广西专版2023-2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用过关检测A卷新人教版选择性必修第二册

第五章过关检测(A卷)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若函数f(x)=α2-cosx,则f'(α)等于()A.sinα B.cosα C.2α+sinα D.2α-sinα答案:A解析:f'(x)=(α2-cosx)'=sinx,当x=α时,f'(α)=sinα.2.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=()A.1 B.12 C.-12 D.答案:A解析:y'=2ax,于是切线斜率k=2a,由题意知2a=2,解得a=1.3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)答案:D解析:f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,故函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).4.已知函数f(x)=xlnx,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于()A.1 B.-1 C.±1 D.不存在答案:A解析:因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.5.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是()A.2 B.1 C.0 D.由a确定答案:C解析:∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函数f(x)在R内单调递增,无极值.故选C.6.下列图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f'(x)的图象,则f(-1)的值为((1)(2)(3)A.13 B.-13 C.73 D答案:B解析:f'(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是题图(1),题图(2)中,a=0,f'(x)=x2-1,与已知矛盾,故f'(x)的图象为题图(3).∴f'(0)=0,即a2-1=0,解得a=±1,又其图象的对称轴在y轴右边,故a=-1,∴f(x)=13x3-x2+∴f(-1)=-137.已知y=f(x)是定义在R内的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是()A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:C解析:不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0,设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,由题意g'(x)=f'(x)-1>0,∴函数g(x)在R内单调递增,又g(1)=f(1)-1=0,∴f(x)>x⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1).∴x>1.故选C.8.若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在R内为增函数,则a的取值范围是(A.[-1,1] B.-1C.-13,答案:C解析:由题意,得f'(x)=1-23cos2x+acosx≥0在R内恒成立即-43cos2x+acosx+53≥0在R内设t=cosx(-1≤t≤1),则g(t)=-43t2+at+53(-1≤t则g(t)≥0在区间[-1,1]上恒成立,于是有g解得-13≤a≤1故所求a的取值范围为-1二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列函数中,存在极值点的是()A.y=x-1x B.y=3x2+3xC.y=-2x3-x D.y=xlnx答案:BD解析:A中,函数y=x-1x,则y'=1+1x故函数y=x-1x在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,没有极值点,A不符合题意B中,函数y=3x2+3x,则y'=6x+3,当x∈-∞,-12时,y'<0,函数单调递减,当x∈-12,+∞时,y'>0,函数单调递增C中,函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<0,故函数y=-2x3-x在R内为减函数,没有极值点,C不符合题意;D中,函数y=xlnx,则y'=1+lnx,当x∈0,1e时,y'<0,函数单调递减,当x∈1e,+∞时,y'>0,函数单调递增,故当x=1e时10.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则()A.当x=-2时,函数y=f(x)取得极值B.当x=1时,函数y=f(x)取得极值C.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增答案:AD解析:由题图可知,x=-2是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=-2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;x=1不是导函数f'(x)的一个变号零点,故当x=1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率f'(0)>0,选项C错误;当x∈(-2,2)时,f'(x)≥0,且只有当x=1时,f'(x)=0,故此时函数y=f(x)单调递增,选项D正确.故选AD.11.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是()A.y=cosx B.y=lnx C.y=ex D.y=x2答案:AD解析:若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.对于选项A,因为f'(x)=-sinx,存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以选项A对于选项B,因为f'(x)=1x>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以选项B不符合题意对于选项C,因为f'(x)=ex>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以选项C不符合题意;对于选项D,因为f'(x)=2x,存在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1,所以选项D符合题意故选AD.12.已知函数f(x)=x,x≥aA.若f(x)有两个极值点,则a=0或12<a<B.若f(x)有极小值点,则a>1C.若f(x)有极大值点,则a>-1D.使f(x)的图象连续的a有3个取值答案:CD解析:作出函数y=x和y=4x3-3x的图象,如图所示.对于选项A,若f(x)有两个极值点,则a=0或a>12,所以选项A错误;对于选项B,当a=0时,x=0是函数f(x)的极小值点,所以选项B错误;对于选项C,由图易知正确;对于选项D,使f(x)的图象连续的a有3个取值,即-1,0,1,所以选项D正确故选CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=lnx-x的单调递增区间为.

答案:(0,1)解析:f'(x)=1x-1,令f'(x)=1x-1>0,解不等式得x<1,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以0<x<1,即所求单调递增区间为14.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为.

答案:9解析:f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a.由已知f'(x1)=f'(x2)=0,从而x1x2=2a18=1,故a=9.经检验,a=915.已知函数f(x)=x-ln(x+a),若a=2,则f'(0)=;若f(x)的最小值为0,其中a>0,则a的值为.

答案:12解析:f(x)的定义域为(-a,+∞),f'(x)=1-1x当a=2时,f'(x)=1-1x故f'(0)=1-12由f'(x)=0,解得x=1-a>-a.当-a<x<1-a时,f'(x)<0,f(x)在区间(-a,1-a)内单调递减;当x>1-a时,f'(x)>0,f(x)在区间(1-a,+∞)内单调递增.因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.16.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则g(a),f(b)的大小关系为.

答案:g(a)<f(b)解析:因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以当f(a)=0时,a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在区间(0,+∞)内单调递增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,g(b)=0,得b∈(1,2).又f(1)=e-1>0,且f(x)=ex+x-2在R内单调递增,所以f(b)>0,所以g(a)<f(b).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线12x-y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,求出实数a的值已知函数f(x)=x2+2alnx(a≠0).(1)若,求实数a的值;

(2)若函数g(x)=2x+f(x)在区间[1,2]上单调递减,求实数a的取值范围解:(1)若选择①,对f(x)求导,得f'(x)=2x+2a由已知f'(2)=2a,得8+2a2=2a,解得a=若选择②,对f(x)求导,得f'(x)=2x+2a直线12x-y+1=0的斜率为12,由题意得f'(1)=-2,得2+2a=-2,解得a=-若选择③,对f(x)求导,得f'(x)=2x+2ax=2x2+2由题意得f'(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.(2)对g(x)=2x+x2+2alnx求导,得g'(x)=-2x2+2由函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,可得g'(x)≤0在区间(1,2)内恒成立,即-2x2+2x+2ax≤0在区间(1,2)内恒成立,即a≤1x-x2令h(x)=1x-x2,当x∈(1,2)时,h'(x)=-1x2-2x=-由此知h(x)在区间[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=-72,故a≤-7当a=-72时,在区间[1,2]上,只有有限个点使g'(x)=0,满足题意于是实数a的取值范围为-∞,-718.(12分)已知函数f(x)=aln(x+1)+12x2-ax+1(a>0)(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;(2)当a>1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值.解:(1)由已知可得f(0)=1,f'(x)=ax+1+x-a=x(x-a+1)x+1,则f'(0)=0,所以函数y=f((2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令f'(x)=0,即x(x-a+1)x+1=当a>1时,f(x),f'(x)随x变化的变化情况如下表.x(-1,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增可知f(x)的单调递减区间是(0,a-1),单调递增区间是(-1,0)和(a-1,+∞),极大值为f(0)=1,极小值为f(a-1)=alna-12a2+319.(12分)已知函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.解:(1)由a=0,且f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,得m≤xlnx在区间(1,+∞)内恒成立,令g(x)=则g'(x)=lnx故g'(e)=0,当x∈(1,e)时,g'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0.故g(x)在区间(1,e)内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增.故当x=e时,g(x)取得极小值,也为最小值,为g(e)=e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)=x-2lnx-a,函数k(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,相当于函数φ(x)=x-2lnx的图象与直线y=a有两个不同的交点,φ'(x)=1-2x故φ'(2)=0,所以当x∈(1,2)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,当x∈(2,3)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.又φ(1)=1,φ(3)=3-2ln3,φ(2)=2-2ln2,且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,所以当2-2ln2<a≤3-2ln3时,函数k(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点.所以实数a的取值范围为(2-2ln2,3-2ln3].20.(12分)高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分)满足5≤t≤25,t∈N*.经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时高铁为满载状态,载客量为1000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t).(1)求函数P(t)的解析式;(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000(单位:元),当发车时间间隔为多少分钟时,单位时间的净收益Q(解:(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1000-k(20-t)2,其中k≠0,因为P(5)=100,所以k=4.因此P(t)=1000(2)设y(t)=Q(t)t,①当5≤t<20,t∈N*时,Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000=-t3因此y(t)=Q(t)t=-t2-2000t+500,5≤t<20,则y'(t)=-2t+2000t当5<t<10时,y'(t)>0,y(t)单调递增;当10<t<20时,y'(t)<0,y(t)单调递减.所以y(t)max=y(10)=200.②当20≤t≤25,t∈N*时,Q(t)=-40t2+900t-2000.因此y(t)=Q(t)t=900-40t+50t,20≤t≤25,t∈则y'(t)=-40(t2-50)t2所以y(t)max=y(20)=0.综上,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益Q(t21.(12分)已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为(1)求a,b的值;(2)求证:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx(1)解:f'(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx故f(1(2)证明:由(1)知,f(x)=lnx所以f(x)-lnxx-1=1设函数h(x)=2lnx-x2-1则h'(x)=2x-2所以当x≠1时,h'(x)<0,而h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,11-所以f(x)>lnx当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,11-所以f(x)>lnx故当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①若a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.