广西专版2023-2024学年新教材高中数学第四章数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的应用训练提升新人教版选择性必修第二册

第2课时等差数列前n项和的应用课后·训练提升基础巩固1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也一定是常数的是()A.S7 B.S8 C.S13 D.S15答案:C解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意可知a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,又S13=13(a1+a13)2=132.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,第1天织了5尺布.现在一月(按30天计算)共织390尺布,记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an,则a14+a15+a16+a17的值为()A.55 B.52 C.39 D.26答案:B解析:由题意可得{an}为等差数列,设其公差为d.a1=5,S30=30×5+30×292d=390,解得d=1629,故a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58×3.在数列{an}中,若an=43-3n,则Sn取得最大值时,n等于()A.13 B.14 C.15 D.14或15答案:B解析:当n≥2时,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,当n=1时,a1=40,即{an}是以40为首项,-3为公差的等差数列,故Sn=(a1+an)n2=-32n2+832n=-34.已知数列{an}中,a1=1,Sn=32n2-12n,设bn=1anan+1,则数列{bnA.n3n+1 BC.n-13答案:A解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32n2-12n-32(n-1)2-12(n-1)=3n-2,当n=1时,a1=3×1-2设Tn为数列{bn}的前n项和,则Tn=131-5.已知等差数列{an}中,a1=11,前7项的和S7=35,则前n项和Sn中()A.前6项和最大 B.前7项和最大C.前6项和最小 D.前7项和最小答案:A解析:由题意知S7=(a1+a7)×72=35,则a7=-1,因为a1=11,所以公差d=a7-a17-1=-2,即an=-6.(多选题)设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0,且S6=S9,则()A.d>0 B.a8=0C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6答案:BC解析:因为Sn=na1+n(n-1)2d,所以Sn=d2n2+a1-d2n,则Sn是关于n(n∈N*)的一个二次函数,又a1>0,且S6=S9,则二次函数图象的对称轴为直线n=因为n为整数,所以当n∈N*,且n≤7时,Sn单调递增,当n∈N*,且n≥8时,Sn单调递减,所以S5<S6,故D错误;当n=7或n=8时,Sn最大,故C正确;由S7=S8,得a8=0,故B正确.7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,则当Sn取得最大值时,n的值为.

答案:4或5解析:设等差数列{an}的公差为d,由a4=则a5=a1+4d=0,即S4=S5同时最大.故n=4或n=5.8.在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是.答案:S5解析:在等差数列{an}中,由于a3+a8>0,S9<0,则a5+a6=a3+a8>0,S9=9(a1+a9即a5<0,a6>0,故S1,S2,…,S9中最小的是S5.9.已知等差数列{an}满足a1+a3+a5=24,an=an-2-2(n≥3).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Sn.解:(1)因为a1+a3+a5=24,所以3a3=24,得a3=8.设{an}的公差为d,因为an=an-2-2,即an-an-2=2d=-2,所以d=-1,an=a3+(n-3)d=11-n.(2)由(1)可知an=11-n,则|an|=|11-n|,当n≤11时,Sn=n(a1+an)2当n>11时,Sn=S11+|a12+…+an|=55+(n-11)(a12+综上所述,Sn=n10.设{an}是等差数列,a1=-10,且(a3+8)2=(a2+10)·(a4+6).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由(a3+8)2=(a2+10)(a4+6),得(2d-2)2=d(3d-4),解得d=2,故an=-10+2(n-1)=2n-12.(2)由(1)知an=2n-12,则Sn=-10+2n-122×n=n2-11n=n-1122-1214,故当n=11.已知数列{an}满足a1=1,(n+1)an+1-nan=n+1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn为数列1anan+1的前n项和,求证:23(1)解由于(n+1)an+1-nan=n+1,取n=1,2,3,…,n-1,得2a2-a1=2,3a3-2a2=3,4a4-3a3=4,……nan-(n-1)an-1=n,累加得nan=1+2+…+n=n(故an=n+1(2)证明由(1)得,1anan则Sn=412-13+因为Sn随着n的增大而增大,所以Sn≥S1=23又Sn<2,所以23≤Sn<2能力提升1.已知点(n,an)在函数y=9-2x的图象上,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A.-14 B.-16 C.14 D.16答案:D解析:根据题意,得an=9-2n,令an=9-2n≥0,解得n≤92故当n=4时,Sn取最大值,且最大值为S4=4×(7+12.已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,且点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,则1S1+1S2+…A.n(n+1)C.2nn+1答案:C解析:由于点P(an,an+1)在直线y=x+1上,则an+1-an=1,即{an}为等差数列,其中首项a1=1,公差为1,得an=n,即数列{an}的前n项和Sn=n(则1Sn=2故1S1+1S2+…+1Sn=21-12+3.已知等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,且-1<a11a12<0,则使得Sn>0成立的n的最小值是A.11 B.12 C.21 D.22答案:D解析:由题意,可得等差数列{an}的公差d>0.因为-1<a11a12<0,所以a12>0,a11<0,即a11+a则S22=22(a11+a12)2=11(a11+a12)>0,S故使得Sn>0成立的n的最小值是22.4.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.已知a3=12,S12>0,a7<0,则()A.a6<0B.-247<d<-C.当Sn<0时,n的最小值为13D.数列Snan答案:BC解析:依题意得a3=a1+2d=12,a1=12-2d,S12=a1+a122×12=6(a6而a7<0,所以a6>0,a1>0,d<0,A选项错误;由a解得-247<d<-3,B选项正确因为S13=a1+a132×13=13a7<0,而S12>0,所以当Sn<0时,由上述分析可知,当n≤6,且n∈N*时,an>0,当n≥7,且n∈N*时,an<0;当n≤12,且n∈N*时,Sn>0,当n≥13,且n∈N*时,Sn<0,故当7≤n≤12,且n∈N*时,an<0,Sn>0,Snan<0,|an|单调递增,Sn为正数且单调递减,得数列Snan中的最小项为第5.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,则满足Sn<0的n的最大值为.

答案:19解析:因为a10<0,a11>0,且a11>|a10|,所以a11>-a10,a1+a20=a10+a11>0,所以S20=20(a1又a10+a10<0,所以S19=19(a1+a19故满足Sn<0的n的最大值为19.6.某山村投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后,第一年需支出各项费用11万元,以后每年支出费用增加2万元.从第一年起,每年收入都为36万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出费用-投资额).(1)求f(n)的表达式,计算前多少年的纯利润总和最大,并求出最大值;(2)计算前多少年的年平均纯利润最大,并求出最大值.解:(1)由题意可知,每年的支出费用组成首项为11,公差为2的等差数列,故前n年的总支出费用为11n+n(n-1)2×2=n2+10n,则f(n)=36n-(n2+10n)-64=-n2+26n-64,n∈N*.f(n)=-(n-13)2+105,故当n=13时,f(n)取得最大值105,即前13(2)由(1)知,前n年的年平均纯利润为f(n)n由于n+64n≥2n·64n=16,当且仅当n=64n,即n=则f(n)n≤-16+26=10,即前8年的年平均纯利润最大,7.已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=12x2+12x(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列1anan+2的前n项和为Tn,不等式Tn>13loga(1-a)对任意的正整数n解:(1)由于点(n,Sn)在函数f(x)=12x2+12x的图象上,则Sn=12n