将军饮马手拉手夹半角模型

将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线和的异侧两点A、B，在直线上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线和的同侧两点A、B，在直线上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。6.如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。二、常见题目Part1、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。2．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____。3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值。Part2、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23B．26C．3D．63．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（成果不取近似值）。4．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一种动点，求PC+PE的最小值；

1、手拉手模型（1）自旋转：（2）共旋转（典型的手拉手模型）例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。△AGB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：△ABE≌△DBCAE=DCAE与DC的夹角为60。AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE与DC的夹角为60。（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并阐明理由．

（2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其它条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请阐明理由．

例4、例题解说：1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重叠），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.(1)

如图1，当点D在边BC上时，求证：①

BD=CF

‚

②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其它条件不变时，结论AC=CF+CD与否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并阐明理由；

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其它条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。2、半角模型阐明：旋转半角的特性是相邻等线段所成角含一种二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求的度数。例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①∠MAN=45°；②△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM。例3、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线