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有关分段函数问题的研究-中学数学论文有关分段函数问题的研究

江苏省南京市第三高级中学周志成

分段函数是函数大家族中的一种重要组员，由于它含有特殊的体现形式以及特殊的考察功效：函数分段给出，可觉得多个函数的综合提供一种平台；能够与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、图像、最值、不等式以及绝对值函数等问题相结合来考察学生的综合能力。解题时还能够重点考察分类讨论、数形结合等数学思想，因此值得我们去研究分段函数考察的题型及方向。本文就分段函数的几个重点题型做了某些简朴分析与思考。

一、分段函数的有关基础知识

对于自变量的取值范畴的不同，函数有着不同的对应法则，这样的函数普通叫做分段函数。同时我们应当注意下列几点：

a.分段函数是一种函数,而不能误认为它是几个函数。

b.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；分段函数的值域也是各段函数值域的并集。

c.分段函数的图像是由各段函数的图像共同构成的。

d.解决分段函数的惯用办法：作为特殊的函数形式，解决函数问题的惯用办法都能够使用在分段函数的问题中。特别强调的是“分段函数分段画、分段函数分段求（分段求解，先分后合）”。特别是：数形结正当和分类讨论法。

e.分段函数的某些常见问题：作出分段函数的图像；求分段函数的分析式；求分段函数中自变量、函数值的取值或取值范畴；有关分段函数性质的综合问题等（单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可；奇偶性：先看定义域与否有关原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，然后再判断之间的关系。）

二、分段函数与方程、不等式相结合

解方程、不等式或求取值范畴时，应当根据自变量的分段范畴把分段函数问题转化为不同区间上的方程、不等式（组）求解，然后再取这些方程、不等式（组）解集的并集。

[分析]本题重要考察分段函数的函数值的计算以及分类讨论的思想，首先需要讨论1-a，1+a与1的关系。

[分析]将自变量x0按分段函数的范畴分成两种状况，在此条件下分别求解不等式，最后将满足条件的不等式解集进行合并。

由于f（x）是定义在R上的奇函数，运用奇函数图像有关原点对称做出x＜0的图像。不等式f（x）＞x，表达函数y＝f（x）的图像在y＝x的上方，观察图像可得：解集为（-5，0）∪（5，+∞）。

又函数g（x）=f（x）-m有3个零点知f（x）=m有三个零点（即y=f（x）图像与y=m图像有且只有3个交点,根据图像可得：实数m的取值范畴是（0，1）。

四、分段函数与奇偶性相结合

例5：同例3.

五、分段函数与单调性相结合

分段函数的单调性，首先要分段考虑各分段函数的单调性，如果各段的单调性符合定义就能够合并，否则不能合并。如：f（x）在[a，b]及[c，d]（a＜b＜c＜d）上均为增函数（并不能确保整个函数就是增函数），还规定对任意的x∈[a，b]，y∈[c，d]，都有f（x）＜f（y）（即f（x）max＜f（y）min）则f（x）在定义域内是增函数。

纵观上述：涉及到分段函数的题目，不管它与函数的哪个性质相结合，我们都要注意的是“分段函数分段画

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