二、第二类换元法

二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法

第四章2021/5/91第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有2021/5/92一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)2021/5/93例1.

求解:

令则故原式

=注:

当时注意换回原变量2021/5/94例2.

求解:令则想到公式2021/5/95例3.

求想到解:(直接配元)2021/5/96例4.

求解:类似2021/5/97例5.

求解:∴原式

=2021/5/98常用的几种配元形式:万能凑幂法2021/5/99例6.

求解:

原式=2021/5/910例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=2021/5/911例9.

求解法1解法2两法结果一样2021/5/912例10.

求解法12021/5/913解法2同样可证或(P199例18)2021/5/914例11.

求解:

原式=2021/5/915例12.

求解:2021/5/916例13.

求解:∴原式=2021/5/917例14.

求解:

原式=分析:

2021/5/918例15.

求解:原式2021/5/919小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如2021/5/920思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2021/5/9212.

求提示:法1法2法3作业2021/5/922二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，2021/5/923定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式2021/5/924例16.

求解:

令则∴原式2021/5/925例17.

求解:

令则∴原式2021/5/926例18.

求解:令则∴原式2021/5/927令于是2021/5/928说明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考P204~P205)或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式2021/5/929原式例19.

求解:

令则原式当

x<0时,类似可得同样结果.2021/5/930小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲2021/5/9312.常用基本积分公式的补充(P205~P206)7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令2021/5/9322021/5/933解:

原式(P206公式(20))例20.

求例21.

求解:(P206公式(23))2021/5/934例22.

求解:

原式=(P206公式(22))例23.

求解:

原式(P206公式(22))2021/5/935例24.

求解:

令得原式2021/5/936例25.

求解:

原式令例16例162021/5/937思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令2021/5/9382.已知求解:

两边求导,得则(代回原变量)

2021/5/939P2072(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(