2022-2023学年北京重点大学附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京重点大学附中高二(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知为等差数列，=%则=()

A.4B.6C.8D.10

2.函数/(%)=£：/+加；+(7(£140)在％=1处的瞬时变化率为()

A.4aB.2a+bC.bD.4a+b

3.己知数列｛an｝的前?i项和Sn=n?-7n,若3＜以＜5,则k=()

A.8B.7C.6D.5

4.已知函数y=/'(%)的图象如图所示，那么下列结论正确的是()

A./(a)=0B.f'(x)没有极大值

C.x=b时，/(x)有极大值D.x=c时，/(X)有极小值

un

5.在等比数列｛即｝中，的＞。，则'&＜aj是a3＜a5的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.与正整数n有关的数学命题，如果当九=代卜6乂卜21)时该命题成立，则可推得当n=

k+1时该命题成立.现得知n=11时命题不成立，那么可推得()

A.当n=10时，该命题不成立B.当n=12时，该命题不成立

C.当n=10时，该命题成立D.当n=12时，该命题成立

7.世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载靖，他当时

称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音,

从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是

第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率左°=440Hz,则与第四个单音的频率。最接

近的是()

A.880HzB.622HzC.311HzD.220Hz

8.若函数/(%)=。/一3/+%+1恰好有两个极值，则实数。的取值范围是()

A.(-00,3)B.(-00,3]C.(-00,0)U(0,3]D.(-8,0)U(0,3)

9.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为积特征列”，若

各项均为正数的等比数列｛%｝为“6积特征列”，且%>1,则当｛即｝的前n项之积最大时，n

的最大值为()

A.5B.4C.3D.2

10.设。=e,b=2,c=蔡则a,b,c大小关系是()

A.a<c<bB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.设/0)=混*,若f'(xo)=0,则.

12.已知｛%｝为等差数列，S"为其前n项和，若的=6,S3=2%,则公差d=,S”的

最大值为.

13.若三次函数/(%)=al+x在区间(_8,+8)内是增函数，则a的取值范围是.

14.已知函数/(x)=a(x-a)(x-b)2(a,beR),当％=6时，/(x)有极小值.写出符合上述

要求的一组a,b的值为a=,b—.

15.项数为k(keN*,kN2)的有限数列｛5｝的各项均不小于一1的整数，满足

2k-2+a3.2k-3---pak_1-2+ak=0,其中的*0.给出下列四个结论:

①若k=2,则a?=2；

②若k=3,则满足条件的数列｛。工有4个；

③存在的=1的数列｛6｝;

④所有满足条件的数列｛a"中，首项相同.

其中所有正确结论的序号是_.

三、解答题(本大题共6小题，共85.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(本小题14.0分)

已知等比数列｛an｝的前4项和S4=5,且4%,|。2，。2成等差数列.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设｛bn｝是首项为2,公差为-的的等差数列，其前n项和为彩，求满足7；>0的最大正整数加

17.（本小题14.0分）

己知函数/。）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值.

（1）求实数a的值；

（2）当*G[—2,1]时，求函数/（X）的最小值.

18.（本小题14.0分）

在数列｛/i｝中,%=2,an+i=an+cn（neN*,常数cHO）,且%,a2,<13成等比数列.

（/）求c的值；

（II）求数列｛即｝的通项公式.

19.（本小题14.0分）

如图，有一个长方形地块力BCD,边AB为2km,AD为4km.,地块的一角是湿地（图中阴影部

分），其边缘线4c是以直线4D为对称轴，以4为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边

缘线AC上一点P的直线型隔离带EF,E,F分别在边AB,BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地

面积忽略不计）.设点P到边4。的距离为£（单位：km）,ABEF的面积为S（单位：km2）.

（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）是否存在点P,使隔离出的ABEF面积S超过北加2?并说明理由.

20.(本小题14.0分)

已知函数/'(X)=ex—1—msinx(meR).

(1)当m=1时，

(i)求曲线y=/(x)在点(O,/(O))处的切线方程;

(ii)求证：Vx€(0理，/(%)>0.

(2)若f(x)在(0,匀上恰有一个极值点，求m的取值范围.

21.(本小题15.0分)

记项数为2022且每一项均为正整数的有穷数列｛斯｝所构成的集合为4若对于任意的p、q6

[l,2022](p,q€N),当p+q€4时，^ap+aqEA,则称集合4为“子列封闭集合”.

(1)若即=n(l〈nW2022,n6N),判断集合4是否为“子列封闭集合”，说明理由；

(2)若数列｛册｝的最大项为。2022,且AC[2023,4044]K。,证明：集合A不是“子列封闭集合”；

(3)若数列｛即｝为严格递增数列，。2。22=4046,且集合4为“子列封闭集合”,求数列｛an｝的

通项公式.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的性质，是基础题.

利用等差数列的性质直接求解.

【解答】

解：••・｛的1｝为等差数列，。5=4,

—2a$—8.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】解：由/(x)=ax2+bx+c(a40)可知/(x)=2ax+b(a丰0),

所以r(l)=2a+b,

即f(x)在x=1处的瞬时变化率为2a+b.

故选：B.

根据导数的意义直接求解.

本题主要考查导数的意义，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查数列通项公式的求法及其应用，属于基础题.

由题设求得数列｛即｝的通项公式的，代入3<%<5,即可求得结果.

【解答】

2

解：由&=?12-771,可得：Sn_!=(n-l)-7(n-l)(n>2),

两式相减整理得：an=2n-8,n>2,

又当n=1时，有的=Si=1—7=—6,也适合上式,

所以@九=271—8,

由3<耿<5,可得：3<2k-8<5,解之得：y<fc<y,

又keN*,

可得k=6.

故选：C.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、数形结合方法，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

由图象可知：f(a)=f'(d)=f(c)=0.根据导函数的正负研究函数/(x)单调性极值即可得出结论.

【解答】

解：如图所示，设函数y=f'(x)的图象在原点与(c,0)之间

的交点为(d,0).,I

由图象可知：r(a)=/'(d)=((c)=0./;\I

%va时，(。)vo,此时函数/(%)单调递减；av%vd时，/!y/

f(x)>0,此时函数fQ)单调递增；d<x<c时，/'(%)<0,[]][、

此时函数f(x)单调递减；c<x时，f'(x)>0,此时函数f(x)r

单调递增.I-V

可得：a是函数f(x)的极小值点，d是函数/(X)的极大值点，

c是函数/'(%)的极小值点.

b不是函数f(x)的极值点，f(a)=0不一定成立.

故选：D.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键.

根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可.

【解答】

解：在等比数列中，若的<&4,即

•••cij>0,1<q3,

即q>l,则篙=q2>l,即a3<a5成立，

若等比数列1,-2,4,-8,16,

满足<a5,但&<不成立，

故"的<aj是“。3<。5”的充分不必要条件，

故选：A

6.【答案】A

【解析】解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，

因为当n=10时命题成立，则可以推出当n=11时该命题也成立，

所以当n=11时命题不成立，则可以得到当n=10时命题不成立.

故选：A.

利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论.

本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

设十三个单音构成的等比数列仇｝的公比为q,从而得午=qi2=2,再由%=.q-6求得.

本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题.

【解答】

解：由题意，设十三个单音构成的等比数列｛加｝的公比为q,

则与=q12=2,

11

而人=九•q-6=440•£=220<7x311.08,

故与220/1最接近的是311Hz,

故选：C.

8.【答案】D

【解析】解：/(%)=ax3-3x2+x4-1,则/(%)=3a%2-6%+1,函数定义域为R,

・.•函数f(x)恰好有两个极值，

••・/(%)=3a%2-6%+1有两个不相等的零点，

故方程3a/-6%+1=0有两个不相等的实根，

则片解得a<0或。<a<3,

二实数a的取值范围是(一8,0儿(0,3).

故选：D.

由题意得尸(x)=3a/-6x+l,函数定义域为R,利用函数/(x)恰好有两个极值，说明导函数有

两个不同的零点，即可得出答案.

本题考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

9.【答案】C

【解析】解：｛时｝是等比数列，•••每=%勺或1,

•，是'6积特*(£歹!J，:，TIT=6,即。6=a1a2a3a4a5a6，

22

•••arq=1,%=q~,

因为是正数列，的>1,

.%0<q<1,

设数列｛a„｝的前n项之积为则有P-aa-a=心。1+2+3+…+5-D-0胶产，

•••0<q<l,.•・当指数号最小时，心最大，

当n=5时，包要最小，又n€N*,

•••n=2或n=3时,6最大.

故选：C.

根据“m积特征列”的定义求出数列｛aj的内和q之间的关系，再求前n项之积的最大值.

本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了数列的函数特征，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：考查函数/(©=・，则[(无)=岩，f(x)在(e,+8)上单调递增,

or以[LTIX]

•.•e<3<兀，••./(€)</(3)<f(zr),即><告<4，

‘、'八'八'1nem3InTr

­­a<c<b,

故选：A.

构造函数/'0)=送，根据/(乃的单调性可得f(e)<f(3)</(7r),从而得到a,b,c的大小关系.

本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题.

11.【答案】一1

【解析】解：,：/(x)=xeX,

:.f'(x)=(1+x)ex,

x

f'Oo)=(1+x0)e°=0

**,XQ=-1,

故答案为：-1

根据导数的运算法则求导，再代值计算即可

本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题.

12.【答案】一212

【解析】解：因为｛即｝为等差数列，%=6,S3=2%,

所以3x6+3d=12,

则d=-2,

2

Sn=6n+x(—2)—7n—n,

结合二次函数的性质可知，当?1=3或zi=4时，S.取最大值12.

故答案为：一2,12.

由已知结合等差数列的求和公式可求d,然后结合求和公式及二次函数的性质可求.

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，二次函数性质的应用，属于基础题.

13.【答案】(0,+8)

【解析】解：•・・[(无)=3ax24-1,

QW0,・•・/'(X)=3ax2+1>0在(-8,+8)恒成立

则有a>0；

故答案为：(0,4-00).

求出函数f(%)的导函数，令导函数大于等于0在(-8,+8)上恒成立，分析可得a的范围.

解决函数的单调性已知求参数范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于(或小于等于)0恒成立.

14.【答案】4(答案不唯一)5(答案不唯一)

【解析】解：当a=0时，/(%)=0无极小值，故aW0,

H)=a(x—b)2+2a(x—a)(x-6)=a(%—6)(3x—2a—/?),

由/'(%)=0可得％=b或x=驾2

当a>0时，由x=b时，f(x)有极小值可知等<b,即0<a<b,

当a<0时，由x=b时，f(x)有极小值可知b〈等，即b<a<0.

所以a,b的一组取值可取a=4,b=5.

故答案为：4；5(答案不唯一，满足0<a<b或b<a<0即可).

由极小值的概念及求导法则即可求解.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

15•【答案】①②④

【解析】解：因为有限数列｛。工的各项均不小于-1的整数，

所以。几2—1,n&N*,anGZ,

k-1

又因为的•2+a2•2k-2+a3.2k-3+...+afcl-2+ak=0,

k-1k2k31

所以的•2=-(a2-2k—+a3.2k-3+...+afel-2+ak)<(2-+2-+•••+24-1)=

2"T-1,

所以—lW%且为力0,%为整数,

所以的=一1,所以③错误，④正确；

当k=2时，得2ai+a2=0，所以的=-1,则。2=2,故①正确；

当k=3时，得4al+2a2+a3=0,

又因为的=-1,

所以2a2+%=%贝！J2a2=4一的工5,

所以一1以23|，。2为整数，

则£12的可能取值为一1,0,1,2,对应的&3的取值为6,4,2,0,

故数列｛an｝可能为-1,—1,6；—1,0,4；—1,1,2；—1,2,0,共4个，故②正确.

故答案为：①②④.

k1k-21k-1fc-1

由题意可得由•2~<(2+2k-3+..1+2+1)=2-1,所以一1<<1-(1)<1,

%=-1,从而可判断③，(4)；

当k=2时，得2%+(12=0，所以的=—1,则。2=2,从而判断①；

当k=3时，可得一1以23|，则C12的可能取值为一1,0,1,2,对应的的取值为6,4,2,0,

从而可得数列｛斯｝，即可判断②.

本题考查了有穷数列的性质、不等式的性质，也考查了逻辑推理能力，属于中档题.

16.【答案】解：⑴raLlazg成等差数列，

3a2=4al+a2>即a2=2a1，

•••等比数列｛册｝的公比为2,

又等比数列｛即｝的前4项和S4=5,

.•£=空早=5,解得的=：，

1-L。

1?71—1

・・・Qn=W.2九-1=—；

(2)由(1)得一%=｛b｝是首项为2,公差为-的的等差数列，

bn=2-1(n-1)=-

=_(-6)+(-5)+…+(几-7)__21"__n(n-13),

••九一3一3一6

令〃>0,即迎尹<0,解得0<n<13,又neN*,

6

••・满足〃>0的最大正整数兀=12.

【解析】(1)根据等差数列定义可求得等比数列｛an｝的公比，结合等比数列求和公式可得即，根据

等比数列通项公式，即可得出答案；

(2)利用等差数列求和公式可求得及，解不等式2>0,即可得出答案.

本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档

题.

17.【答案】解:⑴,。)=3x2-3a,

又函数f(x)在久=一1处取得极值，则［(-1)=3-3a=0；

即a=l,此时/(x)在(一8,-1)上单调递增，在(一1,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增；

所以当a=1时满足条件；

所以a=1；

(2)由(1)可知/(x)在上单调递增，［一1,1］单调递减；

所以当X6时，函数”X)的最小值是f(—2),/(I)中的较小者；

/•(-2)=-3,/(I)=-3；

故函数/(x)的最小值为-3.

【解析】本题考查极值，函数最值，属于基础题.

(l)f(x)在x=—1处取得极值，贝，(―1)=0可求出a的值；

(2)求出函数在［-2,1］上的单调区间，从而得出函数的最小值.

18.【答案】解：(I)由题知，a】=2,a2=2+c,a3=2+3c,(2分)

因为的,a2,a?成等比数列，所以(2+C)2=2(2+3C),(4分)

解得c=0或c=2,又cK0,故c=2.(6分)

(H)当nN2时，由a"+i=即+cn

彳导-=C，

a3—a2—2c,

an-an-i=l)c,

以上各式相加，得册—%=[1+24------F(n—l)]c=(9分)

又%=2,c=2,故口九=n2—n+2(n>2),(11分)

当n=1时上式也成立，(12分)

2

所以数列｛an｝的通项公式为册=n-n4-2.(n6N*).(13分)

【解析】(/)由题知，的=2,a2=2+c,a3=2+3c,根据的,心，他成等比数列，列出关于c的

方程并求解即可.

(H)利用累加法可以求得即一。】=[1+2+…+(n—l)]c=若④c,利用(I)求得的c,代入求

出通项.

本题考查了等比数列的定义、性质，累加法求通项.

19.【答案】解：(1)如图，以4为坐标原点0,4B所在直线为x轴，建立

平面直角坐标系，则C点坐标为(2,4).

设边缘线4c所在抛物线的方程为y=ax2,

把(2,4)代入，得4=QX22,解得。=1,

・•・抛物线的方程为y=/.

vyr=2%,

・・•过P(t,t2)的切线EF方程为y=2tx-t2.

令y=0,得E(g,0)；令x=2,得F(2,4t-t2),

.•.S=l1(2-1t)(4t-tr2),

1

.-.S=i(t3-8t2+16t),定义域为(0,2].

(2对=J(3t2-16t+16)=1(t-4)(t-%

由S'(t)>0,得0<t<土

.•・s(t)在(0,3上是增函数，在G，2]上是减函数,

S在(0,2]上有最大值S(§=祟

••・不存在点P,使隔离出的ABEF面积S超过3/£加2.

【解析】(1)如图，以4为坐标原点。，AB所在直线为%轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为(2,4).

设边缘线所在抛物线的方程为2把代入，可得抛物线的方程为.由于

4cy=ax,(2,4)y=-y，=2x,

可得过「。户)的切线EF方程为y=2tx-t2.可得E,F点的坐标，S=；(2-g)(4t-产)，即可得

出定义域.

(2)S=|(2-1)(4t-t2),利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程，考查了分析问题与

解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)当瓶=1时，//(x)=ex-cosx,

(回)/'(0)=e°—cosO=0,又/(0)=e。-1一sinO=0,所以切线E方程为y=0.

(0)/(%)=ex—1-sinx,/'(%)=e*—cosx,因为工€((),]),所以e">l,-cosx>—1,

所以e"—cosx>0,所以/'(%)=ex—cosx>0,

所以f(%)在(0,今单调递增,所以f(%)>/(0)=0.

(II)/(%)=ex—1—sinx,((%)=ex-cosx,

当mW1时，所以一zncosx>—cosx,

/'(%)=e*—mcosx>ex-cosx,

由(1)知，f(%)>0,

所以/㈤在(0,今上单调递增.

所以当mW1时，/(%)=靖一1一ms勿工没有极值点，

当m>1时，/'(%)=ex-mcosx,

因为y=e"与y=-zncos%在(0,，)单调递增，

所以八x)在(0,今单调递增，

所以((。)=1一6V0,/%)=/>0，

所以m6(01)使得广(工。)=0,

所以当OVxV^o时，//(x)<0,因此/'(%)在区间(0,Xo)上单调递减,

当沏<x<1时，/(X)>0,因此fQ)在区间(沏片)上单调递增，

故函数f(x)在(0,方上恰有一个极小值点，血的取值范围是(1,+«>).

【解析】(I当徵=1时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据

导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数f(x)的最值，即可证明结论；

(H)根据极值点与函数的关系，对m进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得m的

取值范围.

本题主要考查利用导函数研究函数的极值和最值，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为an=n(l<n<2022,nGN),

所以对于任意的p，q€[1,2022](p,q€N),当p+qeA时,

都有ap+aq=p+qeA,

所以集合4为“子列封闭集合”，

(2)(反证法)假设集合4是“子列封闭集合”，

因为4n[2023,4044]中0,所以存在正整数k(l<k<2022,k6N),

使得以e[2023,4044]nN,

即在一2022e[1,2022]nW,

因为2022+—2022=6A,所以。2()22+。依-2。22eA,0.2022+。依-2。22>a2022<

与。2022为集合4的最大元素矛盾，

所以假设错误，即集合Z不是“子列封闭集合”.

(3)由(2)知,集合4是“子列封闭集合”时,有4n[2023,4044]=0；

因为数列｛纵｝为严格递增数列，。2022=4046,所以4