【中考数学】2024届九年级地理论专题复习-四大最值模型（含解析）

【中考数学】2024届九年级地理论专题复习——四大最值模型模型1“胡不归”模型模型故事从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?模型展现基础模型已知:点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线l上运动问题:如何确定点P,使得kAP+BP(0<k<1)的值最小怎么用?1．找模型直线上一定点A,一动点P，B为直线外一点,求kAP+BP的最小值2.用模型构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可模型分析如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下:一找:找带有系数k的线段kAP;二构:在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形;①以定点A为顶点作∠CAP,使得sin∠PAC=h;②过动点P作垂线构造Rt△PAC;三转化:化折为直,将kAP转化为PC;四求解:使得hAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.拓展延伸熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP+BP中系数k发生变化时,所构造的直角三角形也会发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：，，，，例1如图，在△ABC中，AC=6，∠A=30°，点D是AB边上一动点，（点拨：两定点A、C，动点D，含特殊角30°）则的最小值为_________（点拨：线段数量关系的最小值,考虑“胡不归”）考什么?直角三角形的性质,30°,60°角的锐角三角函数值,垂线段最短.思路点拨哪条线段带有系数,就以它为斜边构造直角三角形,使得其中一锐角的正弦值恰好与系数相等.例2如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB=45°，（点拨：特殊角）AB=6，BC=2，P为CD边上的一动点，则（点拨：线段数量关系出现，且0＜k＜1，模型出现）的最小值为_____________考什么?平行四边形的性质,直角三角形的性质,45°角的锐角三角函数值,垂线段最短。实战实演1、如图,在OABC中,AB=AC=8,tan4=/3,BELAC于点E,点D是线段BE上的一个动点，则的最小值是（）A.4B.C.D.8如图,在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，AD⊥BC于点D，点M是AD上一点，则的最小值为__________3、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0，B(3，0)，与y轴交于点C(0，-3)，D为抛物线的顶点.(1)抛物线的解析式为_____________，顶点D的坐标为________________;(2)点M为y轴上的一个动点,连接AM,求的最小值。

模型2“阿氏圆”模型模型故事阿氏圆(阿波罗尼斯圆)阿波罗尼斯(Apollonius，约公元前262-190年)，古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。如图，已知平面上两定点A、B，则所有满足（k>0且k≠1）的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。模型展现基础模型：已知：点P是半径为r的⊙0上的一动点,点A，B为⊙0外两定点问题：当r，k满足r=k·0A（0<k<1）时,求形如“kAP+BP”线段长度的最值怎么用?1.找模型平面上两点A，B，点P在圆上，求“kAP+BP"的最小值或“AP-kBP"的最大值，即考虑“阿氏圆”模型2.用模型截取线段构造一组相似三角形，利用线段比例关系转化线段，再根据线段最短问题求最值。模型分析：如图，点P是半径为r的⊙0上一动点，点A，B为圆外的定点，且r=k·0A（0<k<1），如何确定点P的位置，使得kAP+BP的值最小。一找：找带有系数的线段AP;二构：在线段OA上取一点C,构造ΔPCO~ΔAPO;①在线段OA上截取OC,使得OC=k·r;②连接PC,OP,证明ΔPCO~ΔAPO;三转化：通过相似三角形的对应边成比例，将kAP转化为PC;四求解：使得kAP+BP=PC+BP,连接BC,利用“两点之间线段最短”转化为求BC的长.【满分技法】阿氏圆模型，初中阶段不要求证明，但需要掌握的是，学会运用构造相似三角形的方法，确定P点的位置，求形如“kAP+BP”线段长度的最值，不仅在选填中考查，而且在几何、面数综合题中也考查，因此提炼模型特点，掌握应对方法很重要.模型拓展思考“胡不归”“阿氏圆”之间的关系：平面上有一动点P,两定点A,B,如何确定点P的位置，求解形如kAP+BP的最值当0<k<1时点P的轨迹为一条直线考虑“胡不归”模型点P的轨迹为圆或为圆的一部分时考虑“阿氏圆”模型【满分技法】若遇到形如k,PB+k,PA的问法，只需将其中一个系数化为1.就化为标准模型了，对于“阿氏圆”例外，“阿氏圆”模型是利用构造“子母”相似三角形来解题，只要符合相似比即可.典例小试例1如图，已知∠AOB=90°,OB=4,OA=6.⊙O的半径为2，（圆外两点）P为圆上一动点.（圆上一点）(1)的最小值为(2)的最小值为.考什么？相似三角形的判定与性质，勾股定理思路点拨该题两问均为AP与BP数量关系的最值，但解题的关键要看系数k所在的线段，再依据模型方法解题.例2如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点，满足CD=2，（点D在以点C为圆心，CD长为半径的圆上）那么的最小值.考什么？定点定长构造隐形图，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，两点之间线段最短.思路点拨有时候题干中不会直接出观圆，而需要根据题目中所给的条件判断并画出隐形国，再解题，因此最重要的还是提炼模型特点！（隐形图问题见模型42-46)实战实演1.如图，在矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P为矩形内部一点，分别连接AP,BP,CP,且PB=3,延长CP交AB于点F,若BF＝1.则的值为.2.如图，已知正方形ABCD的边长为9,⊙B的半径为6,点P是⊙B上的一个动点，那么的最小值为,的最大值为.3.如图，已知抛物线(a≠0)过A,B两点，OA=1,OB=5,抛物线与y轴交于点C,点C的纵坐标与点B的横坐标相同，抛物线的顶点为D.（1)抛物线的解析式为，顶点D的坐标为；（2)如图，已知⊙A的半径为2,点M是圆A上一动点，连接CM,MB,则是否存在最小值？若存在，说明在何处取得最小值；若不存在，请说明理由.

模型3费马点模型模型故事费马点皮耶∙德∙费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”“费马大定理”等.今天的问题不是费马提出来的,而是他解决的,故而叫费马点模型展现模型图模型介绍已知:在△ABC内有一点P,则当点P在何处时，点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和最小结论1:当△ABC的最大内角小于120°时P点满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°;结论2:当△ABC有一-内角不小于120°时点P与最大角顶点重合怎么用?1.找模型.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点(也叫托里拆利点)2.用模型.运用旋转法,以三角形任意一条边向外旋转构造等边三角形,根据两点之间线段最短,得出费马点位置)结论分析结论1:当△ABC的最大内角小于120°时,P点满足∠APB=∠BPC=∠APC=120°证明:如图①,将△CBP绕点C逆时针旋转60°得到△CFE,连接PE,BF,∴△CBP≌△CFE,PB=EF,CP=CE,CB=CF.又∵∠PCE=∠BCF=60°,∴△BCF,△CEP均为等边三角形,∴PC=CE=PE,PA+PB+PC=PA+EF+PE≥AF,∴当A,P,E,F四点共线时,PA+PB+PC的值最小，最小值为AF的长.此时∠APC=180°-∠CPE=180°-60°=120°，∠BPC=∠FEC=180°-∠CEP=180°-60°=120°,∠APB=360°-(∠APC+∠BPC)=120°,∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°.结论2:当△ABC有一个内角不小于120°时,点P与最大角顶点重合证明:在△ABC中，令∠ACB≥120°,在△ABC内取一点P,连接PA,PB,PC,将△BPC绕点C逆时针旋转至△FEC,使得F,C,A三点共线.∴△EFC≌△PBC,.∴∠ECF=∠BCP,∴∠ECP=180°-∠ECF-∠PCA=180°-∠BCP-∠PCA=180°-∠ACB≤60°，在三角形中,由于小角对小边，∴EP≤PC,∴PB+PC+PA≥EF+EP+PA≥FA.∴当P点与C点重合时,PB+PC+PA的值最小，即C点为费马点.满分技法证明过程是把三角形内一点到三个顶点的距离之和转化为一条折线,且折线的最远端两个端点是固定的,因此只有折线成为直线段时距离之和最小.巧学巧记口诀记忆:向外作等边三角形,连线即可.如图,以△ABC的三边为边向外构造等边△BCD，△ACE,△ABF,连接AD,BE,CF,则:①AD,BE,CF交于点P,即为费马点;②PA+PB+PC=AD=BE=CF.典例小试例1如图,在△ABC中，∠ACB=30°（注：含30°特殊角,可考虑绕点C旋转构造等边三角形）,BC=6,AC=5,P为三角形内一点，则PA+PB+PC的最小值为______本题考什么?旋转的性质,等边三角形的判定与性质,直角三角形的判定与性质.思路点拨在证明费马点结论时,绕任意顶点旋转均可求证,但在解题时,要结合具体题干特点,选择“有用”的顶点旋转构造.例2.如图，△ABC为等边三角形,P是△ABC内一点,PA=3,PB=4,PC=5(注：常见直角三角形的三边长3.4,5,考虑将其通过旋转转化在一个三角形中),则∠APB的度数为___________.本题考什么?旋转与等边三角形的性质,勾股定理逆定理思路点拨通过旋转,将所求角度转化为其他角度,把PA,PB,PC放在一个三角形中,根据三角形的特殊性解题.(当题中存在常见的直角三角形三边关系或其倍数关系时,考虑旋转、平移或构造等线段转化)实战实演1.如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=9,BC=9,P为△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为___________.2.在锐角△ABC中,AC=7,∠ACB=75°,P为△ABC内任意一点,当PA+PB+PC的最小值为17时,BC的长为____________.3.如图,有一个正方形的花圃ABCD,园林设计的工人要在花圃内部找一出水口P,并向AD边和B、C两点装水管,使得点P到AD的距离和点P到B、C两点的距离之和最小，已知花圃的边长米,水管的单价为元/米,求购买水管最少需要多少钱?(结果保留整数,)4．如图,为等边三角形,为内部一点,(1)求与的度数;(2)求的面积.

模型4主从联动模型模型故事主从联动“主从联动模型”也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”圆得圆,“种”线得线(而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是)．解决这一类问题通常用到旋转和相似.模型展现基础模型模型一直线轨迹已知定点,动点和，为定值,点在直线上运动已知：当时结论1：点轨迹是一条直线已知：当时，且为定值时结论2：点轨迹是一条直线，且有怎么用?1.找模型“双动点、一个随着另一个动”,即考虑“主从联动模型”2.用模型找主动点的运动轨迹并确定主动点的起始点,根据主动点的起始点确定从动点的起始点及运动轨迹,再根据动点所在的规则图形进行计算模型二圆轨迹已知定点,动点和，，为定值,点在上运动已知：当时，且时结论3：点轨迹是一个圆，且，，始终在一条直线上已知：当时，且时结论4：点轨迹是一个圆，且半径为的一半满分技法当主动点、从动点到定点的距离相等时,从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长;当主动点、从动点到定点的距离不相等时，.巧学巧记当时,主动点路径和从动点路径的大小相等、形状相同,即两个全等的图形.模型分析以圆轨迹的主从联动为例,求从动点的方法如下:第一步:确定主动点,从动点;第二步:确定主动点的轨迹();第三步:确定的大小及的值;第四步:确定点的位置及的长:令，，求出和；第五步:确定从动点的轨迹()的圆心和半径.满分技法主从联动问题变换前后的图形形状不变,但大小可能发生变化,其解题方法就是构造旋转、位似图形,本质就是对图形中的每个点进行旋转变化和位似变化.典例小试例1.(2021宜宾)如图,O0的直径AB=4,P为O0上的动点,（点P为主动点）连接AP,Q为AP的中点(点Q为从动点),若点P在圆上运动一周（主动点P的轨迹为圆）,则点Q经