2023-2024学年四川省成都市成华区高三阶段性考试（三）暨高考模拟考试数学（理）试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市成华区高三阶段性考试（三）暨高考模拟考试数学（理）试题选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,每小题只有一个选项符合题目要求.1．已知，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（

）A．1B．C．D．23．为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（

）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（

）A．B．C．D．5．的展开式中的系数是12，则实数a的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．76．函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．7．已知，则的值为（

）A．B．C．D．8．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，下列说法中不正确的是（

）A．平面B．C．与所成角为45°D．平面9．已知函数在处有极小值，且极小值为，则（

）A． B． C． D．或10．一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比（

）A． B． C． D．11．已知函数的图象关于直线对称，则（

）A．函数在上单调递增B．函数为偶函数C．若，则的最小值为D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象12．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若抛物线上的点到焦点的距离为8，到轴的距离为6，则抛物线的标准方程是_________.14．已知单位向量的夹角为，则=_________.15．已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是______．16．过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为______．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.18．（12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（Ⅱ）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；19．（12分，（Ⅰ）问6分，（Ⅱ）问6分）如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA1的中点.（Ⅰ）证明：B，E，D1，F四点共面；（Ⅱ）若求直线AE与平面BED1F所成角的正弦值.20．（12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设圆上任意一点处的切线交轨迹于点两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标．若不过定点，请说明理由．21．（12分，（Ⅰ）问4分，（Ⅱ）问8分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，函数有三个不同的零点，，，求证：．选考题（共10分，从以下的22、23两题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题给分）22．（10分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问5分）如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（Ⅰ）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．23．（10分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问5分）已知.（Ⅰ）解关于的不等式：；（Ⅱ）若的最小值为，且正数，满足，求的最小值。答案及评分细则一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案DBBACCDDABCA二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14．15．216．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（Ⅰ）当时，，解得，…………（1分）当时，，，两式相减得，即，…（3分）即有，而，则，，…………（5分）所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.…（6分）（Ⅱ）由（1）知，于是，则，……………（7分）于是，……（8分）两式相减得，……（11分）所以.……（12分）18.（Ⅰ）由频率分布直方图的性质可得，，解得，……………（2分）设中位数为，解得；……………（5分）（Ⅱ）的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1从中分别抽取7人，3人，1人，……………（7分）所有可能取值为0，1，2，3，，，，…（10分）故的分布列为：0123故…………（12分）19.（Ⅰ）取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，∴EG∥DC∥AB，且，∴四边形ABEG为平行四边形，………………（3分）故.又F是的中点，即，∴，………………（5分）故B，F，，E四点共面.………………（6分）（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，以O为原点，、、分别为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，………………（7分）设，则A（，0，0），B（0，1，0），，F（，0，1），∴设面的一个法向量为，则，即，取，……………（9分）设直线AE与平面BED1F所成角为θ，故，……………（11分）∴直线AE与平面BED1F所成角的正弦值为.…………（12分）20.（Ⅰ）设由得①……………（1分）由得所以……………（3分）代入①式得，,整理得，所以动点的轨迹的方程为.……………（5分）（Ⅱ）①当切线斜率不存在时，切线方程为（i）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为②（ii）当切线方程为时，以为直径的圆的方程为，③由②③联立，可解得交点为.……（6分）②当过点且与圆相切的切线斜率存在时，设切线方程为，则，故由联立并消去整理得………………（7分）因为所以切线与椭圆恒有两个交点，设，则………………（8分）所以…（10分）所以，即以为直径的圆过原点综上所述，以为直径的圆过定点.…（12分）21（Ⅰ）解：，………………（2分）令，得，．当或时，；当时，．增区间为，；减区间为；………………（4分）（Ⅱ）证明：，是函数的一个零点，不妨设，……………（5分）则要证，只需证．由，得，，是方程的两个实根，，①；，②，①②得：，……………（7分）代入，只需证，不妨设．，只需证．，只需证．……………（8分）设，则等价于．设，只需证，……………（9分）又，设，则，在上单调递增，则．，从而在上是增函数，……（11分）．综上所述，．………………（12分）22.（Ⅰ）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为，……………（3分）曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为．………（5分）（Ⅱ）由（1）得：|MN|＝|．………（7分）显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大．此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点，设PC2与直线MN垂直于点H，如图所示：在Rt△OHC2中，|，所以点P到直线MN的最大距离d