专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题（解析版）

专题7.11平面图形的认识（二）八类必考压轴题【苏科版】必考点1必考点1平行线中求角度的综合1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．【分析】（1）如图，过E作MN∥CD，根据平行公理得AB∥CD∥MN，根据平行线的性质得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，对角进行加减运算即可求；（2）根据垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根据平行线的性质得∠FEH=∠HNP，根据邻补角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代换即可求得结果；（3）结合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，结合已知和邻补角得∠HNQ=180°-∠EMF，由（2）的结论得∠EMF+110°=180°-∠EMF求出∠EMF=35°，最后根据三角形内角和求出∠MFE=55°依据PQ∥EF，AB∥CD利用平行线的性质即可求解．【详解】（1）如图，过E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，即∠AFE+∠CGE=∠FEN；（2）证明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，∴∠MEG+∠FEH=360°-∠MEF+∠HEG∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，∴∠HNQ=∠MEG；（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，∴∠EMF+110°=∠MEG，∵∠HNQ=180°-∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，∴∠HNQ=180°-∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，∴∠EMF+110°=180°-∠EMF，解得：∠EMF=35°，∴∠MFE=180°-∠MEF-∠EMF=180°-90°-35°=55°，∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，∵AB∥CD，∴∠CQP=180°-∠MPQ=180°-55°=125°．2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE=∠PEM，EM∥（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=1（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE=220°-∠BPE，同（1）【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，如图所示，过点E作EM∥∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥CD∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，（2）∠PFQ=1∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，∴∠PFQ=1即∠PFQ=1（3）解：如图，过点E作EN∥∴∠PEN=∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=1∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∥∴∠CQE=180°-∠NEQ=180°-∠PEN-∠PEQ由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD==110°．3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN-∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；（2）如图所示（见详解），过点N作NR∥CD，根据平行性的性质，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；（3）设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，∴∠NFH=∠FNR，∵AB∥CD，∴∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN-∠NFH．（3）解：如图所示，设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，∵AB∥CD，∴∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，∴∠BEF=180°-∠AEF=174°-2α，∴∠BEN=1∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∴∠DFM=90°-∠EFD=90°-(2α+6)=84°-2α，∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°-α，∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°-α+3α=42°+2α，∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°-α=42°+2α，∴∴∠AEF=2α+6=36°，故∠AEF的度数为36°．4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点

(1)如图1，请写出∠AME、(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含【分析】（1）过点E作EE'∥AB，根据题意和平行线的判定得EE'∥（2）根据题意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根据平行线的性质得∠QEN=∠ENP=1（3）根据题意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根据EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN【详解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，证明如下：证明：如图1所示，过点E作EE∵AB∥CD，∴EE'∥AB∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，∴∠NEF=12∠MEN∵EQ∥NP，∴∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN-∠ENC=∠AME=30°，∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=12∠MEN-12∠ENC（3）∠GEK+∠BMN-m∠GEH=180°，证明如下：证明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，∴∠ENM=1m∠AMN∵EH∥MN，∴∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1m∠GEK-1m∵∠AMN=180°-∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK-(180°-∠BMN)，∴∠BMN+∠GEK-m∠GEH=180°．5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP=；(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12（1）解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；故答案为：25°（2）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°-α°＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝即∠AMP＝12（3）过P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝即∠QND＝2∠AMP．6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n=．【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE=180°，两式相减可得答案；（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α-180°-2β=2α+2β-180°（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．（1）证明：如图，过点P作PM∥AB，∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，即∠C+∠CPE+∠MPE=180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠Q=180°-α-β，∴∠P+2∠Q=2α+2β-180°+2180°-α-β即∠P+2∠Q=180°（3）解：n=1如图，过点P作PQ∥AB，过点G作GN∥CD，则PQ∥CD，GN∥CD，∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)=180°+∠DCN-(∠PCD+∠CPN)=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°+∠DCN-∠PCD-∠CPN=180°-∠PCN-∠CPN，∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，同理∠DCP=(n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE+∠DCP=（n+1）∠CPN+(n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，∴∠PEA=180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，故答案为17．如图：(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）.【分析】（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC=40°∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA=25°∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．②如图3中，∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-12∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12n故答案为220°-12n°

必考点2必考点2平行线中的辅助线构造1．先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B=（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B+（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，由平行线的性质可得∠ABF=∠G，进而可得∠【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∵∠BED=∴∠BED（2）证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∵∠BED=∴∠B+（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠ABF=∵∠ABF=∴∠G=∴BG∥CE，∴∠BFE=2．综合与实践(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．【分析】对于（1），作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；对于（2），作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；对于（3），作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB//CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110°；（2）过点P作EF∥AB，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵AB∥∴EF∥∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．如图，过点P作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF-∠APD，∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．小明是这样证明的：请填写理由证明：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（）∴∠CPQ=∠C（）∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为；(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为；(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．（1）如图1，过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C（2）如图2，过点P作PE∥AB，∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，∴∠APE＝60°，∵PE∥AB，AB∥CD．∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，∴∠CPE＝40°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°；（3）如图3，过点P作PF∥AB，∴∠APF＝∠A，∵PF∥AB，AB∥CD．∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠C∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；（4）如图4，过点P作PG∥AB，∴∠APG+∠A＝180°，∴∠APG＝180°﹣∠A∵PG∥AB，AB∥CD，∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPG+∠C＝180°，∴∠CPG＝180°﹣∠C∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．解：过点A作ED∥∴∠B=，∠C，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．②如图4，点B在点A的右侧，且AB<CD，AD<BC．若∠ABC=n°，求∠BED度数．（用含n的代数式表示）【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果；（2）过C作CF∥AB，利用“两直线平行，同旁内角互补（3）①过E作EG∥AB，利用角平分线的概念求得∠EDC＝12∠ADC＝25°，∠ABE＝12∠ABC＝18°，再利用【详解】（1）解：∵ED∥∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC（两直线平行，内错角相等）；故答案为：∠EAB；∠DAC（2）解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥∵CF∥AB，∴∠B+∠FCB=180°，∴∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）解：①过E作EG∥AB，∵AB∥DC，∴EG∥∵DE平分∠ADC，∴∠EDC＝12∠ADC＝∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∵GE∥AB，∴∠BEG＝∠ABE＝②过E作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥∵BE平分∠ABC，∠ABC＝n°，∴∵AB∥PE，∴∠ABE+∠PEB=180°，∴∴∠BED＝必考点3必考点3平行线中利用方程思想求角度1．（1）如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为平面内AB、CD间一点，若（2）如图2，AB∥CD，点E在直线AB上，点F、G分别在直线CD上，GP平分∠EGF，∠PEG=∠PFG，请探究∠EPF、（3）如图3，AB∥CD，∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK．直线MN交FK、EG分别于点M、【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据角的和差得到∠PFD=∠FPQ，即可判定AB∥CD；（2）∠EPF=2∠PEG-∠DGE+180°，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，根据平行线的性质及平角的定义求解即可；（3）过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】（1）证明：如图1，过点P作PQ∥AB，∴∠BEP=∠EPQ，∵∠EPF＝∠PEB+∠PFD，∠EPF=∠EPQ+∠FPQ，∴∠PFD=∠FPQ又PQ∥AB，∴AB∥CD；（2）解：∠EPF=2∠PEG-∠DGE+180°，理由如下：如图2，过点P作PT∥AB，则PT∥AB∥CD，设∠FGP=∠EGP=x，∠PEG=∠PFG=y，∵AB∥CD，∴∵PT∥AB，∴∠EPT=∠BEP=∠PEG+∠BEG=2x+y，∵PI∥CD，∴∠FPT=∠PFG=y，∴∠EPF=∠EPT+FPT=2x+y+y=2x+2y，∵x=12×180°-∠DGE即∠EPF=2∠PEG-∠DGE+180°；（3）如图3，过点M作MH∥AB，过点N作NI∥CD，∵AB∥CD，∴MH∥AB∥NI∥CD，∠EPF=∠PEB+∠PFD，∴∠HMN=∠INM，设∠BEG=x，∠CFK=y，∠HMN=∠INM=β∵∠EPF=120°，∠PEG=n∠BEG，∠PFK=n∠CFK即y-xn+1∵∠FMN=y-β，∠ENM=x-β，∠FMN-∠ENM=25°即y-x=25°②，由①②得，n=2．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、(1)如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数．(2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=30°，求∠MGN+∠MPN的度数．(3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN=120°，求∠AME的度数．【分析】（1）过G作GH∥AB，依据两直线平行，内错角相等，即可得到（2）过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND=α，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得∠MGN=30°+α，（3）过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF=x，∠GND=y，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-1【详解】（1）解：如图1，过G作GH∥∵AB∥CD，∴∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN，∵MG⊥NG，∴∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°；（2）解：如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥∵GK∥AB，AB∥CD，∴GK∵GK∥AB，∠BMG=30°，∴∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，∴∠GMP=∠BMG=30°，∴∠BMP=60°，∵PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=60°，∵ND平分∠GNP，∴∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPN=∠DNP=α，∴∴∠MGN+∠MPN=30°+α+60°-α=90°；（3）解：如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，∴∠FME=∠BMA=∠BMG=x，∴∵GK∥AB，∴∠MGK=∠BMG=x，∵ET∥AB∵GK∥AB∥CD，∴∠KGN=∠GND=y∵∠CND=180°，NE平分∠CNG，∴∠CNG=180°-y，∠CNE=1∵ET∥AB∥CD∴∠MEN=∠TEN-∠TEM=90°-12y-2x∵2∠MEN+∠MGN=120°，∴2(90°-12y-2x)+x+y=120°，∴x=20°，3．如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．(1)如图1，求证：AB∥(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求【分析】（1）只需要证明∠AGE=∠CHE即可证明AB∥CD；（2）先由平行线的性质得到∠AGH=∠DHG，进而证明∠QHG=∠NGH，即可证明GN∥（3）如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，先证明∠HNG=x+36°，再由平行线的性质得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，则∠VGN=30°，∠GNI=30°，进而求出∠KVN=66°，则∠QHN=132°，根据平行线的性质求出∠GNH=48°，从而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根据VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12°．【详解】（1）证明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，∴∠AGE=∠CHE，∴（2）证明：∵AB∥CD，∴∠AGH=∠DHG，∵∠AGN=∠QHD，∴∠AGN-∠AGH=∠QHD-∠DHG，∴∠QHG=∠NGH，∴GN∥（3）解：如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，∵∠HNK=2∠GNK，∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，∵AB∥CD∥IL，∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH∴∵∠NHD=∠VNK+6°，∴∠VGN+x+6°=x+36°，∴∠VGN=30°，∴∠GNI=30°，∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，∴∠QHN=2∠KVN=132°，∵GN∥QH，∴∠GNH=180°-∠QHN=48°，∴x+36°=48°，∴x=12°，∴∠VNP=12°，∵NP平分∠VNM，∴∠PNM=∠VNP=12°，∵VP∥MN，∴∠VPN=∠PNM=12°．4．问题探究：如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．问题解答：(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；问题迁移：(3)如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数．【分析】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可；（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可；（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程求出x＋y可得结论．（1）解：如图②中，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，EF∥AB，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．∵DE∥FG，∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∵AB∥CG，∴∠G＝∠ABF，∴∠EDC＝∠ABF，∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC；（3）如图④中，∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC，∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，∵∠CED＝3∠F，∴∠CED＝3x+3y，∵AB∥CD，∴∠BED＝∠CDE＝2y，∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，∴5x+5y＝180°，∴x+y＝36°，∴∠F＝36°．5．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，(1)求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD；(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．①如图2，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．【分析】（1）过点E作直线EN∥AB，得到EN∥CD，根据两直线平行内错角相等推出∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN即可；（2）①HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．（1）解：如图1，过点E作直线EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，①∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，又CE∥FG，∴又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，∴∠BAH=∠EAH=45°-x，如图2，过点H作l∥∴l∥AB∥CD②∠AHF=90°+12∠AEC②设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH=∠CFH=90°-x，由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，过点H作l∥AB，∴∠AHF-y+∠CFH=180°，即∠AHF-y+90°-x=180°，∴∠AHF=90°+（x+y），∴∠AHF=90°+12∠AEC．（或2∠AHF-∠AEC=180°6．已知：AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，在两直线间取一点E．(1)如图1，求证：∠E=∠APE+∠CQE；(2)将线段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H．①如图2，若∠E=90°，求∠H的度数；②如图3，若点I在直线AB、CD内部，且PI平分∠BPE，连接HI，若∠I-∠H=m°，∠E=n°，请直接写出m与n的数量关系，不必证明．【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质证明即可；（2）①利用（1）中结论求解即可；②结论：n＝180−2m，过点I作IJ∥AB，设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．利用（1）中结论求解即可．（1）证明：过点E作MN∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠APE=∠PEN，∠CQE=∠NEQ，∴∠PEQ=∠PEN+∠NEQ=∠APE+∠CQE．（2）解：①∵∠CGF的平分线和∠APE的平分线交于直线AB、CD内部一点H，∴∠APH=12∠APE∵FG由EQ平移而来，∴FG∥EQ，∴∠CGF=∠CQE，由（1）可知，∠APE+∠CQE=∠E=90°，∴∠H=∠APH+∠CGH=②n=180-2m．理由如下：过点I作IJ∥AB，如图所示：设∠APE＝x°，∠CQE＝∠CGE＝y°，则n°＝（x＋y）°．∵AB∥CD，∴IJ∥CD，同法可证∠H＝∠CGH＋∠JIH，∵∠BPI＝∠PIJ，∴∠PIH＝∠JIH＋∠PIJ，∵∠PIH−∠H＝m°，∴∠BPI＋∠JIH−（∠CGH＋∠JIH）＝m°，∴12（180°−x°）−12y°＝m∴90°−12（x＋y）°＝m°，∴90°−12n°＝m°，即必考点4必考点4平行线中利用分类讨论思想求角度1．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、∠α,∠β间的数量关系．【分析】（1）过点P作PE∥AD，则可得出PE∥AD∥（2）分两种情况讨论：过点P作PE∥AD，则可得出PE∥AD∥BC，然后平行线的性质分别求出把【详解】（1）解：∠CPD=α+β证明：如图，过点P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD又∵∠BCP=β，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=α+β；（2）解：当P在线段BA的延长线上时∠CPD=β-α，证明：如图，过点P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∠DPE=∠ADP=α，∵PE∥AD,AD又∵∠BCP=β，∴∠CPE=∠BCP=β，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=β-α；如图，当P在线段AB的延长线上时，如图，过点P作PE∥∵PE∥AD，∠ADP=α，∴∵PE∥AD,AD∥BC，∴PE∥BC，又∵∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=α-β；综上所述：∠CPD=α-β或∠CPD=β-α．2．已知AB∥CD．(1)如图1，若∠ABE=120°，∠BED=135°，则∠EDK=______．(2)如图2，EF⊥BE于点E，∠HBE、∠KDE的角平分线交于点P，GE平分∠DEF，若∠P比∠GEF的5倍还多5°，求∠GEF的度数．(3)如图3，在（1）的条件下，在同一平面内的点M、N满足：∠MBH=12∠MBE，∠NDK=12∠NDE，直线MB与直线ND交于点【分析】（1）过E作EF∥AB，利用同旁内角互补和内错角相等可得答案；（2）设∠GEF=x，则∠BPD=5x+5，根据题意可得（3）分四种情况解答，分别利用内错角相等解答即可．（1）解：过E作EF∥AB，如图，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠∴∠2=∠BED-∠（2）设∠GEF=x，则∠BPD=5x+5，分别过点E和点P作EM∥AB，PN∥则BH∥PN∥DK，∴∠PBH=∠∵∠HBE、∠KDE∴∠BPD=1∵AB∥EM∥CD，∴∠HBE=∠∴∠∵∠BEF=90°，∠DEF=2∠GEF=2x，∴所以∠GEF=10°（3）分四种情况：①如图，此时，∠BQD=∠MBH+∠NDK∴∠②如图，此时，∠BQD=∠ABQ+∠CDQ=∴∠③如图，此时，∠BQD=∵∠MBH=12∠④如图，此时，∠BQD=∵∠MBH=1∴∠综上，∠BQD的度数是35°或45°或55°或135°．3．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB=100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数；②若∠EGC-∠ECG=40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32【分析】（1）①根据平行线的性质可得∠ECQ=80°，再根据角平分线的定义即可得到∠PCG的度数；②根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQ∥EC即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）设∠EGC=3x，则∠EFC=2x，分两种情况讨论：①当点G,F在点E的右侧时，②当点G,F在点E的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可．（1）解：①∵∠CEB=100°，AB∥CD，∴∠ECQ=180°-∠CEB=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCF=∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=1②∵AB∥CD，∠CEB=100°，∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=180°-∠CEB=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=40°，∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠ECG=40°，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=1∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=60°，∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=60°．（2）解：设∠EGC=3x，则∠EFC=2x，由题意，分以下两种情况：①如图，当点G,F在点E的右侧时，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x,∠QCF=∠EFC=2x，∴∠GCF=∠QCG-∠QCF=x，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=1∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠ECF+∠PCF=3x，∵PQ∥EC，∴∠CPQ=∠ECP=3x，∵∠ECD=80°，

∴∠ECF+∠QCF=80°，即2x+2x=80°，解得x=20°，∴∠CPQ=3x=60°；②如图，当点G,F在点E的左侧时，∵AB∥CD，∴∠QCG=180°-∠EGC=180°-3x,∠QCF=180°-∠EFC=180°-2x，∴∠GCF=∠QCF-∠QCG=x，∵∠PCF=∠PCQ，∴∠PCF=∠PCQ=1∵CG平分∠ECF，∴∠ECF=2∠GCF=2x，∴∠ECP=∠PCF-∠ECF=90°-3x，∵PQ∥EC，

∴∠CPQ=∠ECP=90°-3x，∵∠ECD=80°，∴∠QCF-∠ECF=80°，即180°-2x-2x=80°，解得x=25°，∴∠CPQ=90°-3x=15°；综上，存在这样的情形，使∠EGC∠EFC=32，此时∠CPQ的度数为4．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°．(1)试说明：∠BAG=∠BGA；(2)如图2，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG-∠F=45°，求证：CF平分∠BCD；(3)如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP=3∠PBG，过点C作CH∥AG.若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，求∠ABM∠GBM【分析】（1）先根据平行线的性质可得∠GAD=∠BGA，再根据角平分线的定义可得∠BAG=∠GAD，然后根据等量代换即可得证；（2）过点F作FM∥BC于M，先根据平行线的性质可得∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，从而可得∠BAG-∠GFC=∠MFC，则∠BCF=∠MFC=45°，再根据角平分线的定义即可得证；（3）设∠ABC=4xx>0，则∠ABP=3x，∠PBG=x，先根据平行线的性质可得∠BAD=180°-4x，从而可得∠BGA=90°-2x，再根据平行线的性质可得∠BCH=∠BGA=90°-2x，从而可得∠PBM=∠DCH=2x，然后分①点M在BP的下方和②点M在BP的上方两种情况，根据角的和差可得∠ABM和∠GBM（1）证明：∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA．（2）证明：如图，过点F作FM∥BC于M，∴∠BGA=∠MFG,∠BCF=∠MFC，由（1）已证：∠BAG=∠BGA，∴∠BAG=∠MFG=∠MFC+∠GFC，即∠BAG-∠GFC=∠MFC，又∵∠BAG-∠GFC=45°，∴∠MFC=45°，∴∠BCF=45°，又∵∠BCD=90°，∴CF平分∠BCD．（3）解：设∠ABC=4xx>0，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-4x，由（1）已得：∠BGA=∠BAG=1∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°-2x，∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°-90°-2x由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在BP的下方时，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM-∠PBG=2x-x=x，∴∠ABM∠GBM②如图，当点M在BP的上方时，∴∠ABM=∠ABP-∠PBM=3x-2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM综上，∠ABM∠GBM的值是5或1必考点5必考点5平行线中的动态问题1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN-∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AEM=∠FME，结合题意即可推出∠AEM=∠FEM，即得出∠AEM=∠FEM=1（2）由（1）即可说明EM平分∠AEF；（3）由平行线的性质可得出∠BEG=∠EGF=α，∠BEH=∠EHF．再根据角平分线的定义即得出∠FEH=∠GEH=12∠FEG，即得出∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．又易求∠MEH=12∠AEG=90°-12α，结合HN⊥EM，可求出∠EHN=90°-∠MEH=【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠FME．∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠FEM．∵∠AEF=∠AEM+∠FEM=70°，∴∠AEM=∠FEM=1故答案为：35；（2）由（1）可知∠AEM=∠FEM=12∠AEF，即EM（3）∠MHN-∠FEH=1∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF=α．∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH=12∠FEG，∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，∴∠MEH=1∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°-∠MEH=90°-(90°-1∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EHF，即∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，∴α+∠FEH=12α+∠MHN，2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．(1)当∠BFH=12∠BFN(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，由MN∥AB，得到∠BFN=30°，由∠BFH=12∠BFN，则∠BFH=15°（2）由MN∥AB得到∠HAK=∠FDK，由∠AKF=∠HFD+∠KDF即可得到结论；（3）分五种情况画图求解即可．【详解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠B=180°-∠BAC-∠C=30°，∵MN∥AB，∴∠BFN=∠B=30°，∵∠BFH=12∠BFN，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=1∵MN∥AB，∴∠ADE=∠BAD=30°，∴∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN=30°+15°+30°=75°，即∠AKF=75°；（2）∵MN∥AB，∴∠HAK=∠FDK，∵∠AKF=∠DFH+∠KDF，∴∠AKF=∠HAK+∠DFH；（3）由（1）知，∠FDK=30°，∠KFD=45°，∴∠DKF=180°-∠FDK-∠KFD=105°，如图1，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，∵∠CFE=30°，∴此时是旋转了180°-30°-90°=60°，此时，t=60°÷5°=12s如图2，当DK∥CF时，∵∠CFD=∠KDF=30°，∴此时是旋转了180°-30°-30°=120°，此时，t=120°÷5°=24s如图3，当KF∥CE时，∵∠EFK=180°-∠CEF=120°，∴此时是旋转了180°-120°+45°=105°，此时，t=105°÷5°=21s如图4，当DK∥EC时，设DK与MN相交于点S，∴∠KSF=∠CEF=60°，∴∠DFS=∠KSF-∠D=30°，∴此时是旋转了30°，此时，t=30°÷5°=6s；如图5，当DK∥EF时，∴∠EFK=180°-∠DKF=75°，∴此时是旋转了180°-75°-45°此时，t=150°÷5°=30s∴当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=______°；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．【分析】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，根据∠BAN+∠BAM=180°，可列出关于x的等式，解出x即可求解；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0<t≤90时，根据2t=1⋅30+t，可得t=30；当90<t<150时，根据1⋅30+t+2t-180=180（3）分类讨论①当0<t≤90时和②当90<t<180时，画出图形，分别根据平行线的性质结合题意构建方程解决问题即可．【详解】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，∵∠BAN+∠BAM=180°，即x°+2x°=180°，∴x=60，∴∠BAN=60°．故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，由题意可知∠CAM=(2t)°，∠CAM=(t+30)°．①当0<t≤90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA．∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD．∴2t=30+t解得t=30；②当90<t<150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°．∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA，∴∠PBD+∠CAN=180°．∵∠CAM=(2t)°，∴∠CAN=(2t-180)°，∴30+t+2t-180=180综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）设灯A射线转动时间为t秒，①当0<t≤90时，过点C作CK∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥MN∥CK，∴∠CBP=∠BCK，∠CAN=∠ACK，∴∠ACB=∠BCK+∠ACK=∠CBP+∠CAN，∵∠CAN=(180-2t)°，∠CBP=t°，又∵∠ACB=120°，∴t+(180-2t)=120，解得：t=60，∴∠CAN=60°，此时AC与AB共线，不符合题意；②当90<t<180时，同①的图可得∠CAN=(2t-180)°，则(2t-180)+t=120，解得：t=100；如图4中，当∠ACB=120°时，同①可知∠ACB=∠MAC+∠QBC．因为此时∠MAC=(360-2t)°，∴120=(360-2t)+(180-t)，解得：t=140．综上可知，t的值为100或140．故答案为：100或140．4．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．②如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？【分析】（1）①当转动50秒时，有∠MBC=150°，即有∠CBN=180°-∠MBC=30°，根据∠ABC=∠ABN-∠CBN，即可得解；②过点C作CH∥MN，得到∠MBC=3t∘，∠QAC=t∘，即有∠ACH=∠QAC=t∘，∠HCB=∠CBN=180-3t（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即0＜t＜150，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即∠QAE=60∘，即在灯B射线到达BN之前，先证明∠MBF=∠QAE，即有：3t=30+t，即可求解；②在灯B射线到达BN之后，回到BM前，根据①中，同理有：∠MBF=∠QAE=30+t∘，∠FBN=3t-180∘即有：3t-180+30+t【详解】（1）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．①当转动50秒时，∠MBC=50×3∴∠CBN=180∴∠ABC=∠ABN-∠CBN=45故答案为：15°；②比值为：32，理由如下，如图2，过点C作CH∵PQ∥MN，∴CH∥PQ，设两灯转动时间为t秒，则∴∠ACH=∠QAC=t∘，∴∠ABC=∠ABN-∠CBN，即∠ABC=45又∵∠ACB=∠ACH+∠BCH，即∠ACB=t∘+∴∠ACD==2t-90∴∠ABC:∠ACD=3即比值为：32（2）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即0＜①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即∠QAE=60即在灯B射线到达BN之前，如图3所示，∵PQ∥MN，BF∥AE，∴∴180∘-∠ABN-∠ABF=180∘即有：3t=30+t，解得：t=15（秒）；②如图4，在灯B射线到达BN之后，回到BM前，根据①中，同理有：∠MBF=∠QAE=30+t∘即有：3t-180+30+t=180，解得：③如图5，在灯B射线回到BM后，第二次到BN前，由题意得：3t-360=30+t，解得：t=195（舍去）．综上所述，A灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．必考点6必考点6构成三角形的条件1．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市斗门区实验中学校考期中）如图，已知P是△ABC内任一点，AB＝12，BC＝10，AC＝6，则PA+PB+PC的值一定大于（

）A．14 B．15 C．16 D．28【答案】A【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+BP>AB，同理:BP+PC>BC，AP+PC>AC，以上三式左右两边分别相加得到:2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC>12(AB+BC+AC)∴PA+PB+PC>12×（12+10+6）=14即PA+PB+PC>14故选A.【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论.2．（2022秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b≤c，若b=2020，则满足此条件的三角形共有____个．【答案】2041210【分析】已知b=2020，根据三角形的三边关系求解，首先确定出a、c三边长取值范围，进而得出各种情况有几个三角形．【详解】解：a，b，c表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中a⩽b⩽c，如果b=2020，则0⩽a⩽2020，2020⩽c⩽4039，∴当c=2020时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为1⩽a⩽2020，有2020个三角形；当c=2021时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为2⩽a⩽2020，有2019个三角形；当c=2022时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为3⩽a⩽2020，有2018个三角形；…当c=4039时，根据两边之和大于第三边，则a的取值范围为a=2020，有1个三角形；∴三角形数量是：(2020+2019+2018+…+3+2+1)=(1+2020)×2020故答案为：2041210．【点睛】本题主要考查一元一次不等式、三角形的三边关系，解题的关键是利用了在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三边关系．3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有________个．【答案】3【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个数．【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何一边不能超过6.5；根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、4、5；根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；故这样的三角形共有3个，故答案为：3．【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．4．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为________．【答案】54.【分析】由三条整数长度的线段的长度和的最小值，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即1+1=2；由四条线段的长度和的最小值，可确定规律最后一条线长为前两条长之和，然后同理可得八条线段的长度和的最小值.【详解】解：根据题意，不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即1+1=2；四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7，也可找出最后一条线长为前两条长之和，即1+2=3；同理可得：五条线段的长度和的最小值为1+1+2+3+(2+3)=1+1+2+3+5，八条线段的长度和的最小值为1+1+2+3+5+8+13+21=54.本题答案为：54.【点睛】本题考查了三角形的定义，构成三角形其中两边长之和必须大于第三边长，由简到繁，结合三角形的定义知识点，找到规律是解本题的关键，这种发散思维的题型是今后一种趋势，可多体会.5．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两边长分别为x米和4米.(1)求x的取值范围;(2)若围成的三角形是等腰三角形,求x的值.【答案】(1)5<x<9(2)x=7.【详解】试题分析：（1）由题意可知围成的三角形的周长为18米，结合其中两边长为x米和4米，可得第三边为（18-x-4）米，再根据三角形三边间的关系列出不等式组，即可求得x的取值范围；（2）分x为底边和腰两种情况分别列出方程，可解得对应的x的值，再由三角形三边间的关系检验是否符合题意即可求得x的值.试题解析：（1）由题意可得：18-4-x-4<x<18-4-x+4，解得：5<x<9；（2）①当x为底边长时，由题意可得：4+4+x=18，解得：x=10，又∵5<x<9，∴x=10不符合题意，舍去；②当x为腰长时，由题意可得：x+x+4=18，解得x=7，又∵5<x<9，∴x=7符合题意.点睛：（1）当已知4和x是等腰三角形的两边求x时，需分x为底边和腰两种情况分别讨论；（2）在有关三角形三边的问题中，当解得边的长度后，要用“三角形三边间的关系”进行检验，看能否围成三角形.必考点7必考点7三角形中线与面积关系探究1．（2022秋·新疆吐鲁番·八年级统考期末）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．3【答案】D【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．【详解】解：在图①中，连接OC，∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA设S△OAS1解得S1在图②中，连接OE2、OC、则S△ABE1设S△OAS2解得S2在图③中，连OE2、OE3、OC、则S△ABE1设S△OAS3解得S3.....．由可知，Sn∵S∴12×5+1解得a=3．故选：D【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．2．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．【答案】7【分析】连接FC，设S△BFD=a，利用CD=4BD及中点，分别表示四边形DFEC的面积与△ABC的面积，利用△ABC的面积最大，四边形【详解】解：连接FC，∵CD=4BD，设S△BFD=a，则∵E为AC的中点，∴S△BAE=∴S∴S∴S△AFE=S△CFE∴四边形DFEC的面积=7∴△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，∴当AB⊥AC时，△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，此时四边形DFEC的面积=7故答案为：7．【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的面积之间的关系，考查了底不等而高相同的两个三角形的面积关系，掌握以上知识点是解题的关键．3．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长度的最小值为___．【答案】6【分析】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出S△ABC=15从而求出【详解】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴S△ABE=S∴S△CEF+S∴S四边形∴S△ABC∴12∴CH=6，又∵点到直线的距离垂线段最短，∴AC≥CH=6，∴AC的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2022春·江苏无锡·七年级无锡市侨谊实验中学校考期中）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________【答案】52【分析】连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．【详解】如图，连接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴S△ADF=13S∵S△CDF∴S△ADF=4，∵AF∥BC，∴S△ABF∴S△ABD∴S△CBD=36，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴S△AEC=2S∴S△AEC=32，∴S△AOE即S△AOE∴13S△COD∴S△COD∵S△BCD∴S△COD∴S四边形AEOD=S故答案为：525【点睛】本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转化为面积之间的关系是解题的关键．5．（2022春·山东青岛·七年级山东省青岛第二十六中学校考期中）如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过多少次操作___________【答案】4【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍