振动与波动课件

第四章振动与波动vibrationandwave物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：(mechanicalvibration)振动：波动：振动状态在空间的传播。简谐运动:任何物理量在某个数值附近作周期性的变化。振动规律为时间最简周期函数的振动。任何复杂振动都可看作是由若干简谐振动合成。xo§4-1简谐运动4-1-1简谐运动的基本特征弹簧振子：

一根轻弹簧和一个刚体构成的一个振动系统。Fx回复力遵守胡克定律：k为劲度系数(stiffness)(springoscillation)(restoringforce)（1）在弹性限度内，回复力和位移成正比。（2）回复力与位移反向，始终指向平衡位置。由牛顿第一定律：得:令该方程的解即简谐运动方程简谐运动的三项基本特征：简谐运动：遵守余弦（或正弦）规律的物体运动。(simpleharmonicmotion)简谐运动的速度：简谐运动的加速度：OωAT4-1-2描述简谐运动的物理量

周期T：完成一次全振动所经历的时间振幅A

：最大位移值，x=±A角频率

：频率

：单位时间内完成全振动的次数(amplitude)(angularfrequency)(frequency)(period)又称圆频率(circularfrequency)相位：(

t+

)弹簧振子的频率:弹簧振子的周期:弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（k和m）有关，而与其它因素无关。由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。(naturalfrequency)(naturalperiod)(phase)(initialphase)初相位：

，取值一般在

之间速度相位比位移相位超前

/2

称为加速度幅称为速度幅加速度与位移反相位结论：作简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反。

即根据初始位移和初始速度，可确定振幅和初相位：设t=0时，x=x0，v=v0

两个简谐运动状态的比较主要决定于两者的相位差。相位差(phasedifference)同相(in

phase)反相(ofoppositephase)，2的相位超前于1，或1的相位滞后于2，2的相位滞后于1，或1的相位超前于2此为两振动同频情况4-1-3简谐运动的旋转矢量表示法旋转矢量A在x轴上的投影点M的运动规律：可见旋转矢量投影点M的运动为简谐运动。xPMyOt=0xM

旋转矢量A旋转一周的时间，即M点完成一次全振动的周期

旋转矢量的模A即振幅

旋转矢量A的角速度

即角频率

t=0时，A与x

轴的夹角即初相位

旋转矢量A与x

轴的夹角(

t+

)即相位yxPO例1

一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时,位移为6cm，且向x轴正方向运动。求(1)振动方程;(2)t=0.5s时，质点的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：(1)设简谐振动表达式为已知：A=12cm,T=2s，初始条件：t=0时，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振动方程：yx所以(2)质点在t=0.5s时的位置、速度和加速度(3)设在t1时刻

，x=-0.06m，应有设在t2时刻

，x=0，应有yxt1t2例2

两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，且向左运动时，另一个质点2在x2=-A/2处，且向右运动。求这两个质点的相位差。解：A-AoA/2-A/2A-AoA/2-A/2例3

质量为m的比重计，放在密度为

的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计被推动后，将在竖直方向做简谐振动，并计算其振动周期。解：取平衡位置为坐标原点平衡时浮力

其中V为比重计的排水体积0mgF0xx不平衡时例4

一轻弹簧一端固定，另一端连一定质量的物体。整个振动系统位于水平面内。今将物体沿平面向右拉长到x0=0.04m处释放，试求：1、简谐振动方程；

2.物体从初始位置运动到第一次经过A/2处时的速度。解：4-1-4简谐运动的能量弹簧振子动能：弹簧振子势能：其中弹簧振子的总机械能：总机械能（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：弹性势能例5

当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：§4-2简谐运动的合成和分解4-2-1简谐运动的合成1.

两个同方向、同频率的简谐运动的合成某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：两个振动方向相同，振动频率相同的简谐运动的合成运动仍为简谐运动。结论：x

即同相即反相例6图示为两个同方向、同频率的简谐振动曲线

(1)求合振动的振幅；

(2)求合振动的振动方程。解：反相叠加所以xTt角频率为xyO因为，t=0时，x1=x2=0，所以2.

两个同方向不同频率简谐运动的合成相对于的转动角速度：两矢量同向重合时：合振动振幅极大合振动振幅极小两矢量反向重合时：拍：频率相差不大时合振幅时大时小的现象(beat)拍的周期：拍的频率：拍的解析分析：调幅(amplitude-modulated)拍的图像：3.

相互垂直的简谐运动的合成考虑两个同频率相互垂直简谐运动的合成yx结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成振动轨迹为椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于两个相互垂直振动的振幅和相位差。当yxyx当xy当李萨如图形(Lissajoufigure)：

如果两个相互垂直简谐振动的频率不相同，则合成振动的轨迹取决于两个振动的振幅、频率及相位差，所形成的闭合曲线称为李萨如图形。4-2-2简谐运动的分解两个频率比为1:2的简谐运动的合成

将一系列角频率是某个基本角频率ω（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，其合振动仍然是以ω为角频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。频率为ω的非简谐周期性函数f(t)，在一定条件下可以用傅里叶余弦级数表示：确定一个复杂振动包含的谐频成分的过程称为频谱分析。根据基频和谐频的频率值和振幅做出的图称为频谱。(spectrumanalyzing)(frequency

spectrum)：基频

(fundamentalfrequency)：n次谐频(n-orderharmonicfrequency)小提琴和钢琴振动谱及频谱的对比(基频同为440Hz)§4-3阻尼振动、受迫振动和共振(dampedvibration、forcedvibration、resonance)简谐振动:阻尼振动:受迫振动:

称为阻力系数(coefficientofresistance)F0为周期性驱动力的力幅三种振动形式的规律对比：简谐振动阻尼振动受迫振动a：小阻尼b：过阻尼c：临界阻尼共振频率特别是当阻尼力为零时，共振振幅趋向于无穷大。共振振幅共振现象(resonance)：当阻尼力趋向于零时，共振频率趋向于系统固有频率。Ar零阻尼阻尼较小阻尼较大共振振幅与频率的关系1940年，美国的TacomaNarrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，因振动频率接近大桥的共振频率而突然坍塌。例7

一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为120mm，经过2.4分钟后，振幅减为60mm。问：(1)如振幅减至30mm时需要经历多长时间；(2)阻尼系数为多少？解：阻尼振动方程取两不同的时刻

t1和

t2§4-4非线性振动混沌4-4-1非线性振动设一个质点和一个理想弹簧构成一个振动系统弹性力：阻力：策动力：系统的运动方程：令是一个关于的一次幂函数

二阶线性微分方程：二阶非线性微分方程：是一个关于的二次或高次幂函数

Ol

mgT单摆

θ很小，（<5°）得线性方程：简谐运动若θ不是很小，则至少要保留至第二项。得非线性方程：相图法：即运用一种几何的方法来讨论非线性问题。将质点的位置（或角位置）作为横坐标轴；将质点的速度（或角速度）作为纵坐标轴。相平面：相：某种运动状态相点：在相平面内表征运动状态的一个点。相迹（相图）：相点的运动轨迹（反映运动状态的变化）。单摆作小角度摆动：一次积分后单摆作小角度摆动时，其相迹为一正椭圆。封闭的相迹表示运动是周期性的往复运动。小角度阻尼摆动：一条向内旋进的螺旋线，曲线最终趋向中心点。吸引子：对应着系