对数与对数运算习题课

对数与对数运算习题课1.如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做

,记作

，其中a叫做

，N叫做

.2.对数的性质:(1)1的对数等于

;(2)底数的对数等于

;(3)零和负数没有

.3.以10为底的对数叫做

,log10N记作

.4.以无理数e=2.71828…为底的对数称为

，logeN记作

.以a为底N的对数x=logaN对数的底数真数01对数常用对数lgN自然对数lnN5.alogaN=

.6.对数换底公式为

.7.如果a>0，且a≠1，M>0;N>0，那么：（1）loga(MN)=

；loga(N1N2…Nk)=

;（2）loga=

;（3）logaMn=

.NlogaM+logaNlogaN1+logaN2+…+logaNklogaM-logaNnlogaMlogbN=一不查表计算对数值计算下列各式的值:(1);(2);(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5;(4)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用.【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2+3lg2·lg5=(lg2+lg5)2=1.（4）解法一：原式=lg（500×85）-lg+50［lg(2×5)］2=lg800-lg8+50=lg+50=lg100+50=2+50=52.解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5-lg82+50=lg100+50=52.【评析】（1）对于有关对数式的化简问题，解题的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”：将同底的和（差）的对数收成积（商）的对数.（2）分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的.二求值问题【分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2,3的常用对数,再代入计算.【解析】解法一:=lg45=lg=(lg9+lg10-lg2)=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2=0.4771+0.5-0.1505=0.8266.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求的值.解法二:=lg45=lg(5×9)=(lg5+2lg3)=(1-lg2+2lg3)=-lg2+lg3=0.8266.【评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用,体会lg2+lg5=1性质的灵活运用.三条件求值已知log189=a,18b=5,求log3645.【分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形.【解析】解法一：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645==解法二：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645=.(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.(1)∵6a=27,∴a=log627=,∴log23=.∴log1618=.(2)a=log310=log32+log35①b=log325log36=②由①②可知log32=,log35=.于是log445=.四对数方程已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x.【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用换底公式可得logaN=loganNn(N>0,n≠0).【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5),∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0,

解得x=-1或x=4.将x=-1，x=4分别代入方程,检验知x=-1不合题意，舍去.∴原方程的根为x=4.【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域，因此，在解对数方程后要验根.(1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为

.(2)方程lgx2-lg(x+3)=lga(a∈(0,+∞))在区间(3,4)内有解，则a的取值范围为

.(1)(2)32<a<167(1)∵log2(x-1)=2-log2(x+1),∴log2(x2-1)=2,∴x2-1=4,∴x=±5.

经检验,x=-5是增根,舍去.∴方程的解为x=5.(2)∵lgx2-lg(x+3)=lga在(3,4)内有解.整理得.∴x2-ax-3a=0在(3,4)内有解，设f(x)=x2-ax-3a.

该函数恒过(0,-3a),

故只需f(4)>0f(3)<0,∴32<a<.【评析】对数的换底公式在对数式的化简、求值、证明中有广泛的应用.当对数式的底数不同时，可利用换底公式化为同底的对数式，再进行有关的运算.【解析】(1)换为常用对数,得log89·log2732==