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PAGE1PAGE202．等价向量组：设向量组,若可由线性表示,称可由线性表示；若与可以互相线性表示,称与等价．(1)自反性：与等价(2)对称性：与等价与等价(3)传递性：与等价,与等价与等价定理8向量组与它的最大无关组等价．证设向量组的秩为,的一个最大无关组为．(1)中的向量都是中的向量可由线性表示；(2)任意,当时,可由线性表示；当时,线性相关,而线性无关由定理2知,可由线性表示．故可由线性表示．因此,与等价．推论向量组的任意两个最大无关组等价．定理9向量组,向量组．若线性无关,且可由线性表示,则．证不妨设与都是列向量,考虑向量组易见,秩秩．构造矩阵因为可由线性表示,所以于是可得秩．推论1若可由线性表示,则秩秩．证设秩,且的最大无关组为；秩,且的最大无关组为,则有可由线性表示可由线性表示可由线性表示（定理9）推论2设向量组与等价,则秩秩．[注]由“秩秩”不能推出“与等价”！正确的结论是：与等价与等价例8设,,则,．证设,,,则即可由线性表示,故．根据上述结果可得§4.4向量空间1．向量空间：设是具有某些共同性质的维向量的集合,若对任意的,有；（加法封闭）对任意的,,有．（数乘封闭）称集合为向量空间．例如：是向量空间是向量空间不是向量空间,即数乘运算不封闭．例9给定维向量组,验证是向量空间．称之为由向量组生成的向量空间,记作或者证设,则,,于是有由定义知,是向量空间．2．子空间：设和都是向量空间,且,称为的子空间．例如：前面例子中的是的子空间．例9中的也是的子空间．3．向量空间的基与维数：设向量空间,若(1)中有个向量线性无关；(2)可由线性表示．称为的一组基,称为的维数,记作或者．[注]零空间没有基,规定．由条件(2)可得：中任意个向量线性相关．（自证）若,则中任意个线性无关的向量都可作为的基．例10设向量空间的基为,则．证4．向量在基下的坐标：设向量空间的基为,对于,表示式唯一（定理2）,称为在基下的坐标（列向量）．[注]为维向量,在的基下的坐标为维列向量．因为线性无关的“维向量组”最多含有个向量,所以由维向量构成的向量空间的基中最多含有个向量,故．例11设向量空间的基为,,求在该基下的坐标．解设,比较等式两端的对应分量可得：,[注]是4维向量,在的基下的坐标为3维列向量．5．正交基：设向量空间的基为,若,称为的正交基；若还有,称为的标准正交基．例如：的标准正交基为．特点：向量空间的正交基为,对于,有：当为标准正交基时,有：6．Schmidt正交化过程：设向量空间的基为,令,,（否则线性相关）,（否则线性相关）………………,（否则线性相关）结论：两两正交且非零线性无关是的正交基令,则是的标准正交基

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