线性空间lv的维数和基

线性空间lv的维数和基

0线性空间v的唯一线性变换在高等代数中，通过从p中线性空间v的所有线性变换中获得的集合l（v）仍然是数字表中的线性空间，但l（v）的维数和基数没有给出。本文从线性空间L(V)与Mn(P)的同构入手,找出了线性空间L(V)的维数和基,并给出了证明。定理1设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基,α1,α2,…,αn是V中任意n个向量,则存在唯一的线性变换A,使Aεi=αi,i=1,2,…,n定义1设ε1,ε2,…,εn是数域P上n维线性空间V的一组基,A是V中一个线性变换,基向量的象可以被基线性表出:用矩阵来表示就是A(ε1,ε2,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A(1)其中矩阵A称为A在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵.定理2设ε1,ε2,…,εn是数域P上n维线性空间V的一组基,在这组基下,每个线性变换按公式(1)对应一个n×n矩阵,这个对应具有以下性质:(1)线性变换的和对应矩阵的和;(2)线性变换的数量乘积对应矩阵的数量乘积。定义2设V和V′是数域P上的两个线性空间,如果σ是V到V′的双射,且对任意α,β∈V,任意k∈P,有(1)σ(α+β)=σ(α)+σ(β)(2)σ(kα)=kσ(α)则称线性空间V与V′是同构的。定理3数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2引理1设ε1,ε2,…,εn是线性空间V的一组基,A是数域P上的任一n×n矩阵,那么存在唯一的线性变换A,使它在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A。证明:设作V中的n个向量如下:由定理1,存在唯一的线性变换A,使得:Aεi=αi,i=1,2,…,n从而所以A(ε1,ε2,…,εn)=(Aε1,Aε2,…,Aεn)=(ε1,ε2,…,εn)A因此,存在唯一的线性变换A,使它在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A。引理2设ε1,ε2,…,εn是n维线性空间V的一组基,令:;i,j=1,2,…,n则Eij∈L(V),且Eij(i,j=1,2,…,n)是线性无关的。证明:因为;i,j=1,2,…,n由定理1可知,Eij∈L(V)(i,j=1,2,…,n),设:则所以因为ε1,ε2,…,εn是V的一组基,所以ε1,ε2,…,εn是线性无关的,故l1k=l2k=…=lnk=0,k=1,2,…,n即lij=0,i,j=1,2,…,n因此,Eij(i,j=1,2,…,n)是线性无关的。2lv到mnp的同构定理4设V为数域P上的n维线性空间,V上线性变换的全体记为L(V),数域P上n×n矩阵的全体记为Mn(P),则L(V)与Mn(P)同构。证明:取V的一组基ε1,ε2,…,εn,对任意A∈L(V),设A在基ε1,ε2,…,εn下的矩阵为A。即A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)A令σ:L(V)→Mn(P),σ(A)=A,则σ是L(V)到Mn(P)的一个双射。事实上,对任意A,B∈L(V),设:A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)AB(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)B则σ(A)=A,σ(B)=B.若A=B,则:A(ε1,ε2,…,εn)=B(ε1,ε2,…,εn)所以(ε1,ε2,…,εn)A=(ε1,ε2,…,εn)B从而A=B,故σ是L(V)到Mn(P)的一个映射.若σ(A)=σ(B),即A=B,由引理1的唯一性,A=B,所以σ是L(V)到Mn(P)的一个单射。对任意A∈Mn(P),由引理1,存在A∈L(V),使σ(A)=A,所以σ是L(V)到Mn(P)的一个满射。因此,σ是L(V)到Mn(P)的一个双射。对任意A,B∈L(V),对任意k∈P,设A(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)AB(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)B则σ(A)=A,σ(B)=B.由定理2:(A+B)(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)(A+B)(kA)(ε1,ε2,…,εn)=(ε1,ε2,…,εn)(kA)所以σ(A+B)=A+B=σ(A)+σ(B)σ(kA)=kA=kσ(A)因此,L(V)与Mn(P)同构。定理5设V为数域P上的n维线性空间,ε1,ε2,…,εn是V的一组基,;i,j,=1,2,…,n。则维(L(V))=n2,Eij(i,j=1,2,…,n)为L(V)的一组基。证明:由定理4,L(V)与Mn(P)同构.由定理3:维(L(V))=维(Mn(P))因为维(Mn(P))=n2所以维(L(V))=n2从而,L(V)中任意n2+1个向量都是线性相关的,故要证明n2个向量Eij(i,j=1,2,…,