2025北京一六一中初三（上）开学考数学试题及答案

初中2025北京一六一中初三（上）开学考数学考生须知1.本试卷共5页，满分100分，考试时间120分钟．2.试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．3.在答题卡上，用2B铅笔作答，在答题纸上，用黑色字迹签字笔作答．4.考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.2.下列曲线中，能表示y是x的函数的是（）A. B. C. D.3.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）A. B. C. D.4.祁阳市某一周内每日最高气温情况如图所示，下列说法中，错误的是（）A.这周最高气温是 B.这组数据的中位数是30C.这组数据的众数是24 D.周四与周五的最高气温相差5.若一次函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（）A. B. C. D.6.如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（）A. B. C. D.7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，若，，则菱形ABCD的面积为（）A.8 B.16 C.24 D.328.如图，在正方形中，P为边上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，交延长线于点F．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.仅有② B.仅有③ C.②③ D.①②③二、填空题（共16分，每题2分）9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．10.若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为_________．11.如图，中，，，平分，于E交于D，F为的中点，则________．12.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_________13.10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：）如下表所示：队员1队员2队员3队员4队员5甲队177176175172175乙队170175173174183则两队队员身高的平均数______（填或），身高的方差______（填或）．14.如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是______15.如图，正比例函数与一次函数的图象交于点P．下面四个结论：①，；②不等式的解集是③当时，；④；其中正确的是______16.某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备所需时间/分钟9764在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要______分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要______分钟．三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）．17.解方程：（1）；（2）．18.下面是晓涵设计的“作已知三角形的中线”的尺规作图过程．已知：．求作：的中线．作法：①如图，以点B为圆心，长为半径作弧；以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于下方的点E；②连接，与交于点D．则线段即为所求中线．根据晓涵设计的尺规作图过程完成下列问题：（1）使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明过程．证明：连接，，，，四边形是________形（________）（填推理依据），为中点（________）（填推理依据），为的中线．19.平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2．（1）画出函数图象，并求此一次函数的表达式；（2）线段的长为；坐标原点O到直线的距离为．20.已知关于x的一元二次方程（m为实数且）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．21.如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，求的长．22.在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点．（1）求的值；（2）若函数与函数的图象的交点位于直线的左侧，直接写出的取值范围．23.在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、．（1）在平面直角坐标系中画出一次函数的图象；（2）求该一次函数的解析式；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①内（不含边界）的整点个数为______个；②将直线向上平移个单位长度，平移后的直线与轴、轴分别交于点和点，当内（不含边界）有个整点时，的取值范围是______．24.为增强居民的反诈骗意识，A，B两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从A，B小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）；b．A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是：84858586868889c．B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如表：分数738182858891929496100人数1323131411根据以上信息，解答下列问题：（1）补全a中频数分布直方图；（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是；（3）为鼓励居民继续关注反诈骗宣传，对在这次有奖问答活动中成绩大于或等于90分的居民颁发小奖品．已知A，B两个小区各有2000名居民参加这次活动，估计这两个小区的居委会一共需要准备多少份小奖品．25.学校科技创新小组有两个加工同种实验液体的装置，分别为1号装置、2号装置．当1号装置、2号装置的加工时间都为时，分别记录了1号装置中加工的实验液体的体积（单位：）和2号装置中加工的实验液体的体积（单位：），部分数据如下：0234567891002.44.86.07.28.49.610.812.000.20.61.12.03.24.76.68.911.6（1）写出表中的值；（结果保留小数点后一位）（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；（3）根据以上数据与函数图象，解决问题：若两个装置同时开始加工，当1号装置与2号装置加工的实验液体的体积相差最大时，1号装置停止加工．①此时的加工时间为______h；（结果保留小数点后一位）②2号装置再加工______h，与1号装置加工的实验液体的体积相等．（结果保留小数点后一位）26.在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形．（1）当时，求点的坐标；（2）已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围．27.如图，在中，，，P为线段上的动点（不与点C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段．（1）如图1，当P是中点时，连接，求证：；（2）过点Q作直线，交直线于点M，在射线上取一点N，使得，连接．请补全图2，直接写出的大小并证明．28.在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．（1）在，，中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．（3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）12345678AABBCDBC二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】解：要使在实数范围内有意义，则，即．故答案为：10.【答案】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0，∴，解得，又∵，∴，∴，故答案为：．11.【答案】解：∵平分，，∴，，∵，∴，∴，，∴,∵点是边的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：1．12.【答案】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得．故答案为：2．13.【答案】解：由题意得，，，∴；，，∴，故答案为：，．14.【答案】解：∵，∴，由旋转性质知，，∴，∴，故答案为：．15.【答案】解：①因为正比例函数经过二、四象限，所以，一次函数交轴的正半轴，那么，故①错误；②由图象可得：不等式的解集是，故②错误；③当时，，那么，故③正确；④当时，，那么有，即，故④正确；故答案为：③④．16.【答案】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为：（分钟），合作完成四间客房时，甲依次完成4间客房的打扫卫生，耗时（分钟），此期间，乙、丙两人负责前3间客房的其余工作，当甲完成第4间房的打扫卫生后，甲、乙、丙三人共同完成第4间房的剩余三个步骤（整理床铺、更换客用物品、检查设备），耗时是这三个步骤中的最长时间，即7分钟，故最少需要（分钟）．故答案为：26；43．三、解答题（共68分，第17题8分，第18-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）．17.【答案】（1）解：，；（2）解：或，18.【答案】（1）解：如图所示即为所求；（2）证明：连接，，，，四边形是平行四边形形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），为中点（平行四边形的对角线互相平分），为的中线．19.【答案】（1）解：∵一次函数图象与x轴交点A的横坐标为，与y轴交点B的纵坐标为2．∴，函数图象如图所示：设一次函数解析式为将代入解析式得：解得：一次函数解析式为（2）根据题意得：，∴，设原点O到直线的距离为h，根据题意得：，即，解得：，故答案为：；．20.【答案】（1）证明：由题意可得：，，此方程总有两个实数根；（2）解：，，，，方程的两个实数根都是整数，或，解得：或或或，是正整数，或．21.【答案】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵D，E分别是，的中点，∴，∵，∴，∴四边形是菱形；（2）解：连接交于点G，∵，D，E分别是，的中点，∴，∵四边形是菱形，∴，，，∴，根据勾股定理可得：，∴．22.【答案】（1）解：一次函数与的图象交于点，∴把点代入得，，解得，，∴，再把点代入得，，解得，；（2）解：由（1）得到，，∴函数的解析式为，当时，，即，把点代入得，，解得，，∴当直线经过点时，，当直线与直线平行时，，如图所示：∴当或或时，函数与函数的图象的交点位于直线的左侧．23.【答案】（1）解；∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，∴如图所示：直线即为所求，（2）解：∵一次函数的解析式为，∴把、代入得，，∴，∴一次函数的解析式；（3）解：根据图象可知：内不含边界的整点个数为个；故答案为：；如图所示：当内不含边界有个整点时，，故答案为：．24.【答案】（1）解：由题意可知，A小区“”的频数为：，补全a中频数分布直方图如下：（2）A小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：；B小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是94．故答案为：88.5；94；（3）（份），答：估计这两个小区的居委会大约一共需要准备1900份小奖品．25.【答案】（1）解：观察表格可发现，当x每增加时，的值增加，∴；（2）解：将表格数据描点，并连线，得（3）解：①观察函数图象可得，当时，实验液体的体积相差最大．②当1号停止加工时，观察函数图象可得2号需要到8小时时，与1号装置加工的实验液体的体积相等，∴2号装置再加工的时间为：（小时）．故答案为：①；②（答案不唯一）26.【答案】（1）解：当时，函数表达式分别为，.根据题意，得，解得，.（2）解：联立，解得，那么，由题意可知，时，在上，那么有：当时，代入，得到.当在上时，代入，.，，；当在上时，代入，．，，；综上所述，的取值范围是或．27.【答案】（1）证明：由旋转可知：，∵，点P是中点，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由题意可得如图：连接，作，交于点D，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴点D是的中点，∴，∴，由三角形内角和可知，∴，即．28.【答案】（1）∵，，，，∴，，，∴点P的等积点是，故答案为：．（2）设点，∵，点Q是P点的等积点，∴即，故点Q在直线上，∴点，当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，∴点，∵点在x轴上，∴点，解得，∴点；当点P平移得到点O时，平移规律是向