专题07 分析判断函数图象问题（针对第9、10题）（真题3个考点模拟13个考点） （解析版）

专题07分析判断函数图象问题（针对第9、10题）（真题3个考点模拟13个考点）一、反比例函数的性质1．（2023•安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（）A． B． C． D．【分析】根据反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．【解答】解：∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1，∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，∴符合以上条件的只有A选项．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．二、一次函数的图象2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，∴两直线的交点的横坐标为1，若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．三、动点问题的函数图象3．（2020•安徽）如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】分为0＜x≤2、2＜x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．【解答】解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH＝EJ＝x，∴y＝EJ•GH＝x2．当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．一．函数的图象（共7小题）1．（2023•金寨县一模）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘2023年2月12日骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（）A．点P表示出发4h，老刘共骑行80km B．老刘的骑行在0～2h的速度比3～4h的速度慢 C．0～2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘实际骑行时间为4h【分析】观察所给图象，结合横纵坐标的意义得出骑自行车的速度，再分别分析选项的描述即可解答．【解答】解：由图象可知，A．点P表示出发4h，老刘共骑行80km，故本选项正确，不符合题意；B．0～2h老刘的骑行速度为＝15（km/h），3～4h老刘的骑行速度为＝50（km/h），∵15＜50，∴老刘的骑行在0～2h的速度比3～4h的速度慢，故本选项正确，不符合题意；C．由上述可知，0～2h老刘的骑行速度为＝15（km/h），故本选项正确，不符合题意；D．2～3h，时间增加，但路程没有增加，老刘处于停止状态，因此实际骑行时间为3h，故本选项错误，符合题意故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，读懂题意，从所给图象中获取相关信息是解题关键．2．（2023•无为市四模）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，途中一直保持匀速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（）A． B． C． D．【分析】根据小雅的速度的变化判断即可．【解答】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不变，图象与x轴平行；最后150米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一段更陡．故选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．3．（2023•烈山区一模）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，①铁块在液面以下，液面的高度不变；②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；即B符合描述；故选：B．【点评】本题考查函数的图象，注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．4．（2023•龙子湖区二模）星期天，小颖从家去体育馆运动，运动结束后按原路返回，如图表示小颖离家距离和时间的关系，下列说法正确的是（）A．小颖家离体育馆1.5千米 B．小颖在体育馆运动了3小时 C．小颖到家的时间4点钟 D．小颖去时的速度大于回家的速度【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象知，小颖家离体育馆1.5千米，A正确，故符合题意；小颖在体育馆从第1小时到第3小时，运动了2小时，B错误，故不符合题意；小颖到家的时间是第4小时，而不是4点钟，C错误，故不符合题意；小颖去时与回家所用的时间相等，速度也相等，D错误，故不符合题意．故选：A．【点评】本题考查函数图象的应用，明确题意，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．5．（2023•砀山县一模）甲、乙两人沿相同的路线从A地匀速行驶到B地，已知A，B两地的路程为20km，他们行驶的路程s（km）与甲、乙出发的时间t（h）之间关系的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲的速度是5km/h B．乙的速度是10km/h C．乙比甲早出发2h D．甲比乙晚到B地2h【分析】根据一次函数图象的性质判断正误即可．【解答】解：甲的速度是5km/h，A选项正确，不符合题意；乙的速度是10km/h，B选项正确，不符合题意；乙与甲是同时出发的，C选项错误，符合题意；甲比乙晚到B地2h，D选项正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质．6．（2023•六安三模）甲，乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．当甲与乙相遇时距离A地（）A．16千米 B．18千米 C．72千米 D．74千米【分析】由题意可得：D（1.5，90），E（2.25，90），F（3，0），设OE为y＝kx，设DF为y＝mx+n，再分别根据待定系数法求两个函数的解析式，最后联立两个解析式方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可得，D（1.5，90），E（2.25，90），F（3，0），OE为y＝kx，则90＝2.25k，解得：k＝40，∴OE为y＝40x，设DF为y＝mx+n，则，解得：m＝﹣60，n＝180，∴DF为y＝﹣60x+180，，解得：x＝1.8，y＝72，即甲与乙相遇时距离A地72千米．故选：C．【点评】本题考查一次函数的实际运用，理清题意，利用一次函数的解析式解决行程问题是解题关键．7．（2023•蜀山区模拟）小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．小元离家路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么从家到火车站路程是（）A．1300米 B．1400米 C．1600米 D．1500米【分析】先由函数图象步行6分钟，离家480米，可求得步行的速度，再根据小元以同样的速度回家取物品，便可求得返回到家时的时间，进而得出此时点的坐标，再用待定系数法求出后来乘出租车过程中S与t的函数解析式，最后设步行到达的时间为t，根据“然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3分钟．”列出方程求出t即可进一步求得家到火车站的路程．【解答】解：步行的速度为：480÷6＝80米/分钟，∵小元步行从家去火车站，走到6分钟时，以同样的速度回家取物品，∴小元回到家时的时间为6×2＝12（分钟）则返回时函数图象的点坐标是（12，0）设后来乘出租车中S与t的函数解析式为S＝kt+b（k≠0），把（12，0）和（16，1280）代入得，，解得，所以S＝320t﹣3840；设步行到达的时间为t，则实际到达的时间为t﹣3，由题意得，80t＝320（t﹣3）﹣3840，解得t＝20．所以家到火车站的距离为80×20＝1600m．故选：C．【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，难点在于找出等量关系列出方程．二．动点问题的函数图象（共19小题）8．（2023•明光市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，点P是AB上的一个动点，PQ⊥AB交四边形另一边于点Q．设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数关系图象可能是（）A． B． C． D．【分析】分0≤x＜1，1≤x＜3，3≤x≤4三种情况讨论即可．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，则DE∥CF，∵AB∥CD，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，又AD＝BC，∴Rt△ADE＝Rt△BCF（HL），∵AE＝BF＝（AB﹣ER）＝1，∴DE＝＝＝CF，①当0≤x＜1时，∵PQ⊥AB，DE⊥AB，∴PQ∥DE，∴△APQ～△AEQ，∴＝，即＝，∴PQ＝x，∴y＝x•x＝x2；②当1≤x＜3，此时PQ＝DE＝，∴y＝x•＝x；③当3≤x≤4时，同理可证△BPQ∽△BFC，∴，即，∴PQ＝﹣x+4，∴y＝x•（﹣+4）＝﹣x2+2x，综上y＝．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质等，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．9．（2023•舒城县模拟）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点，点C为线段OA上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D，点C从原点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（）A． B． C． D．【分析】别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可判断．【解答】解：当0＜t≤2时，S＝t2，当2＜t≤4时，S＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．10．（2023•涡阳县二模）如图，点A、B、C在⊙O上，且AB经过点O，AB＝13，BC＝5，动点D在AB上，过点D作DE⊥AB，交折线A﹣C﹣B于点E，设AD＝x，△ADE的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】可求，①点E在AC上时，可求，从而可求面积解析式；②当点E在BC上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解．【解答】解：∵AB经过点O，∴∠ACB＝90°，∴，∴，①如图，点E在AC上时，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴，∴，∴，＝＝；∴图象为过原点的开口向上的一段抛物线，②当点E在BC上时，∴BE＝13﹣x，，∴∴∴，＝＝；∴图象为一段开口向下的抛物线；故选：D．【点评】本题考查了三角函数，二次函数在动点产生面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，“化动为静”列出函数解析式是解题的关键．11．（2023•安庆模拟）如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，AB＝4，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设△PAD的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据题意分析△PAD的面积的变化趋势即可．【解答】解：根据题意当点P在点E时，过点E作EG⊥AD于G，如图：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，AB＝4，点E是边AB的中点，∴AE＝2，∴S△PAD＝S△EAD＝AD•EG＝AD•AE＝×4××2＝2，∴当x＝0时，S＝2，当点P由E向B运动时，△PAD的面积匀速增加，当点P与点B重合时面积达到最大，此时S＝AD•AB＝×4××4＝4，当P由B向C时，△PAD的面积保持不变，当P由C向F运动时，△PAD的面积匀速减小，当点P与点F重合时，此时S＝2．故选：D．【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了一次函数图象的性质，分析动点到达临界点前后函数值变化是解题关键．12．（2023•霍邱县二模）如图，正方形ABCD一边AB在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，AB＝2PA＝4，E为边AD上一动点，过点P，E的直线与正方形ABCD的边交于点F，连接BE，BF，若设DE＝x，△BEF的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】分别求出点F在边CD上时，点F与点C重合时时，点F在边BC上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．【解答】解：AB＝2PA＝4，∴AB＝4，AP＝2，PB＝4+2＝6，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，点F在边CD上时，DE＝x，AE＝4﹣x，∴S＝S△BPF﹣S△BPE＝×6×4﹣×6（4﹣x）＝3x，点F与点C重合时时，S＝×4×4＝8，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴，∴，解得x＝，点F在边BC上时，∵AD∥BC，∴，即，∴BF＝12﹣3x，∴S＝×4（12﹣3x）＝24﹣6x，∴当x＜时，S＝3x，当x＝时，S＝8，当＜x＜4时，S＝24﹣6x，∴能反映S与x之间函数关系的图象是B，故选：B．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．13．（2023•合肥三模）如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q以每秒1cm的速度沿D→C运动，P点到达点C时运动停止．设P点运动x（秒）时，△APQ的面积y（cm2），则y关于x的函数图象大致为：（）A． B． C． D．【分析】分两种情况：当点P在AB上，即0≤x≤2时，此时y＝S△APQ，利用三角形面积公式得到y关于x的函数关系；当点P在BC上，即2＜x≤4时，此时S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△CPQ﹣S△ADQ，利用正方形和三角形面积公式得到y关于x的函数关系．进而可得y关于x的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．【解答】解：当点P在AB上，即0≤x≤2时，如图，此时，AP＝2xcm，∴y＝S△APQ＝＝＝4x（cm2）；当点P在BC上，即2＜x≤4时，如图，此时，BP＝（2x﹣4）cm，DQ＝xcm，∴CP＝（8﹣2x）cm，CQ＝（4﹣x）cm，∵S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△CPQ﹣S△ADQ＝AB2﹣﹣﹣，∴y＝﹣＝﹣x2+2x+8（cm2）；．综上，．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键．14．（2023•合肥三模）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点O为正方形的中心，点P从点A出发沿A﹣O﹣D运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，连接BP，PQ，在移动的过程中始终保持PQ⊥BC，已知点P的运动速度为cm/s，设点P的运动时间为ts，△BPQ的面积为Scm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】分情况求出当点P在OA上时、当点P在PD上时的函数关系式，再依题判断即可．【解答】解：如图，当点P在OA上时，延长QP交AD与点E，∴PE⊥AD，由题得，BQ＝tcm，AP＝tcm，∴AE＝PE＝tcm，∵QE＝AB＝2cm，∴PQ＝（2﹣t）cm，∴S＝BQ•PQ＝t（2﹣t）＝﹣t2+t；当点P在PD上时，由题得，BP＝BQ＝tcm，∴y＝t2．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．15．（2023•安庆二模）如图，正三角形ABC的边长为6，点P从点B开始沿着路线B→A→C运动，过点P作直线PM⊥BC，垂足为点M，连接PC，记点P的运动路程为x，△PCM的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）​A．​ B．​ C．​ D．​【分析】根据题意分别求出点P在AB上运动和点P在AC上运动的函数解析式即可解答．【解答】解：①点P在AB上，∵正三角形ABC的边长为6，P的运动路程为x，∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝6，BP＝x，∴，，∴S＝＝﹣，∴，∴图象是一个开口向下的抛物线；②点P在AC上时，∵正三角形ABC的边长为6，P的运动路程为x，∴∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝6，CP＝12﹣x，∴PM＝sin∠C•（12﹣x）＝（12﹣x），MC＝cos∠C•（12﹣x）＝（12﹣x），∴S△PMC＝PM•MC＝×＝，∵，∴图象是一个开口向上的抛物线．故选：B．【点评】本题考查了动点图象的问题，二次函数性质，二次函数的解析式，锐角三角函数，根据题意分清不同时间段图象和图形的对应关系是解题的关键．16．（2023•黄山二模）如图所示，四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，作DE⊥DC，交BC的延长线于点E．现将△CDE沿CB的方向平移，得到△C1D1E1，设△C1D1E1，与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图象为（）A． B． C． D．【分析】根据四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，DE⊥DC可得S△CDE＝1×＝，由平移可得CC1＝x，则CE1＝2﹣x，DC∥D1C1，S△DCE＝S，得△E1FC∽△E1D1C1，相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出S＝•（）2．进而可以表示y，抛物线开口向下，当x＝1时，函数y有最大值为，即可判断．【解答】解：如图，①当0＜x＜1时，DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，∴∠B＝∠DCE＝60°，∴∠E＝30°，∵DC＝BC＝1，∴CE＝2，DE＝，∴S△CDE＝1×＝，由平移可知：CC1＝x，则CE1＝2﹣x，DC∥D1C1，S△DCE＝S，∴△E1FC∽△E1D1C1，∴＝（）2，∴S＝•（）2．∴y＝S△DEC﹣S＝﹣（x﹣2）2+．当x＝1时，y＝，∵﹣＜0，∴抛物线开口向下，所以当x＝1时，函数y有最大值为，所以根据筛选法，可知：只有选项B符合要求．②将△CDE沿CB的方向继续平移，当1＜x＜2时，y＝S梯形＝[（2﹣x）++（2﹣x）]×＝﹣x+当x＝2时，y＝﹣+＝③当2＜x＜3时，y＝×（3﹣x）×（3﹣x）×，＝（x﹣3）2，∵＞0，∴抛物线开口向上，当x＝2时，y＝当x＝3时，y＝0故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点的运动过程表示阴影部分面积．17．（2023•岳西县校级模拟）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B，D重合），连接AE．将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，AG的长为y，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】连接DF，证明△ABE≌△ADF（SAS），得到BE＝DF，结合OG∥DF构造三角形中位线定理，计算判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠EAD，∠DAF＝90°﹣∠EAD，∴∠BAE＝∠DAF，∵，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∠AOB＝90°，OB＝OD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADF＝45°，∴∠ODF＝90°，∴OG∥DF，∴，∴BG＝GF，∴，∵边长为的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴，OA＝OC＝2，∴，∴，画图象为故选：A．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段．18．（2023•六安三模）如图，正三角形ABC的边长为2，动点D在折线B﹣A﹣C上运动，过点D作BC边的垂线，交BC于点M，则Rt△CDM的面积y与线段BM的长度x之间的函数关系图象为（）A． B． C． D．【分析】分两种情况：当0≤x≤1时，易得CM＝2﹣x，利用锐角三角函数可求出DM＝BM•tanB＝x，利用三角形面积公式即可求出此时的函数解析式；当1＜x≤2时，易得CM＝2﹣x，利用锐角三角函数可求出DM＝CM•tanC＝x，利用三角形面积公式即可求出此时的函数解析式．再根据函数解析式即可选择．【解答】解：当0≤x≤1时，如图，由题意得，BM＝x，∴CM＝2﹣x，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△BDM中，DM＝BM•tanB＝x，∴y＝S△CDM＝＝＝；当1＜x≤2时，如图，由题意得，BM＝x，∴CM＝2﹣x，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，在Rt△BDM中，DM＝CM•tanC＝，∴y＝S△CDM＝＝＝；综上，．故选：D．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、等边三角形的性质、解直角三角形，解题关键是利用分类讨论和数形结合思想求出y关于x的函数解析式．19．（2023•禹会区模拟）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线C﹣A﹣B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿BC做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设△PQC的面积为Scm2，点P的运动时间为ts，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据题意可得点Q是在点P出发4s后开始运动的，然后分三种情况：当0＜t≤3，3＜t≤4，4＜t＜8时，画出图形，用含t的式子表示出相关线段，再根据三角形的面积公式可求得相应的函数关系式，即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝＝5（cm），∴点P运动的路程是AC+AB＝8cm，运动的时间是8s，又∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C，且点Q、P的运动速度相同，∴点Q是在点P出发4s后开始运动的，当0＜t≤3时，点Q未动，点P在AC上运动，如图1所示：，是正比例函数关系；当3＜t≤4时，点Q未动，点P在AB上运动，如图2所示：此时，PB＝AB﹣AP＝5﹣（t﹣3）＝8﹣t，作PH⊥BC于H，则，∴，∴，是一次函数关系；当4＜t＜8时，点Q在BC上，点P在AB上，如图3所示：作PH⊥BC于H，同理可得，QC＝BC﹣BQ＝4﹣（t﹣4）＝8﹣t，∴；是二次函数关系，且抛物线的开口向上；综合各选项，符合题意的是选项A；故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正确分类、灵活应用数形结合思想、求出三种情况下的相应函数关系式是解题的关键．20．（2023•怀远县校级模拟）如图，菱形ABCD的边长为，∠BCD＝60°．动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿着边AB运动，到达点B停止运动；点Q以的速度沿着边AD→DC→CB运动，到达点B也停止运动．若点P的运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【分析】分别求出点P在DA、CD、BC上运动时y与x的关系，进而求解．【解答】解：①当点Q在AD上时，作QE⊥AB于点E，∵∠A＝60°，，，∴，∴，∵，∴0＜t≤3时，函数图象应为开口向上的抛物线的一部分；②当Q在CD上时，三角形APQ的高h不变为，底为，∴，∴3＜t≤6时，函数图象为直线的一部分；③当点P在BC上运动时，作QF垂直于BA延长线于点F，由菱形的性质得∠QBF＝60°，∵，∴，∴，∴当6＜t≤9时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分．故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，掌握分类讨论，通过数形结合，求出点P在各线段上运动的函数关系式是解题的关键．21．（2023•杜集区校级模拟）如图，在等腰直角三角形纸片ABC中，底边BC的长为8cm，边长为4cm的正方形纸片DEFG的边DG在直线BC上，设BD的长为xcm，两个纸片重叠部分的面积为ycm2，则表示y与x之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分三种情况讨论：当0≤x≤4时，DE交AB于点H，则BD＝DH＝xcm，于是y＝S△BDH＝；当4＜x≤8时，过A作AO⊥BC于点O，CF交AB于点M，DE交AC于点N，则AO＝BC＝4cm，GM＝BG＝（x﹣4）cm，DN＝CD＝（8﹣x）cm，于是y＝S△ABC﹣S△BCM﹣S△CDN＝；当8＜x≤12时，CF交AC于点P，则CD＝（x﹣8）cm，进而得到PG＝CG＝（12﹣x）cm，于是y＝S△CGP＝．以此即可得到y关于x的函数解析式，再判断函数图象即可．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵四边形CDEF是边长为4的正方形，且边DG在直线BC上，∴∠CDE＝∠DCF＝90°，DG＝4cm，当0≤x≤4时，如图，DE交AB于点H，则△BDH为等腰直角三角形，∴BD＝DH＝xcm，∴y＝S△BDH＝＝（cm2）；当4＜x≤8时，如图，过A作AO⊥BC于点O，CF交AB于点M，DE交AC于点N，则△BMG和△CDN为等腰三角形，AO＝BC＝4cm，∴GM＝BG＝BD﹣DG＝（x﹣4）cm，DN＝CD＝BC﹣BD＝（8﹣x）cm，∴y＝S△ABC﹣S△BCM﹣S△CDN＝＝＝﹣（x﹣6）2+12；当8＜x≤12时，如图，CF交AC于点P，则△CGP为等腰直角三角形，∵CD＝BD﹣BC＝（x﹣8）cm，∴PG＝CG＝DG﹣CD＝（12﹣x）cm，∴y＝S△CGP＝＝．综上，．故选：A．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、矩形的性质，学会利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是解题关键．22．（2023•郊区校级模拟）如图，已知△ABC，△CDE都是等边三角形，B，C，D三点共线，边长分别为3，9．△ABC沿射线CD向右运动，速度为每秒1个单位长度，当点B到达点D时停止运动．设运动的时间为x秒，△ABC与△CDE重叠部分的面积为y，则下面的函数图象正确的是（）A． B． C． D．【分析】先计算△ABC的面积，然后利用相似三角形的性质计算解题即可．【解答】解：如图，过A点作AG⊥BC于点G，则，∴，∴，当0≤x≤3时，，即；当3＜x＜9时，；当9≤x≤12时，，即；故选：A．【点评】本题考查定点问题的图象，掌握动点问题中的分情况讨论是解题的关键．23．（2023•淮北一模）如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，点E，F在菱形ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1cm的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y（cm2），运动时间记为x（s），能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据菱形的性质，结合题意，分两种情况讨论，0≤x≤4时，当4＜x≤8时，根据三角形的面积公式建立函数关系，根据二次函数的图象的性质即可求解．【解答】解析：当0≤x≤4时，过点F作FM⊥AB于M，如图1，∴AF＝AE＝x，∠A＝60°，则，∴线段EF扫过区域的面积，图象是开口向上，位于y轴右侧的抛物线的一部分，当4＜x≤8时，如图2，过点F作FN⊥BC于N，则CE＝CF＝8﹣x，∴，∴线段EF扫过区域的面积，图象是开口向下，位于对称轴直线x＝8左侧的抛物线的一部分，故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解直角三角形，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．24．（2023•蜀山区模拟）如图，四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A＝60°，垂直于AD的直线EF从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线P与菱形ABCD的两边分别交于点E，F（点E在点F的上方），若△AEF的面积为y，直线EF的运动时间为x秒（0≤x≤4），则能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【分析】根据S＝x×EF，分段求出EF的长度即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，边长为4，∠A＝60°，∴当E和点B重合时，AF＝2，当0≤x≤2时，EF＝ABtan60°＝x，∴S△AEF＝AF•EF＝x•x＝x2，即y＝x2，∴y与x的函数是二次函数，∴函数图象为开口向上的二次函数；②当2＜x≤4时，EF为常数＝2，∴S△AEF＝AF•EF＝x×2＝x，即y＝x，∴y与x的函数是正比例函数，∴函数图象是一条直线，故选：C．【点评】本题主要考查对动点问题的函数图象，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．25．（2023•庐阳区校级一模）如图，半圆O的直径AB长为4，C是弧AB的中点，连接CO、CA、CB，点P从A出发沿A→O→C运动至C停止，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．设点P运动的路程为x，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CO⊥AB于点O．可得AO＝BO＝2，CO平分∠ACB，点P从点A出发，沿A→O→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CO⊥AB于点O，∴AO＝BO＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴当点P从点A出发，沿A→O路径运动时，即0＜x＜2时，AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°＝，∴CE＝AC﹣AE＝，∵四边形CEPF的面积为y，∴y＝PE•CE＝＝﹣＝，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿O→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CO是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AO＝2，PO＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，∴y＝，∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．26．（2023•定远县校级一模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF＝1，正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．【分析】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解答】解：①当0≤x≤1时，如图1，设平移后的正方形交直线a于点G、H，则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，则y＝S△HGC＝×EC•GH＝•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；②当1＜x≤2时，如图2，设平移后的正方形交b于点M、N交a于点GH，则△A′GH、△MNC′均为等腰直角三角形，则y＝S正方形ABCD﹣（S△A′GH+S△MNC′）＝（）2﹣[（2﹣x）（2﹣x）×2+2×（x﹣1）（x﹣1）]＝﹣2x2+6x﹣3；该函数为开口向下的抛物线；③当2＜x≤3时，同理可得：y＝（3﹣x）×2（3﹣x）×＝x2﹣6x+9，该函数为开口向上的抛物线；故选：B．【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型．三．一次函数的图象（共2小题）27．（2023•蚌山区校级二模）在平面直角坐标系中，已知m为常数，且m≠2，m≠3，则关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+4﹣2m与y＝（4﹣2m）x+m﹣3的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可．【解答】解：当m﹣3＞0，4﹣2m＜0时，一次函数y＝（m﹣3）x+4﹣2m图象都过第一、三、四象限，y＝（4﹣2m）x+m﹣3的图象过第一、二、四象限，无选项符合题意；当m﹣3＜0，4﹣2m＜0时，一次函数y＝（m﹣3）x+4﹣2m与y＝（4﹣2m）x+m﹣3的图象都过第二、三、四象限，选项D符合题意；当m﹣3＜0，4﹣2m＞0时，一次函数y＝（m﹣3）x+4﹣2m图象都过第一、二、四象限，y＝（4﹣2m）x+m﹣3的图象过第一、三、四象限，无选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．28．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据各选项中的函数图象判断出k、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．【解答】解：∵直线l1：经过第一、三象限，∴k＞0，∴﹣k＜0．又∵该直线与y轴交于正半轴，∴b＞0．∴直线l2经过第一、三、四象限．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．四．一次函数的性质（共1小题）29．（2023•贵池区二模）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】由一次函数的图象与性质判断出k1，k2的符号，以及图象与x轴交点坐标即可．【解答】解：由图象知：k1＜0，k2＞0，且﹣2k2+b2＝0，k1+b1＝0，∴y＝y1•y2，∴y＝（k1x+b1）（k2x+b2），∴当x＝﹣2，y＝0，当x＝1时，y＝0，∴抛物线过（﹣2，0），（1，0），且k1k2＜0，抛物线开口向下，由图象知：b1＞1，b2＞1，∴b1×b2＞1∴D错误，故选：C．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，判断出二次函数图象与x轴交点坐标是解决本题的关键．五．一次函数的应用（共2小题）30．（2023•蜀山区校级模拟）甲、乙两人从A地出发前往B地，其中甲先出发1h，如图是甲、乙行驶路y甲（单位：km），y乙（单位：km）随甲行驶时间x（单位：h）变化的图象，当乙追上甲时，乙行驶的时间是（）A．2h B．3h C．2.5h D．3.5h【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲和乙的速度，然后根据乙追上甲，可知他们走的路程一样，即可列出相应的方程，再求解即可．【解答】解：由图象可得，甲的速度为：300÷6＝50（km/h），乙的速度为：300÷（5﹣1）＝75（km/h），设当乙追上甲时，乙行驶的时间是mh，75m＝50（m+1），解得m＝2，故选：A．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．31．（2023•泗县二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为（）A．10m B．15m C．20m D．30m【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求出甲和乙的速度，然后即可计算出当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差．【解答】解：由图象可得，甲的速度为：40÷5＝8（m/s），乙的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s），当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为：10×8﹣20﹣4×10＝20（m），故选：C．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．六．反比例函数的图象（共5小题）32．（2023•蜀山区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的图象可得出a＞0、b＜0、c＞0，由此即可得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．【解答】解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，∴b＜0．∴反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象找出a＞0、b＜0、c＞0是解题的关键．33．（2023•涡阳县二模）如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数图象，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出a，b，c的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．【解答】解：观察图象可得：a＞0，b＜0，c＜0，∴二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是，故选：B．【点评】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．34．（2023•瑶海区三模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据图象发现当x＝1时y＝a+b+c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＜0，∵当x＝1时y＝a+b+c＜0，∴y＝bx+a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，反比例函数y＝图象在第二、四象限，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．35．（2023•定远县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣b的图象和反比例函数y＝的图象在同一平面直角坐标系中大致为（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b＜0，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＜0，∴b＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y＝ax﹣b的图象经过第一二四象限，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴反比例函数y＝的图象在第一三象限，只有A选项图象符合．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．36．（2023•和县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣ax+b与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝﹣ax+b经过第一，二，四象限，反比例函数y＝图象分布在第二、四象限，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．七．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）37．（2023•阜阳三模）如图，点A、C为反比例函数（k≠0）图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为6时，k的值为（）A．﹣16 B．8 C．﹣8 D．﹣12【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝8，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．【解答】解：∵点E为OC的中点，∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝6，∵点A，C为函数图象上的两点，∴S△ABO＝S△CDO，∴S四边形CDBE＝S△AEO＝6，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴EB∥CD，∴△OEB∽△OCD，∴，∴S△OCD＝8，∵|k|＝2S△OCD，∴|k|＝16，∴k＜0，∴k＝﹣16．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．38．（2023•岳西县校级模拟）如图，面积为6的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数y＝的图象恰好经过点A，则k的值为（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数y＝的几何意义即可求得k的值．【解答】解：作AD⊥OB于D，∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，∴OA＝OB，∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，∴△AOD∽△BOA，∴＝（）2＝，∴S△AOD＝S△BOA＝×6＝，∵S△AOD＝|k|，∴|k|＝3，∵反比例函数y＝图象在二、四象限，∴k＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．39．（2023•霍邱县二模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为（）​A． B．2 C．3 D．6【分析】证明△ABO和△CBD全等，求出S△CBD，再根据等底同高的性质，求出S△CBO，即求出S△COD，就可利用几何意义解答．【解答】解：作CD⊥y轴于D，∴∠CDB＝∠AOB，∵点B是AC的中点，∴AB＝BC，∵∠DBC＝∠ABO，∴△ABO≌△CBD（ASA），∴S△CBD＝S△AOB＝，∵AB＝BC，∴S△CBO＝S△AOB＝，∴S△COD＝3，∴＝3，∵k＞0，∴k＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，几何意义及三角形面积性质的应用是解题关键．40．（2023•迎江区校级三模）如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（）A．（2，3） B．（3，3） C．（2，2） D．（3，2）【分析】根据平移的性质可求出点A′的坐标进而求出平移的距离，由线段BC所扫过的面积为9，可求出OB，得出点B坐标，进而求出点B′的坐标即可．【解答】解：由平移的性质可知，点A与点A′的纵坐标相同，当y＝2时，即2＝，解得x＝2，∴点A′的坐标为（2，），∴矩形平移的距离AA′＝2+1＝3＝BB′，又∵线段BC扫过的面积为9，∴OB＝9÷3＝3，∴点B的坐标为（0，3），∴点B′的坐标为（3，3），故选：B．【点评】本题考查平移，反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移的性质是解决问题的关键．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）41．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点C为线段OB的中点，点B的坐标为（6，8），反比例函数的图象恰好穿过线段BC，则k的值可能为（）A．9 B．11 C． D．50【分析】先根据点C为线段OB的中点，点B的坐标为（6，8）求出点C的坐标，再根据反比例函数过点C求出k的值，根据反比例函数过点B求出k的值，从而得到k的取值范围，最后进行判断得出答案．【解答】解：∵点B的坐标为（6，8），又∵点C为线段OB的中点，∴点C的坐标为（3，4），当反比例函数过点C时，k＝3×4＝12，当反比例函数过点B时，k＝6×8＝48，∴k的取值范围是12≤k≤48，∵，∴，∴k的值可能是，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，同时也需要掌握无理数的估算．42．（2023•利辛县模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（）​A．（1，3） B．（2，3） C．（2，2） D．（3，2）【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知S正方形ABCD＝S矩形ABOP+S矩形DCOP＝3+6＝9，从而可求出yD＝3．再将yD＝3代入y＝（x＞0），可求得x＝2，即D（2，3）．【解答】解：如图，设AD与y轴交于点P，∵正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，∴S矩形ABOP＝|﹣3|＝3，S矩形DCOP＝|6|＝6，∴S正方形ABCD＝S矩形ABOP+S矩形DCOP＝3+6＝9．∴正方形的边长为3，即CD＝3，∴yD＝3．将yD＝4代入y＝，3＝，解得：x＝2，∴D（2，3）．故选：B．【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数y＝图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为|k|是解题关键．43．（2023•淮南一模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣14【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝ab，∵△BCE的面积是6，∴×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，∵AB∥OE，∴＝，即BC•EO＝AB•CO，∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．九．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）44．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y＝，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）​A．3 B． C． D．2【分析】先求出点A（1，0），B（0，3），过点D作DE⊥x轴于E；过点C作CF⊥x轴于F，CH⊥y轴于H，可证△ABO和△DAE全等从而得OA＝DE＝1，OB＝AE＝3，据此可求出点D（4，1），同理可求出点C（3，4），据此可求出双曲线的解析式，设CF与双曲线交于点M，则CM＝a，据此可得点M（3，4﹣a），最后将点M代入双曲线的解析式即可求出a的值．【解答】解：对于y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1，∴点A（1，0），点B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，过点D作DE⊥x轴于E；过点C作CF⊥x轴于F，CH⊥y轴于H，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAE＝90°，又∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠DAE，在△ABO和△DAE中，，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴OA＝DE＝1，OB＝AE＝3，∴OE＝OA+AE＝4，∴点D的坐标为（4，1），同理可证：△ABO≌△BCH（AAS），∴BH＝OA＝1，CH＝OB＝3，∴OH＝CF＝OB+BH＝4，∴点C的坐标为（3，4），∵点D在双曲线y＝kx上，∴k＝4，∴双曲线的解析式为：，设CF与双曲线交于点M，∵将正方形ABCD向下平移a个单位，使顶点C落在双曲线上，∴点C就落在点M处，即平移后点C与点M重合，∴CM＝a，∴MF＝CF﹣CM＝4﹣a，∴点M的坐标为（3，4﹣a），∵点M在双曲线上，∴3（4﹣a）＝4，解得：．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定方法，难点是在解答（2）时，理解CF与双曲线交点之间的距离就是向下平移的长度单位a．一十．反比例函数的应用（共3小题）45．（2023•合肥一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，即，是反比例函数，又∵动力臂l＞0，故B选项符合题意．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．46．（2023•蚌埠二模）小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（）A．电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而增大 B．电流I（A）与电阻R（Ω）的关系式为 C．当电阻R为550Ω时，电流I为0.5A D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A【分析】直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．【解答】解：A．由图象知，电流I（A）随电阻R（Ω）的增大而减小，故此选项符合题意；B．设反比例函数解析式为：I＝，把（1100，0.2）代入得：U＝1100×0.2＝220，则I＝，故此选项不符合题意；C．把R＝550代入I＝得，I＝0.4A，故此选项不合题意；D．当电阻R≥1100Ω时，电流I的范围为0＜I≤0.2A；故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．47．（2023•庐阳区校级三模）由于机器设备老化，某工厂去年1月份开始对部分生产设备进行技术升级，边升级边生产．去年1﹣10月其利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，设备技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设备技术升级完成后是一次函数图象的一部分，下列说法正确的是（）A．由图象可知设备技术升级完成前的五个月处于亏损状态，升级后开始盈利 B．由图象可知设备技术升级完成前后共有6个月的利润超过100万元 C．由图象可知设备技术升级完成后每月利润比前一月增加30万元 D．由图象可知设备技术升级完成后最大利润超过200万元/月【分析】利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，再结合函数图象逐项判断即可．【解答】解：由函数图象可知，设备技术升级完成前和设备技术升级完成后都处于盈利状态，故A选项错误，不符合题意；设反比例函数的解析式为y＝，将（1，200）代入，得a＝200，∴设备技术升级完成前y关于x的函数解析式为，将x＝100代入得，y＝＝2，∴设备技术升级完成前后1、8、9、10月，共4个月利润超过100万元，故B选项错误，不符合题意；将x＝5代入得，y＝＝40，∴设备技术升级完成后，从5月到7月，利润从40万元增长到100万元，即每月利润比前一月增加＝30（万元），故C选项正确，符合题意；设一次函数的解析式为y＝kx+b，将（5，40），（7，100）代入，得，解得：，∴设备技术升级完成后y关于x的函数解析式为y＝3x﹣110，将x＝10代入y＝3x﹣110，得y＝300﹣110＝190，∴备技术升级完成后最大利润未超过200万元/月，故D选项错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法正确求出反比例函数和一次函数的解析式是解题关键．一十一．二次函数的图象（共6小题）48．（2023•肥东县模拟）已知二次函数y＝ax2（a≠0）和一次函数y＝bx+c（b≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据题干中的函数图象，可知a＞0，b＜0，c＞0，然后即可得到函数y＝ax2+bx﹣c的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：由图象可得，二次函数y＝ax2的二次项系数a＞0，一次函数y＝bx+c（b≠0）中的b＜0，c＞0，∴函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答．49．（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝acx+b的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．50．（2023•瑶海区二模）如图，函数y＝ax2﹣a2x与y＝ax﹣a2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（）A． B． C． D．【分析】分a＞0与a＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【解答】解：∵y＝ax2﹣a2x＝ax（x﹣a），∴抛物线经过原点和点（a，0），∵y＝ax﹣a2＝a（x﹣a），∴函数y＝ax﹣a2经过点（a，0），∴函数y＝ax2﹣a2x与y＝ax﹣a2（a≠0）交于x轴同一点（a，0），①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a2x的图象开口向上、对称轴在y轴的右侧，一次函数y＝ax﹣a2（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a2x的图象开口向下、对称轴在y轴的左侧，一次函数y＝ax﹣a2（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，且两个函数的图象交于x轴同一点．故选项B不可能．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．51．（2023•凤台县校级三模）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项正确；B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向下，故选项错误；D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．52．（2023•合肥模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则关于x的一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象可能为（）A． B． C． D．​【分析】根据二次函数图象得出a＞0、b＜0，c＜0，再结合图象过点（1，0），即可得出ab＜0，c＝﹣a﹣b＜0，根据一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y＝abx﹣a﹣b的图象经过的象限，此题得解．【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象可知a＞0、b＜0，c＜0，∴ab＜0，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣b＜0，∴一次函数y＝abx﹣a﹣b图象经过第二2、三、四象限，不经过第一象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象和性质，二次函数图象和性质是解题的关键．53．（2023•濉溪县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出a＞0，c＜0．一十二．二次函数的性质（共2小题）54．（2023•蒙城县三模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝﹣x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标xM的取值范围是（）A．﹣2≤xM≤2 B．﹣2≤xM≤2且xM≤﹣1 C．﹣1≤xM＜2 D．﹣1≤xM＜2或xM＝3【分析】分类求解确定MN的位置，进而求解．【解答】解：解得或，∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0），当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜2；当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；当点M在点B的右侧时，当xM＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即xM＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点，综上，﹣1≤xM＜2或xM＝3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定MN的位置是解题的关键．55．（2023•舒城县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣8a（a为常数）经过点C（0，2），图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），连接BC，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作PQ⊥BC交于点Q，若PQ取得最大值，则此时点P的横坐标为（）A． B． C．1 D．2【分析】作PH⊥x于点H，交BA于D，说明∠PDQ的函数值一定，PD最大时，PQ满足最大，设点P坐标，表示出PD，利用函数求出最值时的坐标即可．【解答】解：∵图象经过点C（0，2），∴﹣8a＝2，∴a＝﹣，将a代入关系式得，y＝﹣x2+x+2，令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，解得，x1＝﹣2，x2＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），∴OC＝2，OB＝4，BC＝＝2，设BC：y＝kx+b，把点C、B代入得，y＝﹣x+2，作PH⊥x于点H，交BA于D，∴∠PDQ＝∠BDH＝∠BCO，∴sin∠PDQ＝sin∠BCO＝＝，∴PD最大时，PQ满足最大，设点P（m，﹣m2+m+2），则点D（m，﹣m+2），∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，PQ有最大值，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质的应用，线段最值的计算及三角形边的比例关系是解题关键．一十三．二次函数图象与系数的关系（共