专题02 二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象与性质（知识串讲+4大考点）解析版

专题02二次函数y=ax²与y=ax²+k的图象与性质考点类型知识串讲（一）画函数图像(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点两侧对称取点;(2)描点:先把y轴右侧的点描出来,然后根据对称性描出左侧的点;(3)连线:按照从左到右的顺序,用平滑的曲线连接（二）二次函数y=ax²图像性质（三）二次函数y=ax²+k图像性质考点训练考点1：画函数图像典例1：（2022春·全国·九年级专题练习）通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x【答案】见解析【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象．【详解】解：列表得：x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…描点、连线．【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键．【变式1】（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=(1)画出它的图象；x……y……(2)当x_______时，y随x增大而减小；(3)该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是____________﹔【答案】(1)见解析(2)<1(3)y=-【分析】（1）根据列表法作出函数图象；（2）根据函数图象即可得出结论；（3）根据轴对称的性质即可求解．【详解】（1）解：列表如下，x…-2-101234…y…50-3-4-305…描点，连线如图所示：（2）解：由图象得，当x<1时，y的值随x值的增大而减小，故答案为：<1；（3）解：y=x2-2x-∴该函数图象关于x轴对称的抛物线的函数表达式是:y=-x-1故答案为：y=-x【点睛】本题考查画二次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．【变式2】（2022秋·河南商丘·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x-2在给定的直角坐标系中，画出该函数的图象；【答案】(1)见解析【分析】（1）利用列表，描点，连线作出图形即可；【详解】（1）解：根据题意，列出表格，如下：x……01234……y……0-3-4-30……画出函数图象，如图：【点睛】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数y=ax-h2+k【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）画出函数y＝﹣x2＋1的图象．【答案】见解析【分析】根据列表、描点连线的方法画出二次函数图象即可求解．【详解】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描点、连线如图．【点睛】本题考查了画二次函数图象，掌握y=ax考点2：二次函数y=ax²的图像性质典例2：（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=m-2x2有最高点，那么m【答案】m<2【分析】根据二次函数y=m-2x2【详解】解：∵抛物线y=m-2∴抛物线开口向下，∴m-2<0，∴m<2，故答案为：m<2．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．【变式1】（2022秋·湖南长沙·九年级统考期中）对于二次函数y=ax2a≠0，当x取x1，x2【答案】0【分析】先判断出二次函数图像对称轴为y轴，再根据二次函数的性质判断出x1，x【详解】解：二次函数y=ax2的对称轴为∵x取x1∴x1，∴x∴当x取x1+x故答案为：0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出x1，x【变式2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2开口向上，且2-a=3，则【答案】5【分析】根据二次函数开口朝上，得到a>0，然后化简2-a=3，即可求得a【详解】∵二次函数y=ax∴a>0，∵2-a∴2-a=-3或2-a=3∴a=5或a=-1又∵a>0∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，绝对值的化简，关键是根据二次函数的开口方向判断a的正负．【变式3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）对于二次函数y=ax2和y=bx2，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，c≠1），根据二次函数图象的相关性质可知：c=_________x1cy=anny=bn+3m【答案】-13【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．【详解】y=ax2和y=bx可将表格中的数表示为坐标(1,n),(c,n),(1,n+3),(c,m)∵(1,n),(c,n)两点纵坐标相等，且c≠1∴c=-1∵(1,n+3),(c,m)横坐标关于y轴对称∴m=n+3∴m-n=3故答案为：-1；3【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．考点3：二次函数y=ax²+k的图像性质典例3：（2022秋·九年级单元测试）已知点Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=-3x2+5上的两点，若x1<【答案】＜【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线y=-3x2+5可知：a=-3<0∴当x<0时，y随x的增大而增大，∴当点Ax1,y1，Bx2故答案为＜．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【变式1】（2023·宁夏银川·校考一模）已知一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a和b，则抛物线y=abx【答案】0【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出ab和a+b的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是a和∴a+b=4，则抛物线解析式为：y=3x∴抛物线顶点坐标为0，故答案为：0，【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：x1+【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=-2x2-3【答案】y轴【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】解：抛物线y=-2x2-3故答案为：y轴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．【变式3】（2023·上海浦东新·统考二模）抛物线y=x2-2在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而_____．（填“增大”或“【答案】减小【分析】先求出该抛物线的对称轴，再根据其开口方向和增减性，即可进行解答．【详解】解：该抛物线的对称轴为直线x=-b即该抛物线的对称轴为y轴，∵a=1>0，抛物线开口向上，∴在y轴的左侧部分，y的值随着x的值增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．考点4：函数值的大小比较典例4：（2022秋·广东广州·九年级统考期末）已知点A-1,y1、B2,y2在抛物线y=2x2-1上，则y1、y2的大小关系为：y1_________【答案】<【分析】分别求出x=-1和x=2时的函数值，即可得到答案．【详解】解：当x=-1时，y=2x2-1=2×当x=2时，y=2x2-1=2×∴y1故答案为：<．【点睛】此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键．【变式1】（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）若二次函数y=-x2+3的图像经过点-3,y1、-4,y2，y【答案】>【分析】根据抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y【详解】∵抛物线y=-x2+3的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x∴y1故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+c的基本性质，对称轴为y轴，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y【变式2】（2021秋·上海青浦·九年级校考期中）如果点A-3,y1和点B2,y2是抛物线y=x2+a上的两点，那么y1______y2．（填“【答案】>【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【详解】解：∵y=x∴抛物线的对称轴是直线x=0，抛物线的开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，∵-3<-2<0，∴y故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．【变式3】（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）已知点-4，y1、-1，y2、53，y3都在函数y=-x2+5【答案】y【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是y轴，再根据二次函数的性质，得出图象开口向下，当x<0时，y随x的增大而增大，再根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．【详解】解：∵y=-x∴二次函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，∴当x<0时，y随x的增大而增大，∵-4，y1、-1，y∴点53，y3关于对称轴的对称点的坐标是∵-1>-5∴y2故答案为：y2【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解本题的关键．同步过关一、单选题1．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）关于二次函数y=-5x2，下列说法中正确的是（A．图象的开口向上 B．当x<0时，y随x的增大而增大C．图象的顶点坐标是-5，0 D．当x=0时，y【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【详解】解：∵a=-5<0，∴图象的开口向下，故选项A错误；∵b=0，∴对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B正确；图象的顶点坐标是0，0，故选项∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴当x=0时，有最大值0，故选项D错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键．2．（2022秋·九年级单元测试）对于函数y＝x2，下列判断中，正确的是(

)A．若m、n互为相反数，则x＝m与x＝n对应的函数值相等B．对于同一自变量x，有两个函数值与之对应C．对于任意一个实数y，有两个x值与之对应D．对于任何实数x，都有y＞0【答案】A【分析】根据二次函数的对称性，函数的定义，二次函数与不等式对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A.∵函数y=x2关于y轴对称，∴若m、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等正确，故本选项正确，B.应为对于同一自变量x，有一个函数值与之对应，故本选项错误，C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应错误，例如，x＝0时，y有唯一的值0对应，故本选项错误；D、x＝0时，y＝0，所以对于任何实数x，都有y＞0错误，故本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，函数的定义，是基础题．3．（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）下列函数中，开口方向向上的是（）A．y=ax2 B．y=-2x2 C．【答案】C【分析】当二次函数的中二次项的系数大于0时，其开口向上，可求得答案．【详解】解：在y=ax当a＞在y=12x2∴其开口向上，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的中二次项系数的正负决定抛物线的开口方向是解题的关键．4．（2023秋·河北唐山·九年级校考期末）二次函数y=x2+2A．0,2 B．0,-2 C．2,0 D．-2,0【答案】A【分析】据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案．【详解】解：二次函数y=x2+2故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k5．（2023春·江苏·九年级专题练习）已知二次函数y=x2-1图象上三点：-1,y1A．y1<y3<y2 B．【答案】B【分析】把三个点的横坐标代入求出纵坐标，比较大小即可．【详解】解：把-1,y1,2,y所以，y1故选：B．【点睛】本题考查了比较二次函数函数值大小，解题关键是求出函数值，直接进行比较．6．（2022秋·安徽亳州·九年级校考阶段练习）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（

）A．y=1x B．y＝－2xC．y=-2x2 D【答案】D【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、反比例函数，k=1>0，当x＞0时，y随x的增大而减小，不符合题意；B、一次函数，k=-2<0，y随x的增大而减小，不符合题意；C、二次函数，a=-2<0，开口向下，对称轴为x=0，当x＞0时，y随x的增大而减小，不符合题意；D、二次函数，a=3>0，开口向上，对称轴为x=0，当x＞0时，y随x的增大而增大，符合题意；故选：D【点睛】此题考查了二次函数、反比例函数以及一次函数的性质，解题的关键是掌握它们的有关性质．7．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2＋1的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y＝x2＋1中，a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B．故选B．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．8．（2023秋·四川广安·九年级校考阶段练习）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1A．a1＞aC．a2＞a【答案】A【分析】根据二次函数y=ax2中a的绝对值越大开口越小,a>0开口向上，【详解】解：如图所示：①y=a1x2的开口小于②③y=a3x2则a4故a1故选：A．【点睛】本题考查了y=ax2的图象与性质，掌握9．（2023秋·广东广州·九年级校考阶段练习）若在同一直角坐标系中，作y=x2，y=x2+2A．都关于y轴对称 B．开口方向相同C．都经过原点 D．互相可以通过平移得到【答案】A【分析】从三个二次函数解析式看，它们都缺少一次项，即一次项系数为0，据此可解答．【详解】解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0，故对称轴是直线x=-b2a=0，即对称轴为y轴，所以都关于yy=x2，y=xy=x2经过(0，0)，y=x2+2经过(0，2)，y=-2故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质与系数的关系，需要熟练掌握二次函数性质是解题关键．10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）抛物线y=2xA．(4,0) B．0, 4 C．2, 【答案】B【分析】形如y=ax2+k【详解】解：抛物线y=2x2+4故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a(x-k)2+h的顶点坐标是(k11．（2022春·全国·九年级专题练习）已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（

）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2023 B．y＝2（x﹣1）2+2023C．y＝﹣2（x+1）2+2023 D．y＝2（x+1）2+2023【答案】C【分析】先根据顶点坐标为（﹣1，2023）可设顶点式为y＝a（x+1）2+2023，然后根据二次函数的性质确定a的值即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2023），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2023，∵抛物线y＝a（x+1）2+2023与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+2023．故选：C．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．12．（2023秋·贵州黔南·九年级统考期中）已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,yA．y3＜y3＜y2 B．y1＜y3＜y3 C．y3＜y2＜【答案】C【详解】解：∵二次函数的解析式为y=2x2-3，∴抛物线的对称轴为y轴，

∵A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3），∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，

∵抛物线开口向上，∴y2＜y1＜y3．故选：C．13．（2022春·九年级课时练习）若一条抛物线与y=12x2的形状相同且开口向下，顶点坐标为A．y=-B．y=C．y=-D．y=【答案】C【分析】根据抛物线与y=12x2的形状相同且开口向下，可知a=-12；再由顶点坐标为（【详解】解：∵抛物线与y=1∴a=-∵顶点坐标为（0，-2）∴抛物线解析式为y=-故答案是：C.【点睛】本题考查了y=a(x-h)2+k中14．（2023秋·九年级课时练习）二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】关于二次函数y=x2和y=2x2，①它们的图象都是开口向上，正确；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)，正确；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大，正确；④它们开口的大小是一样的，错误，开口大小与|a|的绝对值有关，|a|的绝对值越大，开口越小，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键.15．（2022春·九年级课时练习）如图，矩形纸片ABCD中，BC=4，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，又因为BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，分别用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一个关于x和y的关系式，化简即可．【详解】解：连接DE，△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又因为PE为∠BPC′的角平分线，可推知∠EPD=90°，已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，化简得：y=-13x2+43x(0≤x≤4结合题意，只有选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．二、填空题16．（2023秋·天津宝坻·九年级阶段练习）抛物线y=x2+14的开口向___，对称轴是____【答案】上y轴【详解】试题分析：抛物线y=x2+的开口向上，对称轴为y轴．考点：二次函数的性质．17．（2023秋·山东淄博·九年级统考期末）物线y=-x2+3【答案】(0,3)【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．【详解】∵抛物线y=-x∴抛物线y=-x2+3故答案为：0,3．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式的图象和性质是解题的关键．18．（2023秋·云南昭通·九年级统考期中）二次函数y=2x2的图象经过点A-1,y1、B2,y2，则y1______y2．（填【答案】<【分析】根据a＝2＞0，对称轴为y轴，在对称轴右侧y随x的增大而增大，利用对称轴把A（﹣1，y1）转移到A′（1，y1），根据二次函数性质即可得解．【详解】解：∵a＝2＞0，∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧y随x的增大而增大，A（﹣1，y1）关于对称轴对称的点A′（1，y1），∵1＜2，∴y1＜y2，故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．19．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，则m的范围是【答案】m<-1【分析】由抛物线有最高点可得m+1<0，进而求解．【详解】解：∵y=(m+1)x∴抛物线顶点坐标为(0，当m+1<0时，抛物线有最高点，∴m<-1，故答案为：m<-1．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．20．（2022秋·九年级单元测试）已知点Ax1,y1，Bx2,y2是抛物线y=-3x2+5上的两点，若x1<【答案】＜【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】解：由抛物线y=-3x2+5可知：a=-3<0∴当x<0时，y随x的增大而增大，∴当点Ax1,y1，Bx2故答案为＜．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．21．（2023秋·天津·九年级校考阶段练习）若点A、B是二次函数y＝-5x2图像上的两点，已知x1<x2<0,则y【答案】<【分析】根据二次函数解析式可得x<0时y随x增大而增大，进而求解．【详解】解：∵y=-5x∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴x<0时，y随x增大而增大，∵x∴y故答案为：<．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质22．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=x2-2【答案】(-1,-1)、(2,2)【分析】设函数y=x2-2的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是(a,a)，则a=【详解】解：设函数y=x2-2的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是(a,a)，则a=解得a1故符合条件的点的坐标是：(-1,-1)、(2,2)．故答案为：(-1,-1)、(2,2)．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．23．（2023秋·浙江金华·九年级统考期中）如果抛物线y=(a﹣1)x2的开口向下，那么a的取值范围是________．【答案】a<1【分析】利用二次函数的图像及性质，列不等式求解即可．【详解】∵抛物线y=(a﹣1)x2的开口向下，∴a-1＜0，解得：a＜1．故答案为a<1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．”是解题的关键．24．（2023秋·甘肃定西·九年级阶段练习）如图，P1、P2、P3…PK分别是抛物线y=x2上的点，其横坐标分别是1，2，3…K，记△OP1P2的面积为S1，△OP2P3的面积为S2，△OP3P4的面积为S3，则S10=_______________．【答案】55.【详解】试题解析：由题意得，点P11（11，121），点P10（10，100），S10=12×11×121-12×10×100-12×（100+121）×=1331-1000-221=110=55．考点：二次函数图象上点的坐标特征．25．（2022春·九年级课时练习）已知a<0，二次函数y=-ax2的图象上有三个点A-2,y1,B1,y2【答案】y2<y1<y3【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为y轴，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．【详解】解：∵二次函数y=-ax2（a＜∴-a>0，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．∵A-2,y1,B1,y2,C3,y3为二次函数y=ax2-3ax+c（a＜0）的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴y轴的距离远近顺序为：（3，y3∴三点纵坐标的大小关系为：y2<y1<y3．故答案为：y2<y1<y3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．三、解答题26．（2022秋·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中画出y=x【答案】见解析【分析】根据题目中的函数解析式先列表，选数值时注意正负数都要取到，然后在坐标系中描点，连线画出二次函数图象，即可解答本题．【详解】解：函数y列表x－3－2－10123y9410149描点，连线【点睛】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确画函数图象的方法．27．（2023春·全国·九年级专题练习）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位．（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；（2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0；（3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系．【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）平移后的函数图象如图所示，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3，即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”.28．（2023春·九年级课时练习）二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2【答案】二次函数y=5x2-3的图象与二次函数y=5x2的图象都是拋物线．并且形状相同，只是位置不同；将函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度，就得到函数y=5x2-3的图象．二次函数y=5x2-3的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y【分析】由于二次函数y=5x2-3与二次函数y=5x2的二次项系数相同，所以将y=5x2的图象向下平移3个单位可以得到y=5x2-3的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，由二次项系数可知开口方向，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴．【详解】二次函数y=5x2-3的图象与二次函数y=5x2的图象都是拋物线．并且形状相同，只是位置不同；将函数y=5x2的图象向下平移3个单位长度，就得到函数y=5x2-3的图象．二次函数y=5x2-3的图象是轴对称图形，它的开口向上，对称轴是y【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．29．（2023·九年级统考课时练习）观察下列数表：第一列第二列第三列第四列第一行1234第二行2345第三行3456第四行4567……………(1)根据数表所反映出的规律，写出第n行第n列交叉点上的数；(用含n的代数式表示)(2)已知k是上表中第6行第7列交叉点的数，求二次函数y=-2x2+k的图像与x(3)若将(2)y=-2x2+k中的图像向下平移【答案】(1)2n-1；(2)与x轴交点的坐标为6,0、-6,0；与y轴交点的坐标为0,12；【分析】（1）分析表中数据可知第a行第b列交叉点上的数正好是a＋b−1，即可得出答案．（2）根据已知k是上表中第6行第7列交叉点的数，即可得出k＝6＋7−1＝12，进而得出二次函数y＝−2x2＋k的图象与x轴、y轴交点的坐标；（3）根据将y＝−2x2＋k的图象向下平移13个单位，即在函数解析式上直接减13，即可得出y＝−2x2＋12−13＝−2x2−1．【详解】(1)根据分析可知第n行第n列交叉点上的数应为n+n-1=2n-1.(2)由(1)得出：第6行第7列交叉点的数为k=6+7-1=12，则二次函数y=-2x2+12的图像与x轴相交，得0=-2与x轴交点的坐标为6,0、-6,0；与y(3)将y=-2x2+k的图像向下平移13【点睛】本题考查规律型：数字的变化类、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握规律型：数字的变化类、待定系数法求二次函数解析式的计算.30．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知y=（1）若其图像开口向下，求k的值；（2）若当x<0时，y随x【答案】（1）k=-3；（2）y=【分析】（1）根据题意，k2+k-4=2，解出k的值，再根据函数图象开口向下，得到（2）根据二次函数的图象和性质得到图象开口向上，把k=2代入原函数求解．【详解】解：（1）∵y=k-1∴k2+k-4=2，整理得k2+k-6=0，k+3k-2∵函数图象开口向下，∴k-1<0，即k<1，∴k=-3；（2）∵当x<0时，y随着x的增大而减小，∴图象开口向上，∴k>1，则k=2，将k=2代入原式，得到y=2-1x2【点睛】本题考查二次函数的定义以及函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．31．（2023春·九年级课时练习）设正方形的边长为a，面积为S，试画出S随a的变化而变化的图象．【答案】【分析】根据正方形的面积公式，可得函数关系式，根据描点法，可得函数图象．【详解】解：由正方形面积公式，得S=a2（a＞0）．在直角坐标系中画出S=a2，如图：【点睛】本题考查了二次函数图象，利用了描点法画函数图象，注意图象不包括原点．32．（2022秋·山东滨州·九年级统考期末）（1）解方程：x-4x-3（2）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图像经过抛物线y=3x2上的点【答案】（1）x1=7,x2=0；（【分析】（1）先整理．利用因式分解法解答，即可求解；（2）将P1,m代入y=3x2，可得P点的坐标为【详解】（1）解：x-4去括号得：x移项，得：x2即x所以x-7=0或x=0所以x1（2）解：将P1,m代入y=3x所以P点的坐标为1,3将1,3代入y=kx【点睛】本题主要考