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勒让德多项式

I勒让德方程的来源勒让德方程的幂级数解勒让德多项式

球形区域内狄利克雷边值问题球坐标系下问题化为分离变量法化简方程,令

分离变量

比值为一常数,取为n(n+1)

两个微分方程与半径无关,称为球面函数(球函数)再次用分离变量法,令

分离变量

函数单值性

代入(6.5)(6.6)方程(6.5)通解将代入(6.6)得连带勒让德方程引入变量

代入

令m=0,勒让德方程

由于设勒让德方程解可表示为幂级数形式(6.9)k为正偶数k为正奇数勒让德方程幂级数解当

n为正偶数时,y1(x)为多项式,

y2(x)为无穷级数当

n为正奇数时,y2(x)为多项式,

y1(x)为无穷级数为化简勒让德方程多项式解,考虑系数递推关系由于取

当

n为正偶数时当

n为正奇数时第一类勒让德多项式勒让德多项式与幂函数对应关系思考题与练习题1.将代入勒让德多项式,写出前4个勒让德多项式表达式.2.将代入二阶

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