分形理论、混沌理论与金融市场

分形理论、混沌理论与金融市场

经济物理是一门新兴的交叉学科。它指的是使用物理概念和方法研究经济问题的学科，这些概念和方法涵盖了从数学、经济到金融数学、概率反映等知识。已有越来越多的物理学家运用在统计力学与理论物理中发展起来的工具与方法对金融市场这一复杂系统进行建模,以期获得关于系统本质更深刻的理解。事实上,自20世纪40年代以来,物理学中的系统科学、混沌理论、分形理论等新学科不断涌现,对金融市场本质的认识和金融市场复杂性、非线性的研究产生了深远影响。如金融资产价格变化的分布形状、长短期记忆特征、高阶矩统计特征、描述股价的随机动力学特征、分析金融市场的价格动力学与湍流等物理过程的联系和区别等。本文从传统金融理论的基础——有效市场假说展开,列举了理论上对经典有效市场假说存在的质疑以及在现实中难以解释的现象,而近代物理学的发展为金融市场动力学提供了一种新的分析方法,指出非线性物理及其方法对于金融复杂性研究的重大影响与意义。一、有效市场理论的提出和对市场有效市场假说是现代证券市场理论体系的支柱之一,也是现代金融经济学的理论基石之一。现代金融理论如资本资产定价模型有关有效市场的研究可追溯到1900年法国数学家巴契里耶的开创性工作。他在博士论文《投机理论》中提到:在一个投机性市场中,资产价格是一个随机游走过程。但是这篇论文并没有受到大家的重视,直到50年后,才被经济学大师萨缪尔森发现,并给予了极高的评价。1953年英国统计学家肯德尔对股价的可预测性进行研究时发现股价具有随机游走的特点,即股价的变动没有任何规律可循。1959年奥斯本指出股票价格的变化呈布朗运动,他认为资本市场的价格是随机游走过程,市场价格的变化只不过是根据信息做出的反应,与人的意志无关,从而建立了投资者是整体理性的这一假设。这也成为有效市场假说的最重要的假设条件。1970年法玛(Fama)在前人工作的基础上正式提出有效市场假说这一理论,如果一个市场在确定证券价格的时候充分的、正确的反映了相关信息,那么该市场就是有效的,此即有效市场假说。根据信息集范围的不同,又可分为弱有效、半强有效和强有效市场。有效市场理论提出后,大部分学者认为在有效市场的前提下,股票的价格是不可预测的,呈现的是物理学中的布朗运动及随即游走过程:pt+1=pt+εt+1,其中{εt}是一个白噪声序列。这也就意味着,影响股价未来变化的只是下一时刻的信息εt+1,而与历史价格无关。因此人们无法根据历史价格来预测股价。然而随着对有效市场理论检验的不断深入,越来越多实证结果与有效市场理论相悖,而有效市场假说的假设基础与金融市场的真实性不符,难以解释市场的复杂特性。具体表现在:(1)金融市场价格波动表现出的非线性特征,是有效市场理论线性范式无法反映的。(2)收益分布实际的尖峰厚尾特征向随机游走模型中的正态分布假设提出质疑。(3)“超额收益的存在”、“小公司效应”、“一月效应”等发现,甚至金融危机等现象均是有效市场假说无法解释的。以上研究表明,有效市场假说这一理论体系过于理想化,它的假设基础恰恰是其局限性所在。在有效市场理论中用来描述价格动态的随机过程随着大量实证研究已慢慢动摇。上世纪70年代兴起的分形、混沌理论突破传统的线性思维定势,将金融市场的波动看成一个复杂的、交互作用的非线性动力学系统,解释了有效市场假说无法解释的现象,为金融市场中的定价问题掀开新的篇章。二、多重分形分析分形被认为是当代科学中最有影响和感召力的基本概念,它产生于物理学和数学,对各门自然科学、社会学、经济学、金融投资学均产生并将继续产生深远的影响。分形几何已经成为探索自然现象和社会经济现象的复杂性的有效数学工具,为定量描述随机与确定、突变与渐变、有序与无序等复杂特征提供了崭新的手段。1973年美籍法国数学家曼德尔勃罗特(Mandelbrot)首次提出了分形(Fractal)一词,其原意具有不规则、支离破碎等意义。曼德尔勃罗特分别从数学和更通俗的角度为分形进行了定义:1.若集合A满足Dim(A)>dim(A),则称之为分形集。其中,Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数),dim(A)为其拓扑维数。2.部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。分形市场理论把分形理论、非线性系统理论和分数维时间序列理论引入金融市场有效性和市场基本波动特性的研究中,建立了一个新的理论框架。分形市场理论认为金融市场是一个开放的、非线性的、具有正反馈机制的系统。以往被认为遵循随机游走的价格变动在分形市场中具有长期记忆性,即具有分数维的时间序列。金融市场的价格表现出对初始值敏感的特性,这表明尤其对于宏观调控,要兼顾考虑市场的长、短期相关性的影响。当市场具有较强的非线性结构特性时,如果仍然依据线性市场条件下信息反映的线性因果关系对市场进行政策调控,那么就有可能达不到预期的效果,甚至背道而驰。对于时间序列长记忆性的检验,目前有经典R/S分析法、修正R/S分析法和V/S分析法。R/S分析的创建者是英国水文专家Hurst(1951),而首次将R/S分析法应用于资本市场长记忆性研究的是Mandelbrot(1971)。此后Lo(1991)又提出了修正的R/S分析,此种方法克服了经典R/S分析在区分序列的长、短期相关性方面的局限性。当序列包含短期记忆、存在异质性时,修正的R/S统计量具有明确的分布,易于进行显著性检验。然而虽然Lo在理论上证明了短期相关性会破坏经典R/S统计量的极限分布,但事实上经典R/S分析是通过分数布朗运动序列的相关性度量和Hurst指数之间的关系来判断长期记忆是否存在,即绕过了假设检验。因此不能说修正R/S分析一定优于经典R/S分析。Giraitis等人(2003)提出的V/S(重标方差)分析是一种估计Hurst指数的新方法。Giraitis等人从理论和蒙特卡罗仿真角度对比研究了修正R/S、KPSS和V/S统计量,发现在序列长记忆性的检验上,V/S分析更具稳健性和有效性。自相似性是分形最重要的特性,即系统局部与整体之间在空间或时间尺度上具有相似性,局部含有整体的信息,整体与局部之间的信息是“同构”的。上述Hurst指数所描述的就是金融市场价格的自相似性。然而金融波动往往呈现出随时间尺度的变化而变化的特性,此时需要用多重分形来刻画。Bacry等人将多重分形理论应用于日元期货的研究,发现存在多重分形的现象。Andreadis等则对道琼斯工业指数进行多重分形研究,也得出相同的结论。我国也有很多学者将多重分形应用到中国金融市场,几乎所有实证结果都支持多重分形现象在金融市场中普遍存在这一观点。在分数维时间序列的研究中,常用的是ARFIMA模型,即分整自回归移动平均模型。ARFIMA模型最大的特点就是它可以全面刻画时间序列长、短期相关关系,通过参数d来描述过程的分形特征。目前国内外已有很多文献对ARFIMA模型的参数估计和实际应用进行了研究,为了同时刻画时间序列异方差特性,我国学者樊智、张世英(2003)提出了ARFIMA-GARCH模型,并将其分别应用于中、美股市,发现中国股市的非线性程度要强于美国。三、混沌理论:系统的重新认识当传统的线性范式无法解释诸如“1987年股灾”这样的现象时,起源于物理学、数学等领域的混沌理论为金融市场的研究者打开了一个全新的视角。美国气象学家洛仑兹在20世纪60年代研究天气预报中大气流动问题时,发现了混沌现象,他指出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性两个特点。而混沌一词则是由L和Yorke二人于20世纪70年代首次提出。现在一般认为,混沌就是指在确定性系统中出现的一种看似随机的现象。混沌解在短期是可以预测的,而在长期是无法预测的。由于混沌是非线性动力系统的固有特性,而线性系统又是非线性系统的特例,因此在实际中混沌现象可以说是无处不在的。混沌科学解释了为什么确定的系统会有不确定的结果,揭示了系统除定常状态、周期状态和拟周期状态外,还有混沌状态,它全面提升了我们对系统的重新认识。混沌理论自诞生以来,凭借丰富的物理背景和深刻的数学内涵,迅速应用于生物化学、社会科学等各个领域,并逐渐渗透到经济金融领域。混沌理论在经济领域的应用始于宏观经济,美国经济学家Stuzer(1980)发表了《一个宏观模型中的混沌动力学系统和分岔理论》一文,在这篇文章中,首次为一个宏观经济模型找出混沌的条件。而在金融领域较早应用混沌理论的是我国学者陈平和威廉·巴奈特(1987),他们在对美国货币指数进行研究时,发现了奇异吸引子的存在,成为金融市场存在混沌特性的有力证据。此后愈来愈多的国内外学者对金融市场中的混沌现象产生了浓厚的兴趣。比较著名的有Peters的研究提供了大量的证据表明证券市场确实存在分形、混沌特征。在我国,王明进、王新宇分别对中国股市进行分析,结果均表明中国股市具有非线性特征。目前混沌理论在金融市场中的应用主要集中在检验和预测上。混沌检验是混沌预测的前提,只有先判断一个金融时间序列是否为混沌时间序列时,才可以用混沌理论对其进行预测。现有的混沌检验方法包括前述的RS系列分析法、BDS检验、(最大)李亚普诺夫指数、关联维数等。而混沌预测是通过建立非线性动力学模型来描述价格的动态行为,找出价格形成的机理,进而对其进行预测。混沌时间序列预测的常用方法有局部线性预测模型,全局多项式模型,神经网络模型,自适应滤波模型,遗传演化模型,优化预测模型以及支持向量回归模型等。在混沌预测中,一般通过事先假设未知相点应变量与已知相点变量之间满足某种确定的函数关系线性或非线性的,而后根据资料用数理统计理论和方法,建立起一些以相点的模为变量和应变量的预报方程。例如,可以事先假设未知相点和已知相点之间满足多项式关系,但并不事先确定是何种形式的多项式,而后利用一些适当的判据,根据资料从众多可能的多项式关系中,自动筛选出某一个较为理想的函数关系来作为预报方程。由此可以看出,若能事先已知系统的动力模式,将在混沌预测中