量子力学第一章习题答案

第一章习题1.1在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求德布罗意波长。解：1.2用单色光和金属钠作光电效应实验发现，当入射光波长时，打出的光电子动能为1.85eV；当时，光电子的动能为0.82eV。求：（1）Planck常数h的数值；（2）用电子伏特为单位表示的钠的逸出功；（3）钠金属光电效应的截止波长。解：钠金属光电效应已知：=1.85eV=0.82eV=1\*GB3①求Planck常数。设钠的逸出功为W，则有，，两式相减得：所以：=2\*GB3②逸出功=3\*GB3③截止频率1.3设和分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态时的相对几率分布。a，b为复常数，，为实函数。解：代入，得1.4计算下面两个定态波函数的几率流密度，并说明其物理意义。（1）（2）解：=1\*GB3①球坐标系中由于只与变量r有关，所以同理有所以[]这是一个以速度v向外传播的球面波；=2\*GB3②对于用相同的方法可以解得，为向中心点收敛的球面波。1.5试将下列波函数归一化：（1）（2）（3），积分公式解：（1），（2）由分部积分可得，（3），1.6一维谐振子处于第一激发态：，求其几率最大值的位置。【解1】：由第一激发态函数可知几率密度令，则由，得因为=1即所以()【解2】：1.7粒子在如下的一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。-aa0V(-aa0V(x)解：一维势阱(x<-a或x>a)：=0(-a<x<a)定态方程为令，E>0,所以为实数，定态方程化为：其通解为：有连续性条件x=-a:------------------①x=a:--------------------②①+②得若B=0，则A≠0，，所以①-②得若A=0，则B≠0，→归一化常数1.8粒子在一维有限深势阱中运动，势能为，求束缚态（0<E<V0）的能级。（答案见教材P22）本题改为：粒子（）在一维半无限深势阱中运动，势能为，求束缚态的能量满足的条件。解：由E满足分别求解定态方程可得：ⅡШІⅡШІ，边界x=0处波函数为0，考虑波函数的有限性，由x=a处连续性条件有,由，代入上式得：可采用数值解法或作图法可求得不同n值的值，由进而求出。1.9一个电子局限在10-14cm的区域中运动，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14的三维无限深势阱计算）。解：由三维势阱能量公式有基态能1.10二维线性谐振子的哈密顿算符为：试求其本征函数和相应的本征值。解：由定态薛定谔方程显然可以分成两项之和：，其中所以原方程可以分离变量，设，其中，分别是与的本征值，本征函数可表达为两项之积：由于，数学形式完全相同，各自为以为线性谐振子的哈密顿算符，所以：，，其中为常数，零点能与能级间距均为简并度：，1.11入射粒子，在如下的一维势场中运动，求透射系数T，并讨论T的极大，极小条件。解：当粒子以能量E入射高度为的势垒（）时，透射系数为：其中，（1）时，，，此时无势阱。（2）时，，，粒子有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。当，即，，取极大值，称为共振透射；当，即，T取极小值；。1.12粒子以X反方向入射到如下势阶中，求反射系数。解：（1）定态薛定谔方程为Ⅰ区：Ⅱ区：波函数的解为考虑波函数有限性，有处波函数及导数的连续性条件：和可得入射波：，反射波：，几率流密度为反射系数全反射定态薛定谔方程为Ⅰ区