工程流体力学第5章量纲分析和相似原理

第五章

量纲分析和相似原理一、相似性条件二、相似原理三、量刚分析四、模型计算本章任务：熟悉两流动现象相似的条件、流体力学中常用的相似准则数，掌握利用量纲分析法获得准则方程以及模化计算2为什么要学习相似理论？实验3

为什么要学习相似理论？流体力学研究方法计算流体力学CFD实验研究理论分析直接实验模型实验法相似理论理论基石4

模型实验以相似原理为基础，按一定规则改变流动参数（如流体介质、流动速度与流场尺寸）来设计模型实验台，然后利用相似原理整理模型实验获得的数据，找出其规律，并将之应用于所有与模型相似的实际流动。什么是模型实验？5Moody图－相似原理的成果之一6

1)如何选择参数与工质保证模型与原型流动相似？

2)应测量哪些量，如何分类处理模型测量数据？

3)实验结果应用到原型是否需要修正？如何修正？相似理论必须回答的三个问题7

一、相似性条件（143－149）1几何相似

模型与原型流动空间要相似。长度比例常数CL为：82运动相似

原型模型模型与原型流场对应点、对应时刻速度大小成比例，方向一致。速度比例常数：9

3动力相似

模型与原型流场内各对应点上的相应力的大小成比例，方向一致。原型模型p1p1p2p2τ1τ2τ2τ1力比例常数：10

几何相似是前提，动力相似是基础，运动相似是流场相似的表现。

基本比例常数（CL，CV，Cρ）确定了其它比例常数4时间相似在非定常流中必须保证的相似条件。11二、相似原理1两种流动相似，必定为同类现象，因此控制方程相同。2两种流动相似，所有单值性条件相似。单值性条件包括流动空间几何形状、流动速度、流体性质、壁面条件、初始条件等等。3两种流动相似，那么单值性条件中某些物理量组成的相似准则数（无量纲数）对应相等。12

例5-1：设有两个二维不可压定常粘性流动相似，其控制方程N-S方程。具体形式如下（x方向）：求各相似比例常数间的关系。13设一流动为原型、一流动为模型，那么相应的方程：由于两流动相似，那么任意物理参数之间有关系：14代入模型方程后有：相似问题的控制方程应完全相同，对比后有：－－相似指标

相似指标涉及的物理量即可组合成一个无量纲量－即相似准则数15

4流体力学中的常用相似准则数（141－143）流动相似时，两个流场的欧拉数一定相等。Eu数表明流场内压差力与惯性力之比，描述了两流场间压差力的相似。压差对流问题流场惯性力与重力之比，表明两个流场的重力场相似。明渠流动、船舶波动阻力问题。弗鲁德数：Fr=V/(gL)0.516流场惯性力与粘性力之比，表示流场中粘性力作用的相似。管内粘性流动、外部绕流的摩擦阻力问题雷诺数：Re=ρDV/μ马赫数：Ma=V/a流场惯性力与弹性力之比，表示流场弹性力/压缩性影响的相似，在可压缩流动（Ma>0.3)中是一个重要准则。17

根据相似原理，在几何相似、边界条件和初始条件相似的前提下，只要所有的相似准则相等，则流场必定相似，并且互为充分必要条件。流场中表面张力的相似。毛细管内流动问题

相似准则数的幂、加/减常参数后仍为该准则数。18

三、量纲分析（136－141）基本量纲导出量纲长度[L]速度时间[t]压强质量[m]密度力F=ma动力粘度温度[T]运动粘度量纲分析法的基础：量纲齐次原则19

设某流动现象由n个有量纲的物理量描述:

f(x1,x2,x3,……,xn)=0若其中包含m个独立基本量纲，那么可以从n个物理量中选出m个重要变量作为重复变量，将n个物理量组合成为（n-m)个无量刚量/准则数，方程描述变为：

F

(П1,П2,П3,……,Пn-m)=0--准则方程白金汉（Buckingham）π理论20确定物理量个数n寻找独立量纲数m确定m个重复变量组合无量纲数注意点：1m=3,或m=2

2

选择最重要、基本的量作为重复变量，如几何尺寸、流体性质、运动速度等。3

在流动问题中出现过的m个基本量纲在m个重复变量中至少出现一次。4

重复变量的量纲禁止相同21

例5-2不可压粘性流体在水平管内作定常流动，克服摩擦阻力引起的压强损失

p是管径d、管长L、粗糙度ε、流速V、流体密度和粘性有关：

p=f(d,L,ε,V,,)

利用量纲分析找出压强损失的准则方程。22例5-4设计研究“西气东输”管路阻力特性的模型实验台（暂不考虑管路中的泵站）。例5-3设驱动轴流风扇所需的功率P是风扇直径d、流体密度ρ、旋转速度n(rpm)和体积流量Q的函数，试确定功率P的无量纲变量表达。23

对于重力为主要因素的流动，按Fr准则设计相似模型。如明渠/河道流动、船舶的波动阻力问题。采用Fr准则，相似流场间有：

Eum=Eup

几何相似、Frm=Frp1Fr数模化法

四、近似模型实验相似242Re数模化法

对于粘性作用为主导因素的流场，可按Re相等设计相似模型。如管内流动，流体机械内的流动/外部绕流的摩阻和形阻计算问题。采用Re准则，相似流场间有：Eum=Eup

几何相似、Rem=Rep☆

阻力自模化现象：粘性力作用自动相似第一自模区：Re<2000第二自模区：水力粗糙湍流区相似25

3、Eu数模化法

在某些条件下，管内的流动速度不再受Re的影响（自模化状态），此时可仅考虑Euler准则。相似流场间有：

几何相似、Eum=Eup264、Ma数模化法

当流动是可压时，必须保证Ma数相等。即：Eum=Eup

几何相似、Mam=Map相似27例5-5明渠流动中闸门前的水深H=2m，现用水在1/10的模型上作试验，已知模型上测得水流量Q’＝0.012m3/s,模型闸门后流速为1m/s，作用在闸门上的力为40N，求实物明渠流动中的流量、闸门后的速度及作用在闸门上的力?若原型闸门的设计开闸时间为10s,那么模型的开闸时间为多少？28例5-6按照新的设计方案，一辆赛车在海平面30摄氏度气温下的最高速度为94.4m/s，用1/10的模型在水温20摄氏度的水洞进行模型试验。试问水洞中水流速度是多少？如果在模型上测得阻力为4.6KN，问赛车的阻力是多少。模型与原型赛车因摩擦消耗的功率比为多少？29例5-7设模型与原型采用同样的流体进行实验，分别按Fr数、Re数两种准则设计模型实验台，请给出两种方案的功率比例常数与几何比例常数的关系。30例5-8:一条100m长的船在海水(ρ