一类广义倾斜模的刻画

一类广义倾斜模的刻画

1的治疗和最佳治疗在文献中的应用是左右和左右的自内射维数。以下问题仍然提供。问题ΛΛ的极小内射分解最后项的基座是非零的吗?如果Λ是Artin的,则回答显然是肯定的.Hoshino在文献[1,定理4.5]中证明了,当Λ的左、右自内射维数均不大于2时,回答也是肯定的.设Λ是一个Auslander-Gorenstein环.Fuller和Iwanaga在文献[2,命题1.1]中证明了该问题的回答仍是肯定的;在这种情形下,Iwanaga和Sato在文献[3,定理6]中进一步证明了ΛΛ的极小内射分解最后项的基座是本质的.在本文中,我们也将研究这个公开问题并给出其部分回答.作为Auslander’sk-Gorenstein环的一个自然推广,我们在文献中引入了k-Gorenstein模的概念,使得一个左、右Noether环Λ是k-Gorenstein的当且仅当它作为Λ-模是kGorenstein的,并且k-Gorenstein模的刻画与k-Gorenstein环的刻画是非常类似的(见文献).受上述结论的启发,在本文中,我们将证明如下结论.定理设Λ和Γ均是左、右Noether环,ΛU是一个广义倾斜模且Γ=End(ΛU).对非负整数k,如果ΛU是(k-2)-Gorenstein的且ΛU和UΓ的内射维数均是k,则ΛU的极小内射分解最后项的基座是非零的.为了证明上面的定理,我们将证明,存在N∈modΓop,使得ExtΓk(N,U)=0且ExtΓk(N,U)的任意单的商模都能嵌入到ΛU的极小内射分解的最后项.作为上面定理的直接结论,我们有,如果Λ是一个左、右自内射维数均为k的(k-2)-Gorenstein环,则ΛΛ的极小内射分解最后项的基座是非零的.这一结论推广了上面的Hoshino和Fuller-Iwanaga的结果.进一步在本文的最后,我们证明了,如果Λ是一个左、右自内射维数均为k的左拟(k-2)-Gorenstein环,则上面提到的结论仍是成立的.2k-goensenink-gohensent在本节中,我们给出一些定义和文中常用的事实.设Λ是一个环.我们用modΛ表示由所有有限生成左Λ-模组成的模范畴,用ModΛ表示由所有左Λ-模组成的模范畴.定义2.1称ΛU∈modΛ是一个广义倾斜模,如果ΛU是自正交的(即,对任意i1ExtΛi(ΛU,ΛU)=0),且有如下正合列:0→ΛΛ→U0→U1→···→Ui→···使得,(1)所有Ui都同构于ΛU的有限直和的直和项,(2)该序列用函子HomΛ(·,U)作用后仍正合.设Λ和Γ是环.称双模ΛTΓ是忠实平衡的,如果Λ=End(TΓ)且Γ=End(ΛT);称ΛTΓ是自正交的,如果对任意i1,ExtΛi(ΛT,ΛT)=0且ExtΓi(TΓ,TΓ)=0.对ΛU∈modΛ和UΓ∈modΓop的双模ΛUΓ,由文献[6,推论3.2]知,ΛUΓ是忠实平衡且自正交的当且仅当ΛU是广义倾斜的且Γ=End(ΛU),当且仅当UΓ是广义倾斜的且Λ=End(UΓ).设U,A∈modΛ(或modΓop)且i是一个非负整数.我们称A相对于U的级数不小于i,记为gradeUAi,如果对任意0j<i,ExtΛj(A,U)=0(或ExtΓj(A,U)=0).称A相对于U的强级数不小于i,记为s.gradeUAi,如果对A的任意子模B,gradeUBi(见文献).定义2.2设k是一个非负整数,U∈modΛ且Γ=End(ΛU).称U是k-Gorenstein的,如果对任意N∈modΓop和1ik,s.gradeUExtΓi(N,U)i.类似地可在modΓop中定义k-Gorenstein模.对任意T∈ModΛ(或ModΛop),我们用add-limΛT(或add-limTΛ)表示由所有同构于ΛT(或TΛ)的有限直和的正向极限的直和项的模组成的ModΛ(或ModΛop)的全子范畴.定义2.3设Λ是一个环且T∈ModΛ.对任意A∈ModΛ,如果存在ModΛ中的正合列···→Tn→···→T1→T0→A→0,使得对任意i0,Ti∈add-limΛT,则我们定义T-lim.dimΛ(A)=inf{n|存在ModΛ中的正合列0→Tn→···→T1→T0→A→0,使得对任意0in,Ti∈add-limΛT}.如果这样的整数不存在,则记T-lim.dimΛ(A)=∞对Λop-模,可类似地定义这样的维数.从现在起,Λ和Γ均是左、右Noether环,ΛU是一个广义倾斜模且Γ=End(ΛU).总假设0→ΛU→E0→E1→···→Ei→···是ΛU的一个极小内射分解,且0→UΓ→E0→E1→···→Ei→···是UΓ的一个极小内射分解.下面的结果给出了k-Gorenstein模的一些等价刻画,其中,(1)和(1)的等价性见文献[6,定理7.5],其余部分则包含在文献[5,定理II]中.定理2.4设k是一个非负整数.则下列陈述等价.(1)ΛU是k-Gorenstein的.(2)对任意0ik-1,U-lim.dimΛ(Ei)i.(3)对任意0ik-1,ExtΓi(ExtΛi(·,U),U)保持modΛ中的单同态.(1)UΓ是k-Gorenstein的.(2)对任意0ik-1,U-lim.dimΓ(Ei)i.(3)对任意0ik-1,ExtΛi(ExtΓi(·,U),U)保持modΓop中的单同态.称一个左、右Noether环Λ是Auslander’sk-Gorenstein的,如果对任意1ik,ΛΛ的极小内射分解的第i项的平坦维数不大于i-1.注意到,如果令ΛT=ΛΛ(或TΛ=ΛΛ)则定义2.3中所定义的维数就是模的平坦维数.于是由定理2.4知,Λ是一个k-Gorenstein环当且仅当它作为Λ-模是k-Gorenstein的.设A∈modΛ(或modΓop).称HomΛ(A,ΛUΓ)(或HomΓ(A,ΛUΓ))是A相对于U的对偶模,并记为A*.对Λ-模(或Γop-模)之间的同态f,记f*=Hom(f,ΛUΓ).用σA:A→A**表示典范赋值同态,其中σA是这样定义的:对任意x∈A和f∈A*,σA(x)(f)=f(x).称A是U-无挠的(或U-自反的),如果σA是一个单同态(或同构).在ΛU是广义倾斜的且Γ=End(ΛU)(更一般地,ΛUΓ是忠实平衡的)的条件下,易知modΛ(或modΓop)中的任意投射模都是U-自反的.下面结果中的前三个陈述是文献[8,定理4.7]中部分结果的U-对偶形式.定理2.5(见[5,定理5.4])设k是一个非负整数.则下列陈述等价.(1)对任意1ik和N∈modΓop,s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.(2)对任意0ik-1,U-lim.dimΛ(Ei)i+1.(3)对任意1ik和M∈modΛ,gradeUExtΛi(M,U)i.(4)对任意0ik-1,ExtΓi(ExtΛi(·,U),U)保持modΛ中的单同态X→Y,其中X和Y均是U-无挠的.如果上述等价条件之一成立,则称ΛU是一个拟k-Gorenstein模.类似地可定义UΓ是一个拟k-Gorenstein模.注正如文献中指出的那样,与k-Gorenstein模不同的是,拟k-Gorenstein模不是左-右对称的.引理2.6(见[4,引理2.2])设k是一个非负整数.对M∈modΛ,如果gradeUMk且gradeUExtΛk(M,U)k+1,则ExtΛk(M,U)=0.引理2.7(见[7,引理2.7])下列陈述等价.(1)对任意M∈modΛ,gradeUExtΛ2(M,U)1.(2)对任意M∈modΛ,M*是U-自反的.(1)对任意N∈modΓop,gradeUExtΓ2(N,U)1.(2)对任意N∈modΓop,N*是U-自反的.设M∈modΛ且是M的一个有限生成投射表示.则有正合列:其中X=Cokerf*.引理2.8(见[9,引理2.1])设M和X如上.则有如下两个正合列:设M和X如上.对非负整数k,称M是U-k-挠自由的,如果对任意1ik,ExtΓi(X,U)=0.称M是U-k-合冲的,如果存在正合列0→M→X0→X1→···→Xk-1,其中所有的Xi∈addΛU,这里addΛU表示由所有同构于ΛU的有限直和的直和项的模组成的modΛ的全子范畴.令ΛUΓ=ΛΛΛ,则在这种情形下,U-k-挠自由模和U-k-合冲模分别就是文献中定义的k-挠自由模和k-合冲模.由引理2.8易知,modΛ中的一个模是U-无挠的(或U-自反的)当且仅当它是U-1-挠自由的(或U-2-挠自由的).类似地可在modΓop中定义U-k-挠自由模和U-k-合冲模.我们用TUk(modΛ)(或TUk(modΓop))和ΩUk(modΛ)(或ΩUk(modΓop))分别表示由所有U-k-挠自由模和U-k-合冲模组成的modΛ(或modΓop)的全子范畴.由文献知,TUk(modΛ)⊆ΩUk(modΛ)且TUk(modΓop)⊆ΩUk(modΓop).在下面的结果中,(1)和(1)的等价性见文献[4,引理3.3],后面的结论则包含在文献[7,定理3.1]中.引理2.9设k是一个非负整数.则下列陈述等价.(1)对任意M∈modΛ和1ik-1,gradeUExtΛi+1(M,U)i.(1)对任意N∈modΓop和1ik-1,gradeUExtΓi+1(N,U)i.如果上述等价条件之一成立,则对任意1ik,ΩUi(modΛ)=TUi(modΛ)且ΩUi(modΓop)=TiU(modΓop).下面的结果给出了k-合冲模是U-k-合冲模的一个充分条件.引理2.10(1)如果ΛU是拟(k-1)-Gorenstein的,则modΓop中的任意k-合冲模都在ΩUk(modΓop)中.(1)如果UΓ是拟(k-1)-Gorenstein的,则modΛ中的任意k-合冲模都在ΩUk(modΛ)中.证明当k=0时结论显然成立.由于Γ是U-自反的(当然是U-1-合冲的),因此易知modΓop中的任意1-合冲模都是U-1-合冲的.故当k=1时结论成立.现设k2.如果ΛU是拟(k-1)-Gorenstein的,则由定理2.5知,对任意N∈modΓop和1ik-1,s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.于是由文献[4,引理3.2]的对称结果知,modΓop中的任意k-合冲模都在ΩUk(modΓop)中.这样就证明了(1).类似地可证(1).3证明定理3.2—主要结果对Λ-模(或Γop-模)X,我们用l.idΛ(X)(或r.idΓ(X))表示它的左(或右)内射维数.下面,k是一个非负整数.在本节中,我们证明如下定理,这也是本文的主要结果.定理3.1如果ΛU是(k-2)-Gorenstein的且l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k,则Soc(Ek)=0这里Soc(Ek)是Ek的基座.我们用0→ΛΛ→I0→I1→···→Ii→···表示ΛΛ的一个极小内射分解.Hoshino在文献[1,定理4.5]中证明了,如果l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k2,则Soc(Ik)=0.称Λ是一个Auslander-Gorenstein环,如果对任意k,Λ是一个k-Gorenstein环且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)<∞.Fuller和Iwanaga在文献[2,命题1.1]中证明了,如果Λ是一个Auslander-Gorenstein环且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k,则Soc(Ik)=0(事实上,在这种情形下,Iwanaga和Sato在文献[3,定理6]中证明了Soc(Ik)在Ik中是本质的).由定理3.1可得下面的推论,它推广了上面的Hoshino和Fuller-Iwanaga的结果.推论3.2如果Λ是一个(k-2)-Gorenstein环且l.idΛ(Λ)=r.idΛ(Λ)=k,则Soc(Ik)=0下面我们来证明定理3.1.我们从下面的结果开始,它是文献[1,引理4.2]的U-对偶形式.引理3.3设n是一个正整数.如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)n,则对任意N∈modΓopgradeUExtΓn(N,U)1;进一步,如果n2,则gradeUExtΓn(N,U)2.证明设N∈modΓop且···→Qi→···→Q1→Q0→N→0是N的一个有限生成投射分解.令X=Coker(Q*n-1→Qn*).因为r.idΓ(U)n,所以由引理2.8可得如下正合列:于是可得如下正合列:因为Qn和Qn-1均是U-自反的,于是易知X*∼=Ker(Qn→Qn-1).又因为r.idΓ(U)n,所以对任意i1,ExtΓi(X*,U)=0且我们得到modΛ中的正合列:其中,对任意in+1,Qi*∈addΛU.因为l.idΛ(U)n,所以对任意i1,ExtΛi(X**,U)=0由文献[10,定理20.14]知,σX*是满的.因此由正合列(2)可得,[ExtΓn(N,U)]*=0,即gradeUExtnΓ(N,U)1.令Y=Coker(Qn→Qn-1).如果n2,则Y是1-合冲的,从而由引理2.10知Y∈ΩU1(modΓop),因此σY是单的.于是由引理2.8知,ExtΛ1(X,U)∼=KerσY=0.故由正合列(2)可得,ExtΛ1(ExtΓn(N,U),U)=0,从而gradeUExtΓn(N,U)2.下面的结果是引理3.3的一个推广.引理3.4如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k且对任意N∈modΓop和1ik-2gradeUExtΓi+1(N,U)i,则对任意N∈modΓop,gradeUExtΓk(N,U)k.证明当k=0时结论是显然的.当k=1,2时,由引理3.3知结论成立.现设k3,N∈modΓop且···→Qi→···→Q1→Q0→N→0是N的一个有限生成投射分解.令X=Coker(Q*k-1→Qk*).则用与证明引理3.3相同的方法可得如下正合列:因为对任意N∈modΓop和1ik-2,gradeUExtΓi(N,U)i,所以由引理2.9知,对任意1ik-1,ΩUi(modΓop)=TUi(modΓop).注意到Coker(Qk→Qk-1)是(k-1)-合冲的于是由引理2.10知,它在ΩUk-1(modΓop)中.因此Coker(Qk→Qk-1)∈TUk-1(modΓop),从而对任意1ik-1,ExtΛi(X,U)=0.另一方面,用与证明引理3.3相同的方法可得,对任意i1,ExtΛi(X**,U)=0且σX*是满的.于是由正合列(3)导出的长正合列易知,gradeUExtΓk(N,U)k.引理3.5对任意单的Λ-模S和i0,HomΛ(S,Ei)∼=ExtΛi(S,U).证明易证.对A∈modΛ,如果对任意非负整数i,gradeUAi,则记gradeUA=∞.下面的结果是文献[1,定理4.5]的U-对偶形式.引理3.6如果l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k2,则Soc(Ek)=0.证明如果k=0,则由文献[9,命题2.8]知,E0是modΛ的一个嵌入内射余生成元因此Soc(E0)=0.如果k=1,则存在N∈modΓop,使得ExtΓ1(N,U)=0.设S是ExtΓ1(N,U)的任意单的商模.由引理3.3知,gradeUExtΓ1(N,U)1,从而S*=0.假设ExtΛ1(S,U)=0注意到l.idΛ(U)=1,所以gradeUS=∞,于是由文献[9,推论2.5]知,S=0,矛盾.故ExtΛ1(S,U)=0.于是由引理3.5知,HomΛ(S,E1)=0,从而S同构于E1的一个子模,故Soc(E1)=0.如果k=2,则存在N∈modΓop,使得ExtΓ2(N,U)=0.设X是ExtΓ2(N,U)的一个极大子模且0→X→ExtΓ2(N,U)→S→0是modΛ中的一个正合列.则S是单的.由引理3.3知,gradeUExtΓ2(N,U)2,所以S*=0且ExtΛ1(S,U)∼=X*.设是S的一个有限生成投射表示.令Y=Coker(P0*→P1*).则由引理2.8可得正合列:由引理3.3的对称结果知,对任意M∈modΛ和1i2,gradeUExtΛi(M,U)i于是由文献[7,命题4.3]的对称结果知,TU2(modΓop)(={modΓop中的U-自反模})是扩张闭的(即,如果有modΓop中的正合列0→A→B→C→0且A,C∈TU2(modΓop),则B∈TU2(modΓop)).另一方面,由引理2.7知,ExtΛ1(S,U)(∼=X*)和Y**均是U-自反的.因此,如果ExtΛ2(S,U)=0,则由正合列(4)知,Y也是U-自反的,从而ExtΛ1(S,U)=0.注意到l.idΛ(U)=2,所以我们实际上有gradeUS=∞.于是由文献[9,推论2.5]知,S=0,矛盾故ExtΛ2(S,U)=0,于是由引理3.5知,HomΛ(S,E2)=0,从而S同构于E2的一个子模,故Soc(E2)=0.定理3.7如果ΛU是拟(k-2)-Gorenstein的,l.idΛ(U)=r.idΓ(U)=k且modΛ中任意(k-2)-合冲模都是U-(k-2)-合冲的,则Soc(Ek)=0.证明当k2时,由引理3.6知结论成立.现设k3.因为r.idΓ(U)=k,所以存在N∈modΓop,使得ExtΓk(N,U)=0.设X是ExtΓk(N,U)的一个极大子模且是modΛ中的一个正合列.则S是单的.因为ΛU是拟(k-2)-Gorenstein的,所以由定理2.5知,对任意1ik-2s.gradeUExtΓi+1(N,U)i.于是s.gradeUExtΓk(N,U)k-2,从而gradeUXk-2.另一方面,由引理3.4知,gradeUExtΓk(N,U)k.于是由正合列(5)知,gradeUSk-1.设···→Pi→···→P1→P0→S→0是S的一个有限生成投射分解.我们断言:ExtΛk(S,U)=0.否则,如果ExtΛk(S,U)=0,则由引理2.8可得正合列:其中H=Coker(P*k-2→P*k-1).因为ΛU是拟(k-2)-Gorenstein的,所以由定理2.5知,对任意M∈modΛ和1ik-2,gradeUExtΛi(M,U)i.由引理2.9知,对任意1ik-1,ΩUi(modΛ)=TUi(modΛ)注意到Coker(Pk-1→Pk-2)是一个(k-2)-合冲模,于是由假设知,它在ΩUk-2(modΛ)中从而在TUk-2(modΛ)中.因此对任意1ik-2,E