重庆市2024届高三上学期9月月度质量检测数学试题(（解析版）)

高级中学名校试卷PAGEPAGE1重庆市2024届高三上学期9月月度质量检测数学试题一、选择题1.已知复数满足，其中为的共轭复数，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，由得：，化简得：，，解得：，．故选：D．2.已知集合，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，，所以，A选项正确；，B选项错误；，所以C、D选项错误．故选：A．3.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为2，方差为3.1 B.中位数为3，方差为1.6C.中位数为3，众数为2 D.平均数为3，中位数为2〖答案〗A〖解析〗对于A，若平均数为2，出现点数6，可得方差，故平均数为2，方差为3.1，一定没有出现点数6，故A正确.对于B，当投掷骰子出现的结果为3，3，3，5，6时，满足中位数为3，方差为：，此时出现点数为6，故B错误；对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误；对于D，当投掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故D错误.故选：A4.函数，的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗当时，由.若，可得、；若，可得、.综上所述，函数在上的零点个数为4.故选：C.5.已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（）A.2 B.3 C.4 D.7〖答案〗D〖解析〗由题意可知：圆C：的圆心，半径，则，设P、C到直线AB的距离分别为，因为，解得，分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，则，当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选：D.6.若函数在区间上有零点，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，函数，设为函数在上的零点，则，即，即点在直线上，又表示点到原点的距离的平方，则，即，令，则，因为，所以，在单调递增.所以最小值为.故选：A.7.若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗关于的方程在内有两个不同的解，即（，取为锐角）在内有两个不同的解，即方程在内有两个不同的解．不妨令，由，则，所以，所以．则，即，所以．故选：D．8.已知数列满足：，对于任意实数，集合的元素个数是（）A.个 B.非零有限个C.无穷多个 D.不确定，与的取值有关〖答案〗C〖解析〗当时，根据题意，则，则集合的元素有无数个；当时，则，根据题意，则，则集合的元素有无数个；当且时，，若，则；若，则；若，则；若，则.而，则时，数列递减且无下限（※）；时，数列递增且无上限（*）.（1）若，则，根据（※）可知，在求解的迭代过程中，终有一项会首次小于，不妨设为；（2）若，则；①若，则，接下来进入（2）或（3）；②若，接下来进入（3）；（3）若，则，接下来进入（1）或（4）；（4）若，则，接下来进入（2）或（3）.若，则进入（4）.若，则进入②.若，则进入①.如此会无限循环下去，会出现无限个负数项.综上：集合元素个数为无数个.故选：C.二、多项选择题9.在四面体ABCD中，，，E，F，G分别是棱BC，AC，AD上的动点，且满足AB，CD均与面EFG平行，则（）A.直线AB与平面ACD所成的角的余弦值为B.四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值1C.的面积的最大值为D.四面体ABCD的内切球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，取AB的中点Q，CD的中点M，连接，由于，故，而平面，故平面，又平面，故平面平面，则即为直线AB与平面ACD所成角，又，而,故，则，故，A正确；对于B，设平面与棱BD的交点为P，因为平面，且平面，平面平面，故，且由题意知，否则重合，不合题意，故四边形为梯形，同理四边形为梯形，所以，由于，故，又因为，同理可证，则；同理证明，则四边形为平行四边形，故四边形的周长为2，即四面体ABCD被平面EFG所截得的截面周长为定值2，B错误；对于C，因为平面，平面，故；而，同理可证，故，结合，故，当且仅当时等号成立，即的面积的最大值为，C正确；对于D，由以上分析知，故，而平面，，故，而，设四面体ABCD的内切球的半径为r，则，即，故四面体ABCD的内切球的表面积为，D正确，故选：ACD.10.已知圆M：，圆N：，则下列选项正确的是（）A.直线MN的方程为B.若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则的最大值为5C.圆M和圆N的一条公切线长为D.经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为〖答案〗AD〖解析〗由题意可知：圆M：的圆心，半径，圆N：，的圆心，半径，对于选项A：直线MN的方程为，即，故A正确；对于选项B：因，所以的最大值为，故B错误；对于选项C：因为，可知圆M与圆N外切，如图，直线为两圆的公切线，为切点坐标，过A作，交NB于，则为平行四边形，可得，所以公切线长为，故C错误；对于选项D：当为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小，此时圆的面积为，故D正确；故选：AD.11.已知函数，则下列选项正确的是（）A.函数的值域为B.函数的单调减区间为，C.若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是D.若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是〖答案〗BD〖解析〗由题意，当时，，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，所以，当时，可得，可得在上单调递减，且，作出函数的图象，如图所示，由此可得函数的值域为，单调递减区间为，所以A错误，B正确；由方程，解得或，要使得方程有3个不相等的实数根，因，有两个实数根，则只有一个实数根，即和的图象有一个公共点，结合图象，可得或，所以C错误；由方程，即，可得或，由，可得，可得或，要使得方程有6个不相等的实数根，则有4个实数根，即与的图象有4个交点，作出函数的图象，如图所示，结合图象，可得，所以D正确.故选：BD.12.历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（）A. B.为等比数列C. D.信封均被投错的概率大于〖答案〗ABC〖解析〗选项A，令4封信分别为，当在第2个信箱时，共3种错排方式：第1种信箱1234信第2种信箱1234信第3种信箱1234信同理可得在第3和4个信箱时，也分别有3种错排方式，所以共种方法，故A选项正确；选项B，，∴，又，则，故B选项正确；选项C，，两边同除以得，∴，，故C选项正确；选项D，装错信封的概率为，∵，则，即当n为奇数时，；当n为偶数时，；综上，当n为奇数时；当n为偶数时，故D项错误.故选：ABC.三、填空题13.若，，则在上的投影向量的坐标为______.〖答案〗〖解析〗，，，且，则与方向相同的单位向量为，设与的夹角为，则在上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为___________.〖答案〗〖解析〗设，则正四棱柱的体对角线长为，所以正四棱柱外接球的半径为，因为球的表面积为，所以，化简得，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当，即时取等号，所以该四棱柱的侧面积为，当且仅当，即时取等号，所以该四棱柱的侧面积的最大值为，故〖答案〗为：15.已知函数，则使不等式成立的的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗函数定义域为R，显然有，即函数是偶函数，当时，，令，，，，因，则，即，，有，在上单调递增，又在上单调递增，因此，在上单调递增，于是得，解得或，所以不等式成立的x的取值范围是.故〖答案〗为：.16.2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为______.（参考数据：）〖答案〗74〖解析〗根据题意可得，该指数衰减的学习模型为，当时，代入得，，解得，由学习率衰减到以下（不含），可得，即，所以，因为，所以，则取.故〖答案〗为：.四、解答题17.设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.（1）求数列的通项公式以及前项和；（2）数列的前项和为，求证：.（1）解：设的公比为，由题意，可得，解得，所以，所以；（2）证明：由（1）得，所以，所以，因为，所以，得证.18.已知，，其中，为锐角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由题意知所以.（2）由题意知且为锐角，所以，所以，所以，所以，因为为锐角，所以且，所以，则，故.19.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（1）根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）附：回归方程中，，参考数据（）5215177137142781.33.6（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；方案3：不采取防虫害措施.解：（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.（2）将两边同时取自然对数，可得，由题中的数据可得，，，所以，则，所以z关于x的线性回归方程为，故y关于x的回归方程为；（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，如果发生，则收益为万，即，同样，采用第3种方案，有所以，，，.显然，最大，所以选择方案1最佳.20.如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，，，．（1）若三棱锥的外接球的球心恰为中点，求与平面所成角的正弦值；（2）求四棱锥体积的最大值．解：（1）如下图，若为中点，则，即，所以，即，由，，，面，则面，由面，则，又面，则面，面，则，因为，，设，易知，，，，所以，故，，，在中，由等面积法可知到的距离为，由上知面，即面面，又面面，所以到的距离即到面的距离，因为，所以到面的距离为，由，而，，若到面的距离为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.（2）由，面面，构建如上图示的空间直角坐标系，则，令，根据，则，整理得，所以，故点轨迹是在面上以为圆心，为半径的圆上，要使四棱锥体积的最大，即到面的距离最大，综上，到面的最大距离为，又，所以最大体积为.21.已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．（1）解：设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；（2）证明：由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，则，所以直线l的方程为：，联立方程：，得：，设，则，，，由条件可知：，，的周长，即定值为10；综上，曲线C的