人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第18讲 3.2.2奇偶性（含解析）

第04讲3.2.2奇偶性课程标准学习目标①了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.②利用函数的奇偶性求函数解析式，利用函数的奇偶性解有关函数不等式，利用函数的奇偶性求参数范围.③能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题.通过本节课的学习，掌握判断函数奇偶性的方法，会求与奇偶函数有关的函数解析式，能处理与函数单调性、周期性相关的综合问题.知识点01：函数的奇偶性1、定义：1.1偶函数：一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0就叫做偶函数.1.2奇函数：一般地，设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么函数SKIPIF1<0就叫做奇函数.2、函数奇偶性的判断2.1定义法：（1）先求函数SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0，判断定义域是否关于原点对称.（2）求SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，判断SKIPIF1<0的奇偶性：①若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是奇函数②若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数③若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0既是奇函数又是偶函数④若SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0既不是奇函数也不是偶函数2.2图象法：（1）先求函数SKIPIF1<0的定义域SKIPIF1<0，判断定义域是否关于原点对称.（2）若SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数（3）若SKIPIF1<0的图象关于原点对称SKIPIF1<0SKIPIF1<0是奇函数2.3性质法：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在它们的公共定义域上有下面的结论：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数【即学即练1】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于A，SKIPIF1<0为增函数，不符合题意；对于B，SKIPIF1<0为奇函数，但是该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C，SKIPIF1<0，故为奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，故C符合题意；对于D，SKIPIF1<0为偶函数，且在定义域内不单调.故选：C知识点02：奇函数，偶函数的性质1、奇函数，偶函数的图象特征设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0是偶函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称；（2）SKIPIF1<0是奇函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象关于原点对称；（3）若SKIPIF1<0是奇函数且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<02、函数的奇偶性与单调性的关系（1）SKIPIF1<0是偶函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0在关于原点对称区间上具有相反的单调性；（2）SKIPIF1<0是奇函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0在关于原点对称区间上具有相同的单调性；3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）（1）SKIPIF1<0是偶函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同；（2）SKIPIF1<0是奇函数，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数；【即学即练2】（2023·全国·高三对口高考）设奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调递增函数，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0，的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得，奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上都为单调递增函数，且SKIPIF1<0，函数图像示意图如图所示：

故不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的示意图可得它的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：D．知识点03：对称性1、轴对称：设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称轴，则有：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0③SKIPIF1<02、点对称设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称中心，则有：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0③SKIPIF1<03、拓展：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称；【即学即练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为偶函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．4 C．3 D．0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为对称中心，且SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为偶函数，以SKIPIF1<0轴为对称轴；∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周期为4，∴SKIPIF1<0的周期为4；故SKIPIF1<0．故选：B.题型01函数奇偶性定义与判断【典例1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是偶函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于A，函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是偶函数，A不是；对于B，函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是偶函数，B不是；对于C，函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，C是；对于D，函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不是偶函数，D不是.故选：C【典例2】（2023·高一课时练习）函数SKIPIF1<0的奇偶性是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】D【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，不关于数0对称，所以函数SKIPIF1<0是非奇非偶函数.故选：D【典例3】（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0的解析式；(2)若函数SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的奇偶性，并证明.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)偶函数，证明见解析【详解】（1）由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，证明如下：SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数.【变式1】（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对于A，SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0是奇函数，A是；对于B，SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0不是奇函数，B不是；对于C，SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0不是奇函数，C不是；对于D，SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0不是奇函数，D不是.故选：A【变式2】（2022秋·北京·高一北京师大附中校考期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)当SKIPIF1<0时，解关于x的不等式SKIPIF1<0；(2)判断函数SKIPIF1<0的奇偶性，并证明；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)奇函数，证明见解析【详解】（1）当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.（2）依题意，SKIPIF1<0，判断函数为奇函数，证明如下：令SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以函数为奇函数.题型02由奇偶性求解析式【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C.【典例2】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的解析式；（2）当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.【典例3】（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）设函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0.（1）确定函数SKIPIF1<0的解析式；（2）试判断函数SKIPIF1<0的单调性，并用定义法证明.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，证明见解析【详解】（1）∵函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，∴由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0；所以函数SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．【变式1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的解析式；(2)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0【变式2】（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值域.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵函数SKIPIF1<0为奇函数，则有：当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的解析式为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.题型03由奇偶性求参数【典例1】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【详解】方法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；方法二：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D．【典例2】（2023秋·高一单元测试）设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，则SKIPIF1<0A．0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的偶函数，故定义域SKIPIF1<0关于原点对称，即：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.又由于SKIPIF1<0为偶函数，即：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0=0.则SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023·高一课时练习）已知函数SKIPIF1<0是偶函数，其中SKIPIF1<0为常数.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0时，均有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0不恒为0，则SKIPIF1<0，所以c的值是0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以m的取值范围是SKIPIF1<0.【变式1】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0为偶函数，则a=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【详解】因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023秋·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）设SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）若函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0不能确定，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能确定 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为函数SKIPIF1<0是偶函数，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.题型04由奇偶性解不等式【典例1】（2023春·四川自贡·高一校考阶段练习）已知SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且对任意实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】对任意实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又因为函数SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若偶函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A【典例3】（2023秋·广东深圳·高一统考期末）定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0满足：在SKIPIF1<0上单调递减，则满足SKIPIF1<0的解集________.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【典例4】（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则不等式SKIPIF1<0的解集为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数，函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0为偶函数，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0为偶函数且在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即原不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为偶函数，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，故选：A.【变式2】（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，对任意SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，则SKIPIF1<0，又对任意SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据函数SKIPIF1<0的单调性可知：SKIPIF1<0等价为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即不等式的解集为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.【变式3】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，在SKIPIF1<0上单调递减，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即原不等式的解集为SKIPIF1<0；故选：C.题型05抽象函数的奇偶性【典例1】（2023·高一课时练习）若函数SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0成立，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是奇函数；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值和最小值．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)最大值为2，最小值为SKIPIF1<0【详解】（1）定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是奇函数；（2）因为SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；（3）不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上单调递减，故SKIPIF1<0．【典例2】（2023秋·高一单元测试）已知函数SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，且SKIPIF1<0.(1)分别求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)判断并证明函数SKIPIF1<0的奇偶性．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0是奇函数，证明见解析.【详解】（1）因为函数SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是奇函数.【变式1】（多选）（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上不恒为0的偶函数，SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上不恒为0的奇函数，则（

）A．SKIPIF1<0为奇函数 B．SKIPIF1<0为奇函数C．SKIPIF1<0为偶函数 D．SKIPIF1<0为偶函数【答案】BCD【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，A项错误；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，B项正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，C项正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为偶函数，D项正确.故选：BCD.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：①SKIPIF1<0；②任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）判断并证明函数SKIPIF1<0的奇偶性.【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【详解】（1）依题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数.题型06函数奇偶性的应用【典例1】（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【详解】SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是定义域为R的奇函数，所以SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023·高一课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．10【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0的定义域为R，令函数SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0是R上的奇函数，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】A【详解】当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：A.【典例4】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高一课时练习）若奇函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则它在区间SKIPIF1<0上是（

）A．增函数且最大值是SKIPIF1<0 B．增函数且最小值是SKIPIF1<0C．减函数且最大值是SKIPIF1<0 D．减函数且最小值是SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意，奇函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，则函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0也为增函数，所以函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0.故选：A.【变式2】（2023·全国·高三对口高考）函数SKIPIF1<0是定义在区间SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值与最小值之和为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的单调性相同，且SKIPIF1<0为奇函数，设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取到最大值，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取到最小值，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取到最大值，在SKIPIF1<0处取到最小值，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为__________【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型07奇偶函数对称性的应用【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解：因为函数SKIPIF1<0是定义在R上的偶函数，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的周期为4，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则D选项正确，B、C选项错误；由已知条件不能确定SKIPIF1<0的值，A选项错误；故选：D.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且对于SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0有：SKIPIF1<0.则关于SKIPIF1<0的不等式解集为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0为偶函数，对于SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，对SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故不等式的解集为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】B【详解】由SKIPIF1<0是偶函数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期函数，周期为4，对于SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期函数，周期SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.题型08数学思想方法篇（数形结合）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则关于x的不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为函数SKIPIF1<0是定义在SKIPI