新高考数学二轮复习培优训练专题13 运用空间向量研究立体几何问题（含解析）

专题13运用空间向量研究立体几何问题1、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=1故DE=32，所以AD所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=3则A(1,0,0),B(0,3则AP=(−1,0,设平面PAB的法向量n=(x,y,z)则有{n→⋅则cos〈所以PD与平面PAB所成角的正弦值为55

2、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【解析】(1)因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；又因为DE,BE⊂平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=3因为AD⊥CD，所以DE=1在△DEB中，DE2+B以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，则A1,0,0,B0,设平面ABD的一个法向量为n=则n⋅AD=−x+z=0n⋅又因为C−1,0,0,F0,所以cosn设CF与平面ABD所成的角的正弦值为θ0≤θ≤所以sinθ=所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为43

3、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1

(1)求A到平面A1BC(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A【解析】(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，设点则VA−解得ℎ=2所以点A到平面A1BC的距离为(2)取A1B的中点E,连接AE,如图，因为AA又平面A1BC⊥平面ABB1A且AE⊂平面ABB1A1，所以在直三棱柱ABC−A1B1C由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，又AE,BB1⊂平面ABB1所以BC,BA,BB1两两垂直，以由（1）得AE=2，所以AA1=AB=2，则A(0,2,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A则BD=(1,1,1)，BA设平面ABD的一个法向量m=(x,y,z)，则{可取m=(1,0,−1)设平面BDC的一个法向量n=(a,b,c)，则{可取n=(0,1,−1)则cos〈所以二面角A−BD−C的正弦值为1−(12)2=32.

4、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，(1)证明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．【解析】(1)证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P−ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又PA=PB，所以△POA≅△POB，即OA=OB，所以∠OAB=∠OBA，又AB⊥AC，即∠BAC=90°，所以∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，所以∠ODA=∠OAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE//平面(2)解：过点A作Az//因为PO=3，AP=5，所以OA=A又∠OBA=∠OBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，则AE=33,1,3设平面AEB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AE=33x+y+32设平面AEC的法向量为m=a,b,c，则m⋅AE=33a+b+32所以cos设二面角C−AE−B为θ，由图可知二面角C−AE−B为钝二面角，所以cosθ=−4故二面角C−AE−B的正弦值为11135、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【解析】（1）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为矩形，不妨以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立如下图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此，二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，D为棱SKIPIF1<0上的点．SKIPIF1<0（1）证明：SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为何值时，面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?【解析】因为三棱柱SKIPIF1<0是直三棱柱，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0两两垂直．以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，如图．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的二面角的平面角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0取最大值为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．7、（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面，，分别是AC，A1B1的中点．（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．【解析】方法一：（I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．所以BC⊥平面A1EF．因此EF⊥BC．（Ⅱ）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故AE1⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．由（I）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=．由于O为A1G的中点，故，所以．因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．方法二：（Ⅰ）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．不妨设AC=4，则A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．因此，，．由得．（Ⅱ）设直线EF与平面A1BC所成角为，由（Ⅰ）可得，，设平面A1BC的法向量为，由，得，取，故．因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为．8、（2020全国Ⅰ理18）如图，SKIPIF1<0为圆锥的顶点，SKIPIF1<0是圆锥底面的圆心，SKIPIF1<0为底面直径，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是底面的内接正三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由题设，知SKIPIF1<0为等边三角形，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点N，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．9、（2020全国Ⅲ理19）如图，在长方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）证明：点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内；（2）证明：若SKIPIF1<0时，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．【解析】证明：（1）在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，分别连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在长方体SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0都是平行四边形．∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又在长方体SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内．（2）解：在长方形SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0的直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取法向量SKIPIF1<0；设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取法向量SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0．题组一、线面角1-1、（2022·山东泰安·高三期末）如图1，在等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，得到如图2所示的四棱锥SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点.

（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的中点为N，连接SKIPIF1<0.又∵M为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴M，N，C，D四点共面又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即为二面角SKIPIF1<0的平面角，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，∴△SKIPIF1<0为正三角形，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）以D为坐标原点，SKIPIF1<0为x轴正方向，SKIPIF1<0为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<01-2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点.（1）求证:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【解析】（1）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为边长为1的正方形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以射线SKIPIF1<0､射线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量.设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.即直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如图，在空间几何体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0均为边长为2的等边三角形，平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0都与平面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．

（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）证明：分别取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0是全等的正三角形，所以SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，则易知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．题组二、面面角2-1、（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点.（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】（1）证明：连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0.2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0，侧面SKIPIF1<0底面OBCD．（1）求证：SKIPIF1<0底面OBCD；（2）若SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为120°，求四棱锥SKIPIF1<0的体积．【解析】（1）证明：因为四棱锥SKIPIF1<0的底面是矩形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为侧面SKIPIF1<0底面OBCD，侧面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0侧面AOD，所以SKIPIF1<0底面OBCD．（2）解：因为SKIPIF1<0底面OBCD，OBCD为矩形，所以OA，OB，OD两两垂直．如图，以O为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为x轴正方向，SKIPIF1<0的方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为平面ABC的法向量，则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0为平面ACD的法向量，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）．所以四棱锥SKIPIF1<0的高为1，四棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0．2-3、（2022·河北保定·高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为平行四边形，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，AB中点F，连接SKIPIF1<0，EF，由(1)知，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，由图知，二面角SKIPIF1<0的平面角为钝角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.题组三、探索性问题3-1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，若二面角SKIPIF1<0的平面角的大小为SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置.【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0.由（1）知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0为原点建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0的一个法向量是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因为二面角SKIPIF1<0的平面角的大小为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0点的四等分点，且坐标为SKIPIF1<0.3-2、（2022·山东枣庄·高三期末）在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，Q为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是边长为2的正三角形，SKIPIF1<0．（1）求证：平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（2）棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0？若存在，确定点SKIPIF1<0的位置；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：（1）因为Q为AD的中点，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形BCDQ是平行四边形，所以SKIPIF1<0．在等边三角形PAD中，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，故SKIPIF1<0平面ABCD．又SKIPIF1<0平面PAD，故平面SKIPIF1<0底面ABCD；（2）以Q为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．假设棱PC上存在点M，使二面角SKIPIF1<0为30°．设SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．设平面BQM的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0为平面CBQ的一个法向量，由二面角SKIPIF1<0为30°，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．两边平方并化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）．所以SKIPIF1<0．故棱PC上存在点M，当SKIPIF1<0时，二面角SKIPIF1<0为30°．3-3、（2022·山东济南·高三期末）如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的动点.（1）求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面；（2）是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长度；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：如图所示：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点为M，连接SKIPIF1<0，ME，因为E为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因为F为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B，E，SKIPIF1<0，F四点共面；（2）以D为坐标原点，DA，DC，SKIPIF1<0分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面BEF的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；设平面GEF的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；因为平面SKIPIF1<0平面BEF，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以存在满足题意的点G，使得平面SKIPIF1<0平面BEF，DG的长度为SKIPIF1<0.3-4、（2022·湖南娄底·高三期末）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若平面APSB与棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点P，S，且SKIPIF1<0，Q，R分别为棱SKIPIF1<0，BC上的点，且SKIPIF1<0．（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）设平面APSB与平面SKIPIF1<0所成锐二面角为SKIPIF1<0，探究：SKIPIF1<0是否成立？请说明理由．【解析】（1）在长方体SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）以D为坐标原点，射线DA，DC，SKIPIF1<0分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，由（1）得，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立．1、（2022·湖南常德·高三期末）如图，已知AB是圆柱底