全国卷理科数学高三一轮复习资料、强化训练、复习补习资料-11总复习：指数与指数函数

实用文档PAGE指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；【知识网络】指数与指数函数图象与性质指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与性质指数的概念【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质(1)整数指数幂的概念(2)运算法则①；②；③；④.考点二、根式的概念和运算法则(1)n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.要点诠释：n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.(2)根式的意义与运算法则考点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：考点四、有理数指数幂的运算性质(1)(2)(3)当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.考点五、指数函数(1)定义：函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.(2)图象及性质：y=ax0<a<1时图象a>1时图象图象性质义域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点③ax=a，即x=1时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤x<0时，ax>1x>0时，0<ax<1⑤x<0时，0<ax<1x>0时，ax>1⑥既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值例1.已知，且，求的值。【解析】【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；举一反三：【变式】计算下列各式：(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式；(2)原式=；(3)原式.类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR，2x≠-1).∵，又∵2x>0，1+2x>1，∴，∴，∴，∴值域为(0，1).(2)定义域为R，，∵2x>0，∴即x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴值域为[).(3)定义域为R，∵|x|≥0，∴-|x|≤0，∴，∴值域为(0，1].(4)∵∴定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域为[1，a)∪(a，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.举一反三：【变式】求下列函数的定义域：(1)(2)(3)【解析】(1)需满足3-x≥0，即(3)为使得函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0(4)a>1时，；0<a<1时，.类型三、指数函数的单调性例3．（2017山东）判断下列各数的大小关系：(1)(2)22.5，(2.5)0，(3)1.080.3与0.983.1(4)【解析】(1)(2)(3)1.080.3>1>0.983.1(4)a>1时，0<a<1时，【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).举一反三：【变式1】（2017西安模拟）已知，，，则的大小关系为（）【答案】D【解析】解：因为函数是R上的增函数,且所以即构造函数则，所以函数在上单调递减.即又综上.【变式2】求函数的值域及单调区间.【解析】设u=-x2+3x-2，y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，u=-x2+3x-2在上单减，则在上单增，在上单减.又u=-x2+3x-2，的值域为.例4.化简：【解析】类型四、判断函数的奇偶性例5．判断下列函数的奇偶性：(为奇函数)【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则∴g(x)为奇函数，又∵为奇函数，∴f(x)为偶函数.举一反三：【变式】判断函数的奇偶性：.【解析】定义域{x|xR且x≠0}，又，∴f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题例6.（2017贵阳二模）函数与的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）【答案】D【解析】由图像可知，a>1,b<0;所以故选D.【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．【巩固练习】一、选择题：1.若，且，则的值等于（）A.B.C.D.22.函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.3.(2018新课标全国Ⅲ)已知，，，则（A）（B）（C）（D）4.（2017天津）已知定义在R上的函数（为实数）为偶函数，记，则a，b，c的大小关系为（）5.(2017泉州模拟)函数（其中）的图像如图所示，则函数的大致图像是（）6.已知，则函数的图像必定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.是偶函数，且不恒等于零，则()A.是奇函数B.可能是奇函数，也可能是偶函数C.是偶函数D.不是奇函数，也不是偶函数8.(2017河南二模)已知，记，，则的大小关系是（）二、填空题：9.设函数若，则的取值范围是_________.10.函数的值域是_______________.11.函数的单调递减区间是_______________.12.(2017福建高考)若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于.三、解答题：13.已知，求的最小值与最大值.14.设，，试确定的值，使为奇函数.15.已知函数，求其单调区间及值域.16.若函数的值域为，试确定的取值范围.17.已知函数，(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明是上的增函数.【参考答案与解析】一、选择题题号12345678答案CDABAAAC3.A【解析】因为，，所以.故答案选A．4.B【解析】由函数为偶函数，得m=0.所以，当x>0时，f（x）为增函数，，故选B.5.A【解析】由的图像可知，，则函数为减函数，且，故答案为A.8.C【解析】考查选项，不妨令，则，显然，排除选项.若则整理得观察可得，与矛盾，排除D.故选C.12.【答案】1【解析】，关于对称，函数，为对称轴，在上单调递增,在上单调递增,的最小值为1.二、填空题9.，当时，由可知，；当时，由可知，，∴或.10.，令，∵，又∵为减函数，∴.11.，令，∵为增函数，∴的单调递减区间为.12.0，三、解答题：13.，∵，∴