2023年陕西师大附中中考数学一模试卷

2023年陕西师大附中中考数学一模试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）负数的概念最早出现在《九章算术》中，把向东走2km记做“+2km”，向西走1km应记做（）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km2．（3分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（）A．0.448×106度 B．44.8×104度 C．4.48×105度 D．4.48×106度3．（3分）下列计算正确的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn24．（3分）如图，AB∥CD，且∠ACB＝90°，则与∠CAB互余的角有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．45．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，3），（a，b）（b≠0），则的值为（）A．3 B． C．﹣3 D．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°7．（3分）二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）8．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则ab．9．（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），已知﹣＝﹣，则k值为．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为．三、解答题（共13小题，计84分.解答题应写出过程）13．（5分）计算：2÷．14．（5分）先化简，再求值：（﹣1），其中．15．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．16．（5分）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）17．（5分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A'B．（1）请画出线段A'B；（2）点A、A'之间的距离是．19．（5分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．20．（6分）一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米至点D处，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．（6分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．22．（7分）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BD，CD是⊙O的弦，⊙O的切线DE与CB的延长线交于点E，且DE⊥CE．（1）求证：∠C＝∠BDE；（2）若CD＝3，DE＝6，求⊙O的直径．24．（10分）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？25．（12分）问题探究：（1）如图1，已知，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，则对角线AC、BD的位置关系是．（2）如图2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2，求AC的长．问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE⊥y轴于点E．设G为y轴上一点，点P从点E出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点．若点P在直线GA上运动速度为定值v，在y轴上运动速度为2v，试确定点G的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短，并求此时点G的坐标．

2023年陕西师大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）负数的概念最早出现在《九章算术》中，把向东走2km记做“+2km”，向西走1km应记做（）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km【考点】正数和负数；数学常识．【分析】利用正数、负数的意义解答即可．【解答】解：∵向东走2km记做“+2km”，∴向西走1km应记做：﹣1km．故选：B．【点评】本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义．2．（3分）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（）A．0.448×106度 B．44.8×104度 C．4.48×105度 D．4.48×106度【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】根据1万＝104，然后写成科学记数法的形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可．【解答】解：44.8万＝44.8×104＝4.48×105，故选：C．【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握1万＝104是解题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（）A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2【考点】整式的加减；合并同类项．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝5ab，符合题意；B、原式＝3y2，不符合题意；C、原式＝8a，不符合题意；D、原式不能合并，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了整式的加减，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）如图，AB∥CD，且∠ACB＝90°，则与∠CAB互余的角有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4【考点】平行线的性质；余角和补角．【分析】先根据直角三角形的性质得出∠CAB+∠ABC＝90°，再由AB∥CD得出∠CAB＝∠BCD，进而可得出结论．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，即∠CAB与∠ABC互余．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠BCD．∴∠CAB与∠BCD互余．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，3），（a，b）（b≠0），则的值为（）A．3 B． C．﹣3 D．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于a，b的方程，变形后即可求出的值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，3），∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【考点】轴对称的性质．【分析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，故选：A．【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．7．（3分）二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由a＞0可判断y1＞y4＞y2＞y3，进而求解．【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵2﹣（﹣2）＞5﹣2＞2﹣0＞3﹣2，∴y1＞y4＞y2＞y3，若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y2＞0，y3y4＜0，选项A错误．若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y1y4＞0，y2y3＜0，选项B错误．若y2y4＜0，则y1＞y4＞0＞y2＞y3，∴y1y3＜0，选项C正确．若y1＞y4＞y2＞0＞y3，则y3y4＜0，y1y2＞0，选项D错误．故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）8．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a＜b．【考点】实数大小比较；实数与数轴．【分析】根据数轴左边的数小于右边的数即可直接解答．【解答】解：根据数轴的特点，因为a在b的左边，所以a＜b．【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．9．（3分）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于15．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解答】解：正六边形的一个内角为：，∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，∴正n边形一个外角为：120°÷5＝24°，∴n＝360°÷24°＝15．故答案为：15．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．【考点】菱形的性质．【分析】设BE＝x，则CD＝3x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．【解答】解：设BE＝x，则CD＝3x，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝3x，∴BD＝4x，∴OB＝OD＝2x，∵OE+BE＝BO，∴1+x＝2x，解得x＝1，即AB＝3，OB＝2，在Rt△AOB中，OA＝＝＝，在Rt△AOE中，AE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），已知﹣＝﹣，则k值为4．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由题得，把点P（a，b）分别代入，y＝x﹣1中，得k＝ab，b＝a﹣1，进而求解即可．【解答】解：把点P（a，b）分别代入，y＝x﹣1中，得：k＝ab，b＝a﹣1，即b﹣a＝﹣1．∵＝＝＝，∴解得：k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为2．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【分析】连接BG，由矩形的性质可得BG＝AF＝AG＝FG，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．【解答】解：连接BG，在矩形ABCD中，AD∥BC，∠DAF＝∠AFB，∴AE＝EF，AD＝DF，∴DE垂直平分AF于点G，∵∠ABF＝90°，∴BG＝AF＝AG＝FG，∴∠GBA＝∠GAB，∠BGF＝2∠BAG＝2∠ADE＝∠FDG，∴△NBF∽△DAF，∴，∴AF•BG＝12，∴AF2＝12，∴AF＝2．故答案为：2．【点评】此题考查的是翻折变换，矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．三、解答题（共13小题，计84分.解答题应写出过程）13．（5分）计算：2÷．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝2×（﹣4）﹣3+5＝﹣8﹣3+5＝﹣3﹣3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．14．（5分）先化简，再求值：（﹣1），其中．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：（﹣1）＝•＝•＝，当时，原式＝＝．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．15．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式3x﹣5＜x+1，得：x＜3，解不等式2（2x﹣1）≥3x﹣4，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16．（5分）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—复杂作图．【分析】作CP的垂直平分线交AC于E，则EP＝EC，所以AE+EP＝AC．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．17．（5分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴DE＝AC．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段A'B．（1）请画出线段A'B；（2）点A、A'之间的距离是．【考点】作图﹣旋转变换．【分析】（1）根据旋转的性质找出对应点即可求解；（2）根据勾股定理结合网格即可求解．【解答】解：（1）如图所示，线段A'B即为所求；（2）点A、A'之间的距离＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转变换的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．19．（5分）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵丙坐了一张座位，∴甲坐在①号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种，∴甲与乙相邻而坐的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（6分）一架飞机沿水平直线飞行，在点C处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米至点D处，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求飞机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过A作AM⊥CD，交CD的延长线于M，设AM＝x米，由锐角三角函数定义求出CM＝AM＝x米，DM＝BM＝（x+3）米，再由CM﹣DM＝CD＝5米得出方程，求解即可．【解答】解：过A作AM⊥CD，交CD的延长线于M，如图所示：设AM＝x米，由题意得：CD＝5米，∠ACM＝30°，∠BDM＝45°，在Rt△ACM中，tan∠ACM＝＝tan30°＝，∴CM＝AM＝x米，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝＝tan45°＝1，∴DM＝BM＝AM+AB＝（x+3）米，∵CM﹣DM＝CD＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BM＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：飞机飞行的高度约为14米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（6分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由接种速度＝接种人数÷接种天数求解．（2）利用待定系数法求解．（3）将x＝80代入（2）问中解析式得出y＝35，然后由40﹣35＝5．【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．【点评】本题考查一次函数的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解．22．（7分）某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量（单位：kg）如下：4.74.84.64.54.84.94.84.74.84.74.84.94.74.84.54.74.74.94.75.0整理数据：质量（kg）4.54.64.74.84.95.0数量（箱）217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc（1）直接写出上述表格中a，b，c的值．（2）平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？（3）根据（2）中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？【考点】统计量的选择；近似数和有效数字；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）根据题意以及众数、中位数的定义分别求出即可；（2）从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可；（3）求出成本，根据（2）的结果计算即可得到答案．【解答】解：（1）a＝20﹣2﹣1﹣7﹣3﹣1＝6，分析数据：样本中，4.7出现的次数最多；故众数b为4.7，将数据从小到大排列，找最中间的两个数为4.7，4.8，故中位数c＝＝4.75，∴a＝6，b＝4.7，c＝4.75；（2）选择众数4.7，这2000箱荔枝共损坏了2000×（5﹣4.7）＝600（千克）（答案不唯一）；（3）10×2000×5÷（2000×5﹣600）≈10.7（元），答：该公司销售这批荔枝每千克定为10.7元才不亏本．【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的定义及运用．要学会根据统计量的意义分析解决问题．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BD，CD是⊙O的弦，⊙O的切线DE与CB的延长线交于点E，且DE⊥CE．（1）求证：∠C＝∠BDE；（2）若CD＝3，DE＝6，求⊙O的直径．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的性质．【分析】（1）连接OD，AD，由DE是⊙O的切线，得∠BDE+∠BDO＝90°，而AB是⊙O的直径，有∠A+∠DBO＝90°，可得∠BDE＝∠A，又∠A＝∠C，故∠C＝∠BDE；（2）根据DE⊥CE，CD＝3，DE＝6，由勾股定理得CE＝＝9，因∠C＝∠BDE有＝，BD＝2，再由∠A＝∠C，可得＝，AB＝13，从而⊙O的直径为13．【解答】（1）证明：连接OD，AD，如图：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠BDE+∠BDO＝90°，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠BDE+∠DBO＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠DBO＝90°，∴∠BDE＝∠A，∵＝，∴∠A＝∠C，∴∠C＝∠BDE；（2）解：∵DE⊥CE，CD＝3，DE＝6，∴CE＝＝＝9，由（1）知∠C＝∠BDE，∴cosC＝cos∠BDE，即＝，∴＝，解得BD＝2，∵∠A＝∠C，∴sinA＝sinC，即＝，∴＝，∴＝，解得AB＝13，∴⊙O的直径为13．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握圆的相关概念．24．（10分）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m．（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y＝ax2，由待定系数法求出其解即可；（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；（2）由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5＝7小时，水位上升的高度为：0.25×7＝1.75米．当h＝﹣4+1.75＝﹣2.25米时，∴﹣2.25＝﹣x2，∴x＝±7.5，﹣7.5不符合题意，（舍去），∴2x＝15＞10．∴水面宽是15米，它能安全通过此桥．【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．