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Page1处理内切球问题的基本方法一．重要理论1.等体积法：即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第1步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第2步：设内切球的半径为，建立等式：第3步：解出2.轴截面法：做出轴截面利用相似三角形求解.二．典例分析例1.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.解析：如图，设方锥底面的中心为，则中，，所以，在中，，所以方锥的体积为，设方锥内切球的半径为，而方锥的表面积为，由等体积法可得，解得，体积为.故填：.例2.已知正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴，∴，所以，，由等体积法，，∴，解得：，∴该球的表面积为，该球的体积为．故答案为：；.例3.（2020全国3卷）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．解析：方法1（等体积法）易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：，解得：，其体积：.故答案
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