N.在△AEC与△AEF中,因为AE=AE,∠AEC=∠AEF,EC=EF,所以△AEC≌△AEF,于是∠EAC=∠EAF.又因为∠BAC=∠BDC,所以∠AND=∠BAN+∠ABN=∠BDC+∠ABD=90°,于是AF⊥BD.2.(2019·安徽第19题)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)解:连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB.∴D为AB的中点.所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=ADcos41∴CD=CO+OD=OA+OD=2.64+4=6.64(米).答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.3.(2013·安徽第10题)如图,点P是等边三角形ABC外接圆☉O上的点,在以下判断中,不正确的是(C)A.当弦PB最长时,△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时,PO⊥ACC.当PO⊥AC时,∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时,△BPC是直角三角形【解析】当弦PB最长时,PB为直径,又因为△ABC为等边三角形,所以PB⊥AC,由垂径定理可知,PA=PC,A项正确.当△APC是等腰三角形时,分两种情况:当点P在AC上时,有PA=PC,可知PA与PC相等,所以4.(2021·安徽第13题)如图,圆O的半径为1,△ABC内接于圆O.若∠A=60°,∠B=75°,则AB=

2.

【解析】解法1:连接BO并延长交圆O于点D,连接AD.∵∠BAC=60°,∠ABC=75°,∴∠C=45°,∴∠D=∠C=45°.∵BD是圆O的直径,∴∠BAD=90°,∴在Rt△ABD中,AB=BD·sin45°=2×22解法2:连接OA,OB.∵∠A=60°,∠B=75°,∴∠C=45°,∴∠AOB=90°.∵圆O的半径为1,即OA=OB=1,∴AB=2.5.(2012·安徽第13题)如图,点A,B,C,D在☉O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=60°.

【解析】根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠AOC=2∠D.因为四边形OABC是平行四边形,所以∠B=∠AOC.因为圆内接四边形对角互补,所以∠B+∠D=180°,所以∠D=60°.连接OD,则OA=OD,OD=OC,所以∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=∠ADC=60°.6.(2014·安徽第19题)如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与☉O的交点.若OE=4,OF=6,求☉O的半径和CD的长.解:∵OC为小圆的直径,∴∠OFC=90°,∴CF=DF.∵OE⊥AB,∴∠OEF=∠OFC=90°.又∵∠FOE=∠COF,∴△OEF∽△OFC,∴OEOF∴OC=OF2OE=624在Rt△OFC中,CF=OC∴CD=2CF=65.命题点3与圆的基本性质相关的最值问题[10年2考]7.(2016·安徽第10题)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为(B)A.32 B.2C.81313 D【解析】∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的☉O上,连接OC交☉O于点P,此时CP最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=OB2+BC2=5,∴CP=OC－OP=5－8.(2015·安徽第20题)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.解:(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=3.连接OQ.在Rt△OPQ中,PQ=OQ(2)连接OQ.∵PQ2=OQ2－OP2=9－OP2,∴当OP最小时,PQ最大,此时,OP⊥BC,OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=32∴PQ长的最大值为9-3考点1垂径定理及其推论典例1(2020·四川甘孜州)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点H.若AB=10,CD=8,则OH的长度为.

【解析】连接OC.∵CD⊥AB,∴CH=DH=12CD【答案】3运用垂径定理解决圆的有关证明和计算问题,常用的作辅助线的方法是过圆心作弦的垂线,得到直角三角形,再结合勾股定理解决问题.提分1往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示.若水面宽AB=48cm,则水的最大深度为(C)A.8cm B.10cmC.16cm D.20cm【解析】过点O作OC⊥AB于点C,连接OB.∵OC⊥AB,∴AC=BC=24cm,∠OCB=90°,∴在Rt△OCB中,OC=OB2-BC2=10cm,提分2AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足为M,连接OA.若△AOM中有一个角是30°,OM=23,则弦AB的长为12或4.

【解析】∵OM⊥AB,∴AM=BM.如图1,若∠OAM=30°,则tan∠OAM=OMAM=23AM=33,∴AM=6,∴AB=2AM=12;如图2,考点2圆周角定理及其推论典例2(2021·湖北宜昌)如图,C,D是☉O上直径AB两侧的两点,设∠ABC=25°,则∠BDC=()A.85° B.75°C.70° D.65°【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ABC=25°,∴∠BAC=90°－25°=65°,∴∠BDC=∠BAC=65°.【答案】D【思维教练】在圆中求一个角的度数时,已知圆的直径可得到90°的圆周角,我们可以利用三角形的内角和定理求角度,也可以根据同弧所对的圆周角相等进行等角转换求角度.提分3(2021·四川雅安)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.若四边形OBCD为菱形,则∠BAD的度数为(B)A.45° B.60°C.72° D.36°【解析】∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∴∠BAD+∠BCD=180°.由圆周角定理得∠BOD=2∠BAD,∵四边形OBCD为菱形,∴∠BOD=∠BCD,∴∠BAD+2∠BAD=180°,解得∠BAD=60°.提分4(2021·浙江湖州)如图,AB是☉O的直径,∠ACD是AD所对的圆周角,∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度数.(2)过点D作DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交☉O于点F.若AB=4,求DF的长.解:(1)解法1:连接BD.∵∠ACD=30°,∴∠B=∠ACD=30°.∵AB是☉O