线性系统的能控性判据分析

实用文档线性系统的能控性判据分析摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。一：问题的提出设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。1.能控性定义能控性的直观讨论从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。二：问题的解决我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。设线性定常系统状态方程为：能控性判据： 1.格拉姆矩阵判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。2.秩判据线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是3.PBH秩判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值4.PBH特征向量判据线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足5.约当规范形判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是：(1)当矩阵A的特征值λ1,λ2,…λn为两两相异时，有系统的对角规范形其中不包含元素全为零的行。(2)当矩阵A的特征值为λ1(σ1重),λ2(σ2重),…λn(σn重),且(σ1＋σ2＋…＋σl)＝n时，有约当规范形其中： 的最后一行所组成的矩阵对i=1,2,…,l均为线性无关给定一个线性时不变系统的状态方程为 U 试判断其能控性。解：（1）计算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5s可以求得其特征值λ1=2,λ2=0（2）计算重特征值λ1=2,的几何重数α1.由 Rank(2I-A)=4（3）对重特征值λ1=2计算Rank(2I-A)m=6-vm中的vm，其中取m=0,1..对此，由（2I-A）0=I,Rank(2I-A)0=6,可知v0=0,由此可以求得v1=2，v2=4，v3=5（4）确定矩阵A的属于特征值λ1=2的广义特征向量组，首先列出下表：v3-v2=1v2-v1=2v1-v0=1V(3)11=V11V(2)12=V12V(1)12=-（2I-A）V12V(2)11=-（2I-A）V11V(1)11=(2I-A)2V12由满足(2I-A)3V11=0，(2I-A)2V11≠0定出一个独立型列向量V11=[001000]T.由此，可导出各个导出型列向量为：V(1)11=(2I-A)2V11=[220000]T，V(2)11=-（2I-A）V11=[1-10000]TV(3)11=V11=[001000]T,再之，由满足{V12，V12(2)}线性无关，（2I-A）2V12=0，（2I-A）V12≠0可以定出一个独立型列向量V12=[001-111]T.。由此，可导出各个导出型列向量为V(1)12=(2I-A)V12=[002-200]T，V(2)12=V12=[001-111]T（5）确定矩阵A的属于特征值λ2=0的特征向量。由（λ2I-A）V2=AV2=0求得其一个特征向量为V2=V12=[00001-1]T（6）组成变换阵Q并计算Q-1.对此有 逆矩阵（7）导出其状态方程的约当标准型，对此有，= U 对应于λ1=2和λ2=0的各约当小块的末行，找出B矩阵的相应行，组成如下矩阵 线性无关，根据约旦标准型