2023-2024学年四川省广安市高一上学期期末考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省广安市高一上学期期末考试数学质量检测模拟试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.设集合，，则的子集个数为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】化简集合，求出，写出其所有子集，可得答案.【详解】由得，所以，所以，其子集有，，，，共4个.故选：B2.已知为第二象限角，且,则的值为A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先求，再求的值.【详解】是第二象限角，，.故选：A本题考查同角三角函数关系式，重点考查基本公式和基本计算，属于简单题型.3.已知正实数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】依题意构造，再利用基本不等式计算可得；【详解】由，又，，所以，当且仅当，，即、时等号成立，所以的最小值为．故选：．4.已知，，，则的大小关系为A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】；；．故．故选A．利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．5.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】解不等式求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由”可知，当时，显然成立，当时，由一元二次函数的图像和性质可知且，解得，综上当时，，所以“”是“”的充要条件，故选：C6.设函数（其中a，b，α，β为非零实数），若，则的值是（）A.5 B.3 C.1 D.不能确定【正确答案】A【分析】代入自变量的值，利用诱导公式求解．【详解】由题意，即，，．故选：A．7.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】判断函数的单调性与奇偶性，将不等式变形为，利用函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，且，任取、且，则，，则，所以，，即，所以，函数为上的增函数，由可得，所以，，即.故选：A.方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.8.已知函数，则函数的零点所在区间为（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】当时，无解，此时，无零点；当时，根据为增函数，且可得函数的零点为的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当时，，无解，此时，无零点；当时，为增函数，且.令，得，即，令，则函数的零点就是的零点，因为，，所以函数的零点所在区间为.故选：B.本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据解析式判断函数的单调性，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，漏选的得2分，错选的得0分）9.下列结论正确的是（）A.是第三象限角B.若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为C.若角的终边上有一点，则D.若角为锐角，则角为钝角【正确答案】BC【分析】A中，由象限角的定义即可判断；B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；C中，根据三角函数的定义即可判断；D中，取即可判断.【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；选项C中，，，故C正确；选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．故选：BC．10.若，，则（）A. B.C. D.【正确答案】AD【分析】对于A选项：由已知得，根据指数函数的单调性可判断；对于B选项：由已知得，，根据指数函数的单调性可判断；对于C选项：由对数函数的单调性和对数运算可判断；对于D选项：运用作差比较法，可判断．【详解】对于A选项：因为，所以，又，所以，故A正确；对于B选项：因为，所以，又，所以，所以，又，所以，故B不正确；对于C选项：因为，，所以，又，所以，故C不正确；对于D选项：，因为，，所以，所以，所以，故D正确，故选：AD．11.（多选题）函数是定义在上的奇函数，当时，，以下命题错误的是（）．A.当时， B.函数与轴有4个交点C.的解集为 D.的单调减区间是【正确答案】ABD【分析】对选项A，利用奇函数的性质即可判断A错误，对选项B，分类讨论和即可判断B错误，对选项C，首先分类讨论解不等式，再利用函数平移即可判断C正确，对选项D，求出函数的单调减区间即可判断D错误.【详解】对选项A，当时，，，所以.故A错误.对选项B，当时，令，得，解得或.又因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，也有两个零点.又因为，所以函数共有个零点，故B错误.对选项C，当时，，即，解得.当时，，即，解得或.又因为向右平移一个单位得到，所以的解集为，故C正确.对选项D，当时，，对称轴为，，为减函数.当时，，对称轴为，，为减函数.故的减区间为，，故D错误.故选：ABD关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性和零点，同时考查了函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题.12.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】作出函数的图象，可知，即可得到，的关系，由，是方程的两根，利用根与系数关系可得，的关系，由此即可判断出正确选项.【详解】解：作出函数的图象，方程有四个不同的实根，即函数与有四个不同的交点，如图所示：依题意，且，所以，即，所以，即，所以，所以，故选项A错误，选项B正确；又，是方程的两根，即，是方程的两根，所以，，因为方程有四个不同的实根，所以由图可知，所以，故选项C，选项D均正确．故选：BCD.本题主要考查分段函数的图象与性质，同时考查含有绝对值的对数型函数的图象变换及函数与方程思想，对于方程根的个数问题常用数形结合的思想解决．三、填空题（每小题5分，共20分）13.函数的单调递增区间为___________.【正确答案】【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性规律可求出结果.【详解】由得或，即函数的定义域为，因为，且在上为增函数，所以函数的单调递增区间为.故易错点点睛：容易忽视函数的定义域导致错误.14.已知，函数若，则___________.【正确答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.详解】，故，故2.15.已知函数函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是__________．【正确答案】【分析】由解得结果即可得解.【详解】因为函数是上单调函数，所以，解得.故答案为.解决分段函数的单调性时，需考虑函数在每一段区间上的单调性，还需考虑函数在各区间的端点处的函数值的大小关系.16.若关于的不等式的解集为，则实数__________【正确答案】【分析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.【详解】关于的不等式的解集为，则方程的两根为，则，则由，得，即，故.故答案为.四、解答题（共6小题，共70分）17.求值：（1）；（2）.【正确答案】（1）2；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求出结果；（2）根据对数的运算性质可求出结果.【详解】（1）原式；（2）原式=18.（1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求原式为关于的式子，再把已知代入即得；（2）先求平方，利用已知再求【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为，所以，因为，所以，，．本题主要考查同角的商数关系，考查三角化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数奇函数，且（1）求实数和的值；（2）利用“函数单调性的定义”判断在区间上的单调性，并求在该区间上的最值．【正确答案】（1）；；（2）单调递增；，.【分析】（1）根据函数的奇偶性的关系建立方程即可求实数和的值；（2）利用定义证明函数的单调性，即取值，作差，变形，定号，下结论，再利用单调性即可求最值.【详解】（1）∵是奇函数，∴，∴.所以，解得：，又，∴，解得.∴实数和的值分别是和.（2）由（1）知.任取，且，则，∵，∴，，，∴，即，∴函数在区间上单调递增，∴，.方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.20.倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化．某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数．（1）试求和改良后的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过．试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？(参考数据：取)【正确答案】（1），（2）次【分析】（1）将，代入函数模型即可求得，进而整理得到；（2）由得，左右同时取对数后，结合换底公式、对数运算法则解不等式即可求得的最小值，由此可得结论.【小问1详解】由题意得：，，当时，，即，解得：，，则改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为．【小问2详解】由题意可得：，整理得：，，即，又，，即至少进行次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．21.已知函数f（x）＝|1|，实数a、b满足a＜b.（1）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若函数在区间[a、b]上的值域为[，3]，求a+b的值；（3）若函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]（m＞0），求实数m的取值范围.【正确答案】（1）图象见解析（2）1（3）【分析】（1）先作出函数的图象，再利用图象的翻折变换，即可作出函数的图象；（2）结合（1）中函数的图象，确定函数值为的自变量的值，即可得到区间，；（3）利用定义域和值域的，从而确定函数的单调性，从而得到，由此构造在区间，上有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可．【小问1详解】解：因为函数，先作出函数的图象，然后再利用图象变换作出函数的图象如图所示，；【小问2详解】解：由，解得，由，解得，由上图可知，只在第一象限内，所以，所以；【小问3详解】解：因为定义域为，，且，值域为，，所以，在的增区间内，所以在，上单调递增，故，即，所以，是方程的两个根，即，所以在区间，上有两个不相等的实数根，设，则有，解得，故实数的取值范围为．22.设函数的定义域为D，若存在∈D，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数（1）若，求的不动点；（2）若函数在区间[0，1]上存在不动点，求实数的取值范围；（3）设函数，若，都有成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）0和1；（2）；（3）.【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求解.（2）在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解.（3）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，