江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第三章第三节　反比例函数及其应用

[基础过关]1．(2021·余干模拟)若反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过(－1,3)，则这个函数的图象一定过()A．(－3,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))C．(－3，－1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))解析：∵反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过(－1,3)，∴k＝－1×3＝－3.∵－3×1＝－3，－eq\f(1,3)×3＝－1，－3×(－1)＝3，eq\f(1,3)×3＝1，∴反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点(－3,1)．答案：A2．(2021·余干模拟)已知点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)都在反比例函数y＝－eq\f(6,x)的图象上，那么y1，y2与y3的大小关系是()A．y3＜y1＜y2 B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2解析：把点(－2，y1)，(－1，y2)，(1，y3)分别代入y＝－eq\f(6,x)，得y1＝－eq\f(6,－2)＝3，y2＝－eq\f(6,－1)＝6，y3＝－eq\f(6,1)＝－6，所以y3＜y1＜y2.答案：A3．(2021·余干模拟)已知反比例函数y＝－eq\f(1,x)，下列结论：①图象必经过(－1,1)；②图象在第二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞－1时，则y＞1.其中错误的结论有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个解析：①当x＝－1时，y＝1，即图象必经过点(－1,1)，正确；②k＝－1＜0，图象在第二、四象限内，正确；③k＝－1＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误；④k＝－1＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，当0＞x＞－1时，y＞1，当x＞0时，y＜0，故④错误，错误的结论有2个．答案：B4．(2021·余干模拟)小明乘车从家到学校行车的速度v(km/h)和行车时间t(h)之间的函数图象是()解析：∵小明从家到学校路程固定，设为s，根据题意，得v＝eq\f(s,t)(t＞0)，∴v是t的反比例函数．答案：B5．(2021·金溪一模)反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致是()解析：∵函数y＝eq\f(k,x)的图象经过第二、四象限，∴k＜0.由图知当x＝－1时，y＝－k＜1，∴k＞－1.∴抛物线y＝2kx2－4x＋k2开口向下．对称轴为x＝－eq\f(－4,2×2k)＝eq\f(1,k)，eq\f(1,k)＜－1，∴对称轴在直线x＝－1的左边．∴当x＝0时，y＝k2＜1.答案：B6．(2021·江西模拟)如图，直线y1＝x＋b与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y2＝－eq\f(5,x)(x＜0)的图象交于C，D两点，点C的横坐标为－1，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F.下列说法正确的是()A．b＝5B．BC＝ADC．五边形CDFOE的面积为35D．当x＜－2时，y1＞y2解析：当x＝－1时，y2＝－eq\f(5,x)＝5，则C(－1,5)，把C(－1,5)代入y1＝x＋b，得－1＋b＝5，解得b＝6，所以A选项错误；∴直线解析式为y1＝x＋6.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋6，,y＝－\f(5,x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝1，))则D(－5,1)，当x＝0时，y＝x＋6＝6，则B(0,6)；当y＝0时，x＋6＝0，解得x＝－6，则A(－6,0)，∴AD＝eq\r(－6＋52＋12)＝eq\r(2)，BC＝eq\r(12＋6－52)＝eq\r(2).∴AD＝BC，所以B选项正确；五边形CDFOE的面积＝S△OAB－S△ADF－S△BCE＝eq\f(1,2)×6×6－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×1×1＝17，所以C选项错误；当－5＜x＜－1时，y1＞y2.所以D选项错误．答案：B7．(2021·九江模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上的两个点，当x1＞x2＞0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx－k的图象不经过第________象限．解析：∵当x1＞x2＞0时，y1＞y2，∴k＜0.∴－k＞0.∴一次函数y＝kx－k的图象经过第一、二、四象限．∴不经过第三象限．故答案为三．答案：三8．(2021·余干模拟)函数y＝eq\f(1,x)与y＝x－3的图象的一个交点的坐标为(m，n)，则eq\f(1,m)－eq\f(1,n)的值为________．解析：∵函数y＝eq\f(1,x)与y＝x－3的图象的一个交点的坐标为(m，n)，∴mn＝1，n＝m－3.∴n－m＝－3.∴eq\f(1,m)－eq\f(1,n)＝eq\f(n－m,mn)＝－3.故答案为－3.答案：－39．(2021·江西一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，t)在反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象上，过点A作直线y＝ax与反比例函数y＝eq\f(2,x)的图象交于另一点B，则点B的坐标为________．解析：把A(1，t)代入y＝eq\f(2,x)，可得t＝2，∴A(1,2)，∴直线为y＝2x.∵点B与点A关于原点对称，∴B(－1，－2)．故答案为(－1，－2)．答案：(－1，－2)10．若点A(m，－2)在反比例函数y＝eq\f(4,x)的图象上，则当自变量x≥－2时，则函数值y的取值范围是__________．解析：∵点A(m，－2)在反比例函数y＝eq\f(4,x)的图象上，∴－2m＝4，m＝－2.∴A(－2，－2)．∴当自变量x≥－2时，函数值y的取值范围是y≤－2或y＞0.故答案为y≤－2或y＞0.答案：y≤－2或y＞011．(2021·余干模拟)如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象交于A(2,1)，B两点，则不等式kx>eq\f(m,x)的解集是____________．解析：∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象交于A(2，1)，B两点，∴B(－2，－1)，观察函数图象，发现：当－2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式kx>eq\f(m,x)的解集是－2＜x＜0或x＞2.故答案为－2＜x＜0或x＞2.答案：－2＜x＜0或x＞212．(2021·南昌一模)已知菱形OABC在坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A坐标为(3,4)，经过A点的双曲线交BC于D，则△OAD的面积为________．解析：∵点A坐标为(3,4)，∴OA＝eq\r(32＋42)＝5.∵四边形ABCO为菱形，∴S菱形ABCO＝5×4＝20.∴S△OAD＝eq\f(1,2)S菱形ABCO＝eq\f(1,2)×20＝10.故答案为10.答案：1013．(2021·余干模拟)已知y＝y1－y2，y1与x成反比例，y2与x－2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝－1.(1)求y与x的函数表达式；(2)当x＝－1时，求y的值．解：(1)设y1＝eq\f(a,x)，y2＝b(x－2)，则y＝eq\f(a,x)－b(x－2)，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)－b3－2＝5，,\f(a,1)－b1－2＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4，))所以y关于x的函数关系式为y＝eq\f(3,x)＋4(x－2)；(2)把x＝－1代入y＝eq\f(3,x)＋4(x－2)，得y＝－3＋4×(－1－2)＝－15.14．(2021·南昌二模)如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)(m≠0)的图象交于A(1，t＋1)，B(t－5，－1)两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若(c，p)，(n，q)是反比例函数y＝eq\f(m,x)(m≠0)图象上任意两点，且满足c＝n＋1，求eq\f(q－p,pq)的值．解：(1)∵A(1，t＋1)，B(t－5，－1)两点在反比例函数y＝eq\f(m,x)(m≠0)的图象上，∴t＋1＝－(t－5)＝m.即t＋1＝5－t，解得t＝2.当t＝2时，A(1,3)，B(－3，－1)，m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(3,x).∵A，B在一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝3，,－3k＋b＝－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2.))∴一次函数的解析式为y＝x＋2.(2)∵点(c，p)和点(n，q)在反比例函数y＝eq\f(3,x)的图象上，∴c＝eq\f(3,p)，n＝eq\f(3,q).∵c＝n＋1，即eq\f(3,p)＝eq\f(3,q)＋1，∴eq\f(q－p,pq)＝eq\f(1,3).[能力提升]15．(2021·江西模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝eq\f(1,2)x与双曲线y＝eq\f(k,x)交于A，B两点，且点A的坐标为(4，a)，将直线y＝eq\f(1,2)x向上平移m个单位，交双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)于点C，交y轴于点F，且△ABC的面积是eq\f(32,3).给出以下结论：(1)k＝8；(2)点B的坐标是(－4，－2)；(3)S△ABC＜S△ABF；(4)m＝eq\f(8,3).其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：(1)∵直线y＝eq\f(1,2)x经过点A(4，a)，∴a＝eq\f(1,2)×4＝2.∴A(4,2)．∵点A(4,2)在双曲线y＝eq\f(k,x)上，∴k＝4×2＝8.故正确；(2)解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x，,y＝\f(8,x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))∴点B的坐标是(－4，－2)．故正确；(3)∵将直线y＝eq\f(1,2)x向上平移m个单位，交双曲线y＝eq\f(k,x)(x＞0)于点C，交y轴于点F，∴FC∥AB.∴△ABC和△ABF同底等高，∴S△ABC＝S△ABF.故错误；(4)∵S△ABF＝S△ABC＝eq\f(32,3)，∴S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝eq\f(1,2)m×4＋eq\f(1,2)m×4＝eq\f(32,3).解得m＝eq\f(8,3)，故正确．答案：C16．(2021·余干模拟)已知反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象经过点P(2,1)．(1)试确定此反比例函数的解析式；(2)若点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是上述反比例函数图象上的点，且x1＜x2＜0，试比较y1与y2的大小．解：(1)∵点P(2,1)在反比例函数y＝eq\f(k,x)图象上，∴将x＝2，y＝1代入反比例解析式，得k＝xy＝2.∴反比例函数解析式为y＝eq\f(2,x)；(2)∵k＝2＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2.17．(2021·新余模拟)如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A，B两点在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1.(1)求反比例函数的解析式；(2)在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，求出点P的坐标并直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．解：(1)∵∠C＝90°，AC平行于x轴，∴CD⊥y轴．∵AD＝1，AC＝2，BC＝4，∴设A(1，k)，则B(3，k－4)．∵B点在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，∴3(k－4)＝k.解得k＝6.∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(6,x)(x＞0)；(2)存在．∵A(1,6)，B(3,2)，∴AB＝eq\r(1－32＋6－22)＝2eq\r(5).作A点关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P点，连接PA，如图，A′(－1,6)，则PA＝PA′，∴PA＋PB＝PA′＋PB＝BA′.∴此时PA＋PB的值最小，△PAB的周长最小．∵BA′＝eq\r(3＋12＋2－62)＝4eq\r(2)，△PAB的周长的最小值＝AB＋BA′＝2eq\r(5)＋4eq\r(2).18．(2021·九江模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线BC与y轴交于点A(0,4)，与x轴交于点D，点B，C是反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象上的点，OB⊥BC于点B，∠BOD＝60°.(1)求直线AB的解析式；(2)求反比例函数的解析式；(3)若△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，△DOC的面积为S3，直接写出S1，S2，S3的一个数量关系式：__________.解：(1)∵A(0,4)，∴OA＝4.∵∠BOD＝60°.∴∠AOB＝30°.∵OB⊥BC于点B，∴∠ABO＝90°.∴∠OAD＝60°.∴OD＝eq\r(3)OA＝4eq\r(3).∴D(4eq\r(3)，0)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,4\r(3)k＋b＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(\r(3),3)，,b＝4.))∴直线AB的解析式为y＝－eq\f(\r(3),3)x＋4；(2)∵∠AOB＝30°，OA＝4，∴AB＝eq\f(1,2)OA＝2，OB＝eq\f(\r(3),2)OA＝2eq\r(3).∵eq\f(1,2)OA·OD＝eq\f(1,2)AD·OB，∴AD＝eq\f(OA·OD,OB)＝eq\f(4×4\r(3),2\r(3))＝8.∴BD＝AD－AB＝6.∵S△AOD＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3)，∴S△AOB＝eq\f(2,8)×8eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△BOD＝eq\f(6,8)×8eq\r(3)＝6eq\r(3).设B(m，n)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·m＝2eq\r(3)，S△BOD＝eq\f(1,2)×OD·n＝6eq\r(3).∴eq\f(1,2)×4m＝2eq\r(3)，eq\f(1,2)×4eq\r(3)n＝6eq\r(3).解得m＝eq\r(3)，n＝3，∴B(eq\r(3)，3)．∵点B是反比列函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象上的点，∴k＝eq\r(3)×3＝3eq\r(3).∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(3\r(3),x)；(3)解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(\r(3),3)x＋4，,y＝\f(3\r(3),x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\r(3)，,y＝1，))∴C(3eq\r(3)，1)．∴S△COD＝eq\f(1,2)OD·yC＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×1＝2eq\r(3).∴S△BOC＝6eq\r(3)－2eq\r(3)＝4eq\r(3).∵S1＝2eq\r(3)，S2＝4eq\r(3)，S3＝2eq\r(3)，∴S1＋S3＝S2.故答案为S1＋S3＝S2.19．(2021·石城一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋b经过点A(－1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)于点D，连接AD.(1)求b，k的值；(2)求△ABD的面积；(3)若E为线段BC上一点，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)于点F，且EF＝eq\f(1,2)BD，求点F的坐标．解：(1)∵直线y＝2x＋b经过点A(－1,0)，∴－2＋b＝0.∴b＝2.∴直线AB的解析式为y＝2x＋2.∴B(0,2)．如图，过点C作CG∥x轴交y轴于G，∴△AOB∽△CGB.∴eq\f(OA,CG)＝eq\f(OB,BG)＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2).∴CG＝2OA＝2，BG＝2OB＝4.∴OG＝OB＋BG＝6.∴C(2,6)．∵点C在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，∴k＝2×6＝12；(2)∵BD∥x轴，且B(0,2)，∴D(6,2)．∴BD＝6.∴S△ABD＝eq\f(1,2)BD·OB＝6；(3)由(2)，知BD＝6，∵EF＝eq\f(1,2)BD，∴EF＝3.设E(m,2m＋2)(0＜m＜2)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,m＋1)，2m＋2)).∴EF＝eq\f(6,m＋1)－m＝3.∴m＝－2－eq\r(7)(舍)或m＝－2＋eq\r(7).∴F(eq\r(7)＋1，－2＋2eq\r(7))．20．(2021·江西模拟)如图，直线l1：y＝kx＋b与双曲线y＝eq