工程电磁场-矢量分析

电磁场电磁场是高等工科院校电类专业的一门技术基础课。21世纪，这门课作为一门主干（核心）课程的框架仍基本保持不变；同时又是一些交叉领域的学科生长点和新兴边缘学科发展的基础。学好这门课将增强学生的实际应用能力与创新能力。一学习要求1、牢固掌握电磁场基本规律及性质。2、比较全面地了解与掌握各种分析计算方法。3、能具体地计算一些典型的、理想化的电磁场问题。二课程内容1、矢量分析（梯度、散度、旋度）2、电磁场基本规律（场、位分布、磁通量、磁矢量位、库仑定理、安培定理、高斯定理、拉氏方程、泊松方程、结构关系等……）3、力与能量4、麦克斯韦方程组（四个方程），连续性方程及洛伦兹力方程能解释几乎所有的电磁效应。5、进一步研究（保角变换、波导等）三电磁场若干问题？什么是场？能量如何传递的？例如最简单问题：电磁场是什么？

场定义场——在某给定区域用一组数来定义一个量的特性，该区域中每个点都具备这种特性量。例如有温度场、引力场、电磁场（空间每点有相同的物理量）国际单位制(SI)现在使用国际单位制(SI)MKS——（米公斤秒）见附录四_电磁学的量和单位——结构（材料）参数

——常数（适用叠加定理）--电介质常数（电容率）--材料导电常数（电导率）

--磁介质常数（磁导率）真空中

（30万公里/秒）

然而，电磁场理论的奥妙之处，是适当地运用

四个麦克斯韦方程、连续性方程和洛伦兹力方

程，就能够预测或解释几乎所有的电磁现象。

However,thewonderfulaspectofelectromagneticfieldtheoryisthatwecaneitherpredictorexplainalmostallelectromagneticphenomenabyappropriatelymanipulatingthefourmaxwell’sequations,theequationofcontinuity,andtheLorentzforceequation.

四平时成绩和学习纪律要求场的维数一维——一个独立分量不再可能有投影二维——二个独立分量矢量场三维——三个独立分量

三个座标轴（正交）三个座标轴互相垂直，x、y、z方向不能随便写，所有写法按右手法则。逆时针前言矢量分析标量(scalar)和矢量(vector)1.标量——只有大小的物理量标量只用它的大小就可以完全描述，如质量、时间、功和电荷。2.矢量——有大小与方向的物理量如力、速度、电场强度、电通量密度等。3.单位矢量——大小为１，只表示方向的量。是与同方向的单位矢量

标量和矢量4.零矢（nullvector）——大小为零的矢量，也称空矢。零矢是唯一不能用箭头表示的矢量。5.位置矢量（positionvector）——从坐标原点指向空间任一点的矢量，简称位矢。6.距离矢量（distancevector）——从空间一点指向空间另一点的矢量。矢量运算1.矢量加法

矢量服从加法的交换律、结合律2.矢量减法矢量运算3.矢量乘以标量矢量运算4.两矢量的乘积①两矢量的点积（dotproduct）

矢量的点积是一个标量点积的基本性质是服从交换律：分配律：按数乘比例：矢量运算标投影Bcosθ称为沿的分量，也成为在的标投影矢投影可见两矢量之间的夹角为

（当）矢量运算两矢量垂直的充要条件是它们的点积为零。分量是标量——标投影（没方向），分量乘一个单位矢量——矢投影（有方向）。

我们还可以求出矢量的大小，即标投影和矢投影有什么区别?矢量运算②两矢量的叉积

叉积结果是矢量，又称为矢积（vectorproduct）。

矢积不服从交换律，因为但服从分配律：按数乘比例：

两矢量平行的充要条件是它们的矢积为零。思考：

已知若使或者，则b,c各为多少？矢量运算③标三重积（scalartripleproduct）如果三个矢量代表一个平行六面体的边，则标三重积是它的体积④矢三重积（vectortripleproduct）坐标系从数学的观点把矢量分解成沿三个互相正交的方向来处理是比较方便的，即采用正交坐标系。坐标系1.直角坐标系直角坐标系的单位矢量：∴单位矢量只表示方向。直角坐标系下位矢表示为

此处是在x，y，z轴上的标投影。直角坐标系一点投影坐标系坐标系中三个单位矢量互相正交，其点积为叉积为坐标系在直角坐标系下，矢量运算表示为两矢量之和、差为点积为可得坐标系两矢量之矢积为坐标系2.圆柱坐标系()也是一个正交坐标系,如图可知，x=ρcosφy=ρsinφ

z=z空间任一点P(x，y，z)现在可换成P(ρ，φ，z)，相应的单位矢量为圆柱坐标系一点投影坐标系在圆柱坐标系下，可以得到位矢的描述式为其中圆柱坐标系三个互相垂直的坐标面坐标系圆柱坐标下单位矢量的点积和叉积为坐标系在圆柱坐标系下，矢量运算表示为

当两个矢量定义在一个公共点P(ρ，φ，z)或在一个φ＝常数的平面上，可得两矢量之和、差为点积为坐标系矢积为坐标系变换由单位矢量的投影可得从直角到圆柱坐标系单位矢量变换写成矩阵形式为坐标系变换同理，可得矢量的变换为反之，坐标系3.球坐标空间一点P在球坐标系唯一的用r，θ，φ表示。

其中，坐标系球坐标系见图在球坐标任意两矢量的矢量加、减、乘，只有当它们是给定在θ＝常数和φ＝常数两平面的交线上才能进行。即这些矢量必须定义在同一点或者在沿同一半径线的点上。

否则必须把这些矢量变换到直角坐标系。球坐标系坐标系单位矢量的标积和矢积如下：例题例题1：证明下列量是正交的：解两非零矢量正交，它们的标积必须为零。经计算，得=（4）（-2）+（6）（4）+（-2）（8）=0问题得证。例题例题2：写出空间任一点P（x,y,z）

的位矢表达式。然后将此位矢变换成在圆柱坐标系中的一个矢量。解在空间任一点P（x,y,z）

的位矢是用式（10）中的变换矩阵，得矢量分析作业作业1：在直角坐标系表示矢量长度、面和体的微分元

在电磁场的计算中，常需要完成在特定坐标系下的场量在区域中的线、面、体积分。在后面章节:

将用电场强度的线积分定义位函数;

用体电流密度的面积分来决定通过导线的电流。

如果学会了在不同坐标系下的线、面、体微分元的构成方法，就能很容易的记下这些微分元。长度、面和体的微分元直角坐标系下，体微分元面微分元长微分元直角坐标系中的微分元（a）微分体积元（b）体分解图长度、面和体的微分元圆柱坐标系下，体微分元面微分元长微分元圆柱坐标系中的微分元（a）微分体积元（b）体分解图长度、面和体的微分元球坐标系下，体微分元面微分元长微分元球坐标系中的微分元（a）微分体积元（b）体分解图线、面和体积分线积分用和的极限表示如:可以定义一个标量场的线积分如:可以定义一个矢量场的标线积分如:可以定义一个矢量场的矢线积分如:线、面和体积分例题3证明在半径为b的球的封闭面上，证明：在半径为b的球的球面上，外向单位法向是在单位矢量的方向，由式（12），得标量场和矢量场场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量值或矢量。例如,在直角坐标下,

标量场如温度场，电位场，高度场等；

矢量场如流速场，电场，涡流场等。标量场和矢量场一个标量场（scalarfield）每点单纯用一个数来说明形象描绘场分布的工具－场线标量场－等值线(面).其方程为f(x,y,z)=常数标量场和矢量场一个矢量场（vectorfield）是空间每个点有一个量同时用它的大小和方向来说明。矢量场--矢量线一个标函数的梯度(Gradient)(grad)1.梯度——标量本身变化的快慢等值线（面、体）——体积中f（温度、电位）是常数的值连起来。从P点变到Q点，变化是好多呢？它的变化量就是微分值（平面——两个方向有变化）（体积——三个方向有变化）一个标函数的梯度(Gradient)(grad)在直角坐标系中：我们定义变化值df

这就是变化量，上式可写成一个点乘积利用长度微分元一个标函数的梯度(Gradient)(grad)两边同除，

一个标函数的梯度(Gradient)(grad)一个标函数的梯度(Gradient)(grad)2、定义：梯度大小：标量f对空间坐标的最大变化率方向：沿最大变化率方向梯度算子（但尔或拉布拉）------梯度算子

（本身无意义，仅当作用一个标量函数得到一个矢量函数，常当一个量来运算，乘一个标函数,就有意了）一个标函数的梯度若干性质标函数在某点的梯度的若干性质：<1、垂直于给定函数的等值面<2、指向给定函数在某位置变化最快的方向<3、大小等于给定函数每单位距离的最大变化率<4、方向导数

标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。一个标函数的梯度在圆柱坐标系下梯度表达式为在球坐标系下为一个标函数的梯度3.梯度的运算规则：一个标函数的梯度例题4

三维高度场的梯度高度场的梯度的性质：与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。一个标函数的梯度例题5

电位场的梯度性质：与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。一个标函数的梯度例题6求r在圆柱坐标系的梯度，从例题2可以得知：此处r是位矢的大小。解：直角坐标系下这是一个重要的结论，以后将经常在推导中用到。一个标函数的梯度例题7求r在M(1，0，1)处沿方向的方向导数。解：一个标函数的梯度作业3求标量场矢量场的散度1、通量矢量E

沿有向曲面S的面积分若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的存在性质:Φ＝0（无源）Φ＜0（负源）Φ＞0（正源）矢量场的散度例题8：在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电通量密度为求穿过原点为球心，R为半径的球面的电通量。解：矢量场的散度()2、散度（divergence）通量是一个大范围面积上的积分量，它反映了在某一空间内场源的总的特性，但未反映出场源分布特性。为研究矢量场在某点的通量特性，我们定义散度。如果包围点P的闭合面

S所围区域

V以任意方式缩小为点P时,通量与体积之比的极限存在，即在直角坐标系下，散度的计算公式矢量场的散度3、散度的物理意义矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；表示该点单位体积内散发出来的矢量的通量；矢量场的散度反映出矢量场在该点的通量源的强度，通量的体密度；矢量场的散度在矢量场中,若

，称之为有源场，

称为(通量)源密度；若矢量场中处处，称之为无源场。在圆柱坐标系矢量场的散度表示式为在球坐标系下为散度意义求单位体积内，向外（电力线，磁力线）的流量,用任意小体积包围点P,此封闭面所包围的体积

很小时，计算矢量场在该点的散度即为求得它的净外向流量。如果S面内有源（例如：有电荷，则散度

（有散场，有源场）如果S面内无源(例如：无磁荷，则散度（无散场，无源场）散度的意义电场一定是有散场，磁场总是无散场.磁场产生磁力线总是闭合的，无头无尾.

净积分

矢量场的散度4.散度的运算规则：矢量场的散度例题9：在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电通量密度为求其散度。解：在r=0以外的空间，，在r=0以外的空间均为无源场。矢量场的散度例题10已知矢量场试确定a,b,c，使得A成为一无源场。解：A为无源场，即

必有a=2,b=-1,c=-2矢量场的散度作业4矢量场的散度5、高斯公式（散度定理）由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量该公式表明了区域V中场F与边界S上的场F之间的关系。（矢量函数的面积分与体积分的互换。）矢量场的旋度1、环量在矢量

中，若曲线c是一闭合曲线，其沿空间有向闭合曲线L的线积分可表示为，即为的环量，漩涡量。

若矢量穿过封闭曲面的通量不为零，则表示该封闭曲面内存在通量源。同样，矢量沿闭合曲线的环量不为零，则表示闭合曲线内存在漩涡源。如磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生该磁场的漩涡源。环量大小与回路大小、回路位置有关，两种不同位置，总有一种位置的环量大些。

环量的计算矢量场的旋度2、旋度环量是矢量在某范围闭合曲线上的线积分，反映整个闭合曲线内漩涡源分布情况。而具体到每个点的情况则引入旋度概念。定义：旋度大小：旋度的意义为环量的面密度，或称为环量强度。旋度为矢量，其大小是矢量在给定处的最大环量面密度，其方向为当面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向。若，则为无旋场或保守场。矢量场的旋度3、旋度公式的记法直角坐标系圆柱坐标系球坐标系矢量场的旋度4、旋度运算规则矢量场的旋度5、旋度的物理意义①矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。②点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。③点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。在矢量场中，若

A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J称为旋度源(或涡旋源)。水从槽子流出或流入汇点是流体旋转速度场的最好例子。④若矢量场处处

A=0，称之为无旋场或保守场，常见的例子是力作用于物体做功。矢量场的旋度例题11

设水流速度1）(k为常数,米/秒)2）求水流沿平行于水管轴线方向流动

=0，无涡旋运动流体做涡旋运动

0，有产生涡旋的源例：流速场矢量场的旋度矢量场的旋度例题13：在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生求空间任意点（）电场强度的旋度。2.10矢量场的旋度6、斯托克斯公式数学公式：物理意义：矢量场旋度的法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。(矢量函数线积分与面积分的互换)用于说明斯托克斯定理的闭合围线c界定的开表面s小结梯度（某点场的大小量度）散度:（某单位体积电荷大小，体电荷密度）旋度：（单位面积的电流强度）矢量场的旋度作业5

证明一个矢量场的旋度恒为零；即：

拉普拉斯算子

（Laplacianoperrator）1、如果f(x,y,z)是一连续可微标函数，则f(x,y,z)的拉普拉斯为在直角坐标系下为在圆柱坐标系下为在球坐标系下为拉普拉斯算子2、一个矢量场的拉普拉斯为（直角坐标系下）3、如果一个标函数的拉普拉斯为0，则此函数为调和函数。也常称为拉普拉斯方程若干定理和电磁场的分类1、唯一性定理唯一性定理说明一个矢量场在区域中是唯一确定的，如果满足下列要求：1）它的散度遍及全区域是确定的；2）它的旋度遍及全区域是确定的；3）在包围区域的封闭面上它的法向分量是确定的。若干定理和电磁场的分类2、场的分类在电磁场的研究中，将会发现场有四种基本的类型。在解场的问题时，需要知道所处理的场是哪种类型，这将决定我们必须采用的解题方法。矢量场有两种不同性质的源：1．散度源，标量，产生穿过曲面的通量，空间一点源的强度为矢量场在该点的散度2．旋度源，矢量，产生的矢量场有涡旋的性质，空间一点源的强度与矢量场在该点的旋度成正比。任一矢量场可能由上述二者之一产生，或由二者共同产生。矢量场的散度和旋度是两个独立的运算，根据其可以将场划分为基本的四种类型。若干定理和电磁场的分类第Ⅰ类场矢量场